that equals the right side of (1).

that equals the right side of (1). These approaches give short proofs of (1), but they
both use a good deal of advanced mathematics. With a bit of work, we can also obtain
an elementary proof of (1) using only basic properties of the binomial coefficients and
mathematical induction.
The proof of (1) given below arose, not in a search for a new proof of this identity,
but as a result of some independent probability research . . . and a cluttered desk.
Being unable to find a probability calculation I had done the day before, I sought to
repeat the calculation—but obtained a different expression for the same quantity. After
some initial confusion, I realized that my computations gave a simple proof of the
identity (1).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่เท่ากับด้านขวาของ (1) แนวทางเหล่านี้ให้หลักฐานระยะสั้น (1), แต่พวกเขาทั้งสองใช้ข้อเสนอดีของคณิตศาสตร์ขั้นสูง มีเล็กน้อยของการทำงาน เราสามารถยังได้รับการพิสูจน์ระดับประถม (1) ใช้เพียงคุณสมบัติพื้นฐานของสัมประสิทธิ์ทวินาม และคณิตศาสตร์การเหนี่ยวนำหลักฐาน (1) กำหนดให้ด้านล่างเกิดขึ้น ไม่อยู่ในการค้นหาหลักฐานใหม่ตัวนี้แต่ จากการวิจัยบางอย่างน่าเป็นอิสระ...และโต๊ะ clutteredการไม่พบการคำนวณความน่าเป็นที่ฉันทำวันก่อน ผมพยายามที่จะการคำนวณซ้ำ — แต่รับนิพจน์ที่มีความแตกต่างในปริมาณเดียวกัน หลังจากสับสนบางครั้งแรก ฉันรู้ว่า หนึ่งของฉันให้เป็นหลักฐานอย่างนี้รหัสประจำตัว (1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่เท่ากับด้านขวาของ (1) วิธีการเหล่านี้ให้หลักฐานอันสั้น (1) แต่พวกเขา
ทั้งสองใช้การจัดการที่ดีของคณิตศาสตร์ขั้นสูง ด้วยบิตของการทำงานของเรายังสามารถได้รับ
หลักฐานเบื้องต้นของ (1) โดยใช้คุณสมบัติขั้นพื้นฐานเท่านั้นของสัมประสิทธิ์ทวินามและ
อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
หลักฐานการ (1) ได้รับด้านล่างที่เกิดขึ้นไม่ได้อยู่ในการค้นหาหลักฐานใหม่ตัวนี้ ,
แต่เป็นผลจากการวิจัยน่าจะเป็นบางอย่างที่เป็นอิสระ . . และแผนกรก
การไม่สามารถที่จะหาการคำนวณความน่าจะเป็นที่ฉันได้ทำเมื่อวันก่อนผมพยายามที่จะ
ทำซ้ำในการคำนวณ แต่ได้รับการแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับปริมาณเดียวกัน หลังจากที่
เริ่มต้นความสับสนบางฉันตระหนักว่าการคำนวณของฉันให้หลักฐานเรียบง่ายของ
ตัวตน (1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่เท่ากับข้างขวา ( 1 ) วิธีเหล่านี้ให้พิสูจน์สั้น ( 1 ) , แต่พวกเขา
ใช้ทั้งการจัดการที่ดีของคณิตศาสตร์ขั้นสูง กับบิตของการทำงาน เราสามารถขอรับ
มีการพิสูจน์เบื้องต้น ( 1 ) ใช้เพียงคุณสมบัติพื้นฐานของสัมประสิทธิ์ทวินามและ

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ พิสูจน์ ( 1 ) ที่ระบุด้านล่างขึ้นไม่ได้ในการค้นหาหลักฐานใหม่ของอัตลักษณ์นี้
แต่เป็นผลของการวิจัยอิสระความน่าจะเป็น . . . . . . . . และเกะกะโต๊ะ
ไม่สามารถค้นหาความน่าจะเป็นการคำนวณผมทำวันก่อน ผมขอ

ย้ำการคำนวณแต่ได้รับการแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับปริมาณเดียวกัน หลังจาก
ความสับสนบางอย่างเริ่มต้น ฉันตระหนักว่าวิธีการของฉันให้หลักฐานที่เรียบง่ายของ
เอกลักษณ์ ( 1 )