Adding Square RootsDate: 12/26/2001

Adding Square Roots


Date: 12/26/2001 at 14:22:26
From: Ollie
Subject: Adding square roots

I'm going over a practice test for an intermediate algebra assessment
test. One of the questions is this:

?3+?27 = ?
(or, in English)
square root of 3 + square root of 27 = ?

I thought the answer was 3+?3 (3 + square root 3). However, there is
an answer key and the answer is actually 4?3 (4 square root 3). I
don't understand where I went wrong. Can you help?

-Ollie

Date: 12/26/2001 at 15:27:44
From: Doctor Achilles
Subject: Re: Adding square roots

Hi Ollie,

Thanks for writing to Dr. Math.

First, just for terminology, I prefer this for the square root:

sqrt(x)

So you have:

sqrt(3) + sqrt(27) = ?

What I do whenever I'm presented with roots (square roots, cube roots,
fourth roots, whatever) is to factor the number inside down to primes.
Remember prime factorization? It turns out it is actually useful for
this.

First, let's factor 3 to primes: well, that was easy, 3 _is_ prime.

Next, let's factor 27 to primes: 27 = 9 * 3 = 3 * 3 * 3.

Ok, now we have:

sqrt(3) + sqrt(3*3*3) = ?

The way to simplify roots (once you've factored the insides down to
prime numbers) is to look for factors that appear more than once. The
rule is:

for a square root, you can remove two identical factors
from inside the sqrt symbol and bring one copy of them outside

(for cube roots, you need 3 identical factors inside to bring
one out, for fourth roots you need 4, etc.)

So is there any factor that appears twice? Yes, there are two 3's.
So let's get rid of two 3's inside the square root, and put one
outside (multiplied by the square root), like this:

sqrt(3) + 3*sqrt(3) = ?

Now there are no more duplicate factors inside either square root, so
we're done simplifying the roots. Can we do anything else?

Sure, we have one sqrt(3) plus three sqrt(3)'s, so we can add them
together and end up with:

4*sqrt(3)

I hope this helps. If you have other questions about this or you're
still stuck, please write back.

- Doctor Achilles, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

Date: 12/26/2001 at 22:10:57
From: Ollie
Subject: Adding square roots

Thank you very much! That did explain it very well. I knew there had
to be a "trick" to finding the answer easier than just doing the raw
math. You're my new hero. :)

-Ollie

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เพิ่มรากวัน: 12/26/2001 ที่ 14:22:26จาก: Ollieหัวข้อ: เพิ่มรากฉันจะผ่านการทดสอบการปฏิบัติสำหรับการประเมินระดับกลางพีชคณิต การทดสอบ นี่คือคำถามอย่างใดอย่างหนึ่ง:? 3 + ? 27 =(หรือ ภาษาอังกฤษ)รากของรากของ 27 + 3 =ผมคิดว่า คำตอบคือ 3 + ? 3 (3 + ตารางราก 3) อย่างไรก็ตาม มี คีย์การตอบและคำตอบคือ จริง 4 ? 3 (4 รากที่ 3) ฉัน ไม่เข้าใจที่ผมผิดพลาดไป คุณสามารถช่วย-Ollieวัน: 12/26/2001 ที่ 15:27:44จาก: อาหมอหัวข้อ: Re: เพิ่มรากสวัสดี Ollieขอบคุณสำหรับการเขียนคณิตศาสตร์ดร.ครั้งแรก คำศัพท์ สำหรับฉันชอบนี้สำหรับราก: sqrt(x)ดังนั้นคุณจะ: sqrt(3) + sqrt(27) =สิ่งที่ฉันทำเมื่อใดก็ ตามที่ฉันกำลังนำเสนอ มีราก (ราก ราก cube 4 ราก สิ่ง) คือ หมายเลขภายในลงไปที่โรงแรมไพรม์ปัจจัย จำการแยกตัวประกอบเฉพาะหรือไม่ แต่มันเป็นประโยชน์จริงสำหรับ นี้แรก ลองปัจจัย 3 เพื่อโรงแรมไพรม์: ดี ว่าง่าย นายก _is_ 3ถัดไป ลองปัจจัย 27 การโรงแรมไพรม์: 27 = 9 * 3 = 3 * 3 * 3ตกลง ขณะนี้เรามี: sqrt(3) + sqrt(3*3*3) =วิธีการทำราก (เมื่อได้แยกตัวประกอบ insides ลงไป หมายเลขเฉพาะ) เพื่อ ค้นหาปัจจัยที่ปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้งได้ ที่ กฎคือ: สำหรับราก คุณสามารถเอาปัจจัยสองเหมือนกัน จากภายใน sqrt จะสัญลักษณ์ และนำสำเนานั้นนอก (cube ราก คุณต้อง 3 ปัจจัยที่เหมือนกันภายในการนำ หนึ่ง สำหรับรากสี่ ต้อง 4 ฯลฯ .)ดังนั้น มีปัจจัยใด ๆ ที่ปรากฏสองครั้งหรือไม่ ใช่ มีสอง 3 กันกำจัดสอง ๓ ภายในราก และใส่หนึ่ง ภายนอก (คูณ ด้วยราก), เช่นนี้: sqrt(3) + 3*sqrt(3) =ตอนนี้ มีไม่ซ้ำปัจจัยภายในเป็นราก ดังนั้น เราทำให้ราก เราสามารถทำอะไรได้บ้างแน่นอน เรามี sqrt(3) หนึ่งบวก sqrt จะสาม (๓) ดังนั้นเราสามารถเพิ่ม กัน และจบลงด้วย: 4*sqrt(3)ฉันหวังว่า นี้ช่วย ถ้าคุณมีคำถามอื่น ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้ หรือคุณ ยัง ติดอยู่ กรุณาเขียนกลับ-แพทย์อคิลลีส เวทีคณิตศาสตร์ http://mathforum.org/dr.math/ วัน: 12/26/2001 ที่ 22:10:57จาก: Ollieหัวข้อ: เพิ่มรากขอบคุณมาก! ที่ได้อธิบายได้ดีมาก ผมรู้ว่ามีได้ เป็น "เทคนิค" ในการหาคำตอบง่ายกว่าเพียงแค่ทำตัวดิบ คณิตศาสตร์ คุณฮีโร่ของฉันใหม่ :)-Ollie

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพิ่มรากสแควร์วันที่: 2001/12/26 ที่ 14:22:26 จาก: โอลลี่เรื่อง: การเพิ่มรากที่สองฉันจะไปทดสอบการปฏิบัติสำหรับการประเมินพีชคณิตกลางการทดสอบ หนึ่งในคำถามคือ:? 3 + 27 = (หรือในภาษาอังกฤษ)? รากที่สองของ 3 + รากที่สองของ 27 =? ผมคิดว่าคำตอบคือ 3 + 3 (3 + ราก 3) แต่มีความสำคัญคำตอบและคำตอบคือจริง 4 3 (4 ตารางราก 3) ฉันไม่เข้าใจที่ฉันผิดไป คุณสามารถช่วย? -Ollie วันที่: 2001/12/26 ที่ 15:27:44 จาก: Achilles หมอเรื่อง: Re: การเพิ่มรากที่สองHi โอลลี่,. ขอบคุณสำหรับการเขียนที่ดรคณิตศาสตร์ครั้งแรกเพียงสำหรับคำศัพท์ที่ผมชอบนี้ สำหรับราก: sqrt (x) ดังนั้นคุณต้อง: sqrt (3) + sqrt (27) = สิ่งที่ฉันทำเมื่อใดก็ตามที่ผมนำเสนอที่มีราก (รากที่สองรากลูกบาศก์รากที่สี่อะไรก็ตาม) คือปัจจัย จำนวนลงไปภายในช่วงเวลา. จำตัวประกอบที่สำคัญ? มันจะเปิดออกมันเป็นจริงมีประโยชน์สำหรับการนี้. อันดับแรกให้ปัจจัยที่ 3 ถึงช่วงเวลา:. ดีที่เป็นเรื่องง่ายที่ 3 _is_ สำคัญถัดไปให้ปัจจัยที่27 ช่วงเวลา: 27 = 9 * 3 = 3 * 3 * 3 ตกลง ตอนนี้เรามี:? sqrt (3) + sqrt (3 * 3 * 3) = วิธีที่จะลดความซับซ้อนของราก (เมื่อคุณได้ปัจจัยข้างลงกับตัวเลขที่สำคัญ) คือการมองหาปัจจัยที่ปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง กฎคือหารากที่สองคุณสามารถลบสองปัจจัยที่เหมือนกันจากภายในสัญลักษณ์sqrt และนำสำเนาหนึ่งของพวกเขาออกไปข้างนอก(รากก้อนคุณจะต้อง 3 ปัจจัยที่เหมือนกันภายในที่จะนำออกมาสำหรับรากที่สี่ที่คุณต้องการ4 ฯลฯ ) ดังนั้นจะมีปัจจัยที่ปรากฏขึ้นเป็นครั้งที่สองหรือไม่ ใช่มีสอง 3. จึงขอกำจัดสอง 3 ภายในรากที่สองและใส่หนึ่งนอก(คูณด้วยตาราง root) เช่นนี้sqrt (3) + 3 * sqrt (3) =? ขณะนี้มี ไม่มีปัจจัยที่ซ้ำกันมากขึ้นภายในทั้งรากที่สองเพื่อให้เราทำง่ายราก เราสามารถทำอะไรอีกหรือไม่แน่นอนว่าเรามีหนึ่ง sqrt (3) บวกสาม sqrt (3) 's เพื่อให้เราสามารถเพิ่มพวกเขาร่วมกันและจบลงด้วย: 4 * sqrt (3) ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้ หากคุณมีคำถามอื่น ๆ เกี่ยวกับเรื่องนี้หรือคุณติดยังคงกรุณาเขียนกลับ. - จุดอ่อนหมอฟอรั่มคณิตศาสตร์http://mathforum.org/dr.math/ วันที่: 2001/12/26 ที่ 22:10:57 จาก: โอลลี่เรื่อง: การเพิ่มรากที่สองขอบคุณมาก! ที่ไม่อธิบายได้เป็นอย่างดี ผมรู้ว่ามีคนให้เป็น "เคล็ดลับ" ในการหาคำตอบง่ายกว่าเพียงแค่การทำดิบคณิตศาสตร์ คุณพระเอกใหม่ของฉัน :) -Ollie

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การเพิ่มตารางราก


วันที่ : 12 / 26 / 2544 ที่ 14:22:26

เรื่อง : เพิ่มจากตรงจัตุรัสราก

ผมจะผ่านการทดสอบการปฏิบัติสำหรับแบบประเมินแบบทดสอบพีชคณิต
. หนึ่งในคำถามนี้ :

? 3 27 = ?
( หรือในภาษาอังกฤษ )
3 รากสแควร์รูทของ 27 = ?

ฉันคิดว่า คำตอบคือ 3 3 ( ราก 3 ตารางที่ 3 ) อย่างไรก็ตาม มี
คำตอบคีย์คำตอบคือจริง 43 ( ราก 4 เหลี่ยม 3 ) ผม
ไม่เข้าใจตรงไหน ผมผิด คุณสามารถช่วย ?

- ออลลี่

วันที่ : 12 / 26 / 2544 ที่ 15:27:44
จากแพทย์จุดอ่อน
เรื่อง : Re : เพิ่มตารางราก

สวัสดีตรง

ขอบคุณสำหรับการเขียน คณิตศาสตร์ ดร.

แรก แค่คำศัพท์นะ ผมชอบให้รูท :

SQRT ( X )

คุณ :

SQRT ( 3 ) SQRT ( 27 ) = ?

สิ่งที่ผมทำเมื่อผมนำเสนอด้วยราก ( ราก , ตารางลูกบาศก์ราก
ราก 4 อะไรก็ตาม ) เป็นปัจจัย หมายเลขภายในลงไพรม์
จำได้เฉพาะตัวประกอบ ? มันเป็นประโยชน์สำหรับ
.

ก่อนอื่น องค์ประกอบที่ 3 รูปแบบ : ดี , ที่ง่าย , 3 _is_ นายก .

ต่อไป , ให้ปัจจัยรูปแบบ 27 : 27 = 9 * 3 = 3 * 3 * 3

โอเค ตอนนี้เราได้ :

SQRT ( 3 ) SQRT ( 3 * 3 * 3 ) = ?

ทางระบบราก ( เมื่อคุณประกอบข้างในลง

จำนวนเฉพาะ ) คือการค้นหาปัจจัยที่ปรากฏมากกว่าหนึ่งครั้ง

สำหรับกฎคือรากที่สอง คุณสามารถลบสองปัจจัยที่เหมือนกัน
จากภายใน SQRT สัญลักษณ์และนำสำเนาของพวกเขานอก

( สำหรับรากลูกบาศก์ต้องการ 3 ปัจจัยที่เหมือนกันข้างในเอา
ออกสำหรับสี่ราก ต้อง 4 , ฯลฯ )

แล้วมี ปัจจัยใดๆที่ปรากฏขึ้นสองครั้ง ครับ มี 2
3 sเพื่อกำจัดสอง 3 ภายในรูท และใส่หนึ่ง
นอก ( คูณด้วยรูท ) แบบนี้ :

SQRT ( 3 ) * SQRT ( 3 ) = ?

ตอนนี้ไม่มีซ้ำปัจจัยภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ราก ดังนั้น
เสร็จแล้วระบบราก เราสามารถทำอย่างอื่นได้อีกมั้ย ?

แน่นอน เรามี SQRT ( 3 ) บวกสาม SQRT ( 3 ) เพื่อให้เราสามารถเพิ่มพวกเขาร่วมกันและจบลงด้วย
:
4 * SQRT ( 3 )

ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้ ถ้าคุณมีคำถามอื่น ๆเกี่ยวกับเรื่องนี้ หรือ คุณ
ยังคงติดอยู่ กรุณาเขียนกลับ

- จุดอ่อน แพทย์ คณิตศาสตร์ http://mathforum.org/dr.math/ ฟอรั่ม

วันที่ : 12 / 26 / 2544 ที่ 22:10:57

เรื่อง : เพิ่มจากตรงจัตุรัสราก

ขอบคุณมากค่ะ นั่นอธิบายได้ดีมาก ผมรู้ว่ามี
เป็น " หลอก " เพื่อง่ายต่อการหาคำตอบ มากกว่า ลองคิดดูดิ

คุณเป็นฮีโร่ของฉัน : )

- โอเล่