I. INTRODUCTIONWhen a superball is

I. INTRODUCTION
When a superball is thrown so that it bounces from the
floor to the underside of a surface, such as a table, it will
bounce back to the person who threw it instead of continuing
to bounce between the table and the floor @see Fig. 1~a!#.
Strobel1 and Garwin2 independently analyzed this sequence
of collisions and their analysis has been revisited many times
in undergraduate laboratories, physics demonstrations, and
textbooks. This paper explores a variation on this demonstration:
instead of bouncing a superball from the underside of a
table, what happens when the superball is thrown down into
a vertical channel composed of two parallel walls? If this
demonstration were performed with a steel bearing, the bearing
would ricochet back and forth as it falls down the channel
under the force of gravity. However, the superball seems
to defy gravity and bounces back out and returns to the person
who threw it, as in Fig. 1~b!.
A comparison of the ball’s path in both the horizontal and
vertical channels suggests that these two sets of collisions
may be related. I explore this similarity for the more general
case of a superball bouncing between the walls of an infi-
nitely long vertical channel. The matrix description of the
superball motion is the most useful and straightforward approach
to this problem and the equation of motion which is
developed in Sec. III captures the dynamics of the ball in
both the vertical and horizontal channels. When gravity acts
along the length of the channel ~the vertical channel!, the ball
does not continuously fall, but instead is trapped in a length
of the channel, repeatedly rising and falling with a fixed
frequency. This frequency does not depend on gravity but on
the ball’s moment of inertia. Hence the motion in both the
vertical and horizontal channels is essentially the same, with
gravity affecting the amplitude and the displacement of the
oscillation.
You will probably find that even if the ball is thrown so
that it enters the channel, it sometimes does not quite make it
out. Even in this failed demonstration, however, the trajectory
of the superball is unexpected and instead of immediately
falling down the channel, it undergoes a decaying oscillation
as it descends. This motion is a consequence of the
inelasticity of the collision, and hence during the collision
there is not a perfect exchange between the linear motion and
the spin. As a result, the ball may not be able to climb out of
the channel, but it will certainly resist the descent.
To accurately describe the ball’s motion, it is necessary to
take into account the energy losses in the tangential bounce
of a realistic superball. This analysis was done by Cross, who
presented a modification of Garwin’s superball model to take
into account the tangential coefficient of restitution.3 Section
II examines this modified model and its implications for the
dynamics of the superball. Because of the simplicity of the
collision matrix with tangential and normal coefficients of
restitution, the equations of motion for the fully elastic superball,
which are developed in Sec. III, can be easily applied,
with only minor modifications, to the behavior of a
realistic superball. The discussion in Sec. IV examines these
general equations for the special case of a ball with tangential
loss, but perfect restitution normal to the surface. For this
case, the motion of the ball has the properties of both a
damped harmonic oscillator and a body falling through a
resistive medium. The ball falls down the channel at a terminal
velocity that depends on the tangential coefficient of restitution
and the moment of inertia of the ball. Before reaching
this terminal velocity, however, the ball undergoes either
a decaying oscillation or an exponential decay, once again
depending on the restitution and the moment of inertia. This
dependence is similar to the underdamped and overdamped
motion of a harmonic oscillator.
II. KINEMATICS OF A PARTIALLY INELASTIC
SUPERBALL
The simple model of an ultraelastic rough ball or superball
begins with two assumptions about the ball during its collision
with a flat surface:1,2 ~a! the kinetic energy is conserved
during the collision, and ~b! there is no slip at the point of
contact. Because the collision is assumed to occur at a point
on the ball’s surface, all of the forces act through this point
and the torque is zero. As a result, the angular momentum
about the point of contact is conserved during the collision.
From these two conservation laws, the spin and velocity
parallel to the surface after the collision are expressed in
terms of the initial spin and velocity of the ball:
vx52 ~a21!
~a11!
vx02 2a
~a11!
c0 , ~1!
and
c52 2
~a11!
vx01
~a21!
~a11!
c0 ,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

I. บทนำเมื่อโยน superball มีเพื่อให้มันตีกลับจากการชั้นไว้ใต้พื้นผิว เช่นตาราง จะเด้งกลับผู้ที่โยนแทนต่อไปตีกลับระหว่างตารางและชั้น @see รูปที่ 1 ~ !Strobel1 และ Garwin2 เป็นอิสระวิเคราะห์ลำดับนี้การวิเคราะห์ของพวกเขาและชนมีการมาเยือนการหลายครั้งในห้องปฏิบัติการระดับปริญญาตรี ฟิสิกส์ สาธิต และตำรานี้ กระดาษนี้สำรวจการเปลี่ยนแปลงในการสาธิต:แทนที่กำยำ superball มีจากด้านล่างของเครื่องตาราง เกิดอะไรขึ้นเมื่อ superball ที่โยนลงไปช่องแนวตั้งประกอบด้วยผนังขนานที่สอง ถ้านี้ดำเนินการสาธิต ด้วยการเหล็กตลับลูกปืน แบริ่งจะกระเด้งไปมา ตามตรงลงช่องภายใต้แรงโน้มถ่วง อย่างไรก็ตาม superball ที่ดูเหมือนเพื่อต่อต้านแรงโน้มถ่วง และเด้งกลับออกมา และส่งกลับไปยังบุคคลใครก็ได้โยน เหมือนในรูปที่ 1 ~ bการเปรียบเทียบเส้นทางของลูกบอลในทั้งแนวนอน และช่องที่แนวตั้งแนะนำว่า ทั้งสองชุดของการซ้ำอาจจะเกี่ยวข้อง ผมสำรวจความคล้ายคลึงกันนี้ทั่วไปเพิ่มเติมกรณีของ superball แสงระหว่างผนังของ infi มี-nitely ยาวแนวตั้งช่อง คำอธิบายเกี่ยวกับเมตริกซ์การsuperball เคลื่อนไหวเป็นวิธีที่มีประโยชน์มากที่สุด และตรงไปตรงมาปัญหานี้และสมการการเคลื่อนที่พัฒนาในสามวินาทีจับ dynamics ของลูกในทั้งแนวตั้ง และแนวนอนช่อง เมื่อแรงโน้มถ่วงกระทำตามความยาวของช่อง ~ ช่องแนวตั้ง!, ลูกไม่ต่อเนื่องอยู่ แต่แทน จะถูกขังอยู่ในความยาวสถานี ซ้ำเพิ่มขึ้น และลดลง มีที่คงที่ความถี่ ความถี่นี้ได้ขึ้นกับแรงโน้มถ่วง แต่บนลูกบอลโมเมนต์ความเฉื่อย ดังนั้นการเคลื่อนไหวทั้งในการช่องที่แนวตั้ง และแนวนอนเป็นหลักเหมือนกัน ด้วยแรงโน้มถ่วงที่มีผลต่อคลื่นและย้ายของสั่นคุณอาจจะพบว่าถ้าลูกบอลถูกโยนให้เข้าสู่ช่องสัญญาณ จะบางมากทำให้มันออก แม้แต่ในนี้ไม่สาธิต อย่างไรก็ตาม วิถีเป็น superball ที่ไม่คาดคิด และ แทนที่ทันทีมันล้มลงช่อง ผ่านสั่นเนื้อที่มันลงมา เคลื่อนไหวนี้เป็นผลจากการinelasticity ของการชน และด้วยเหตุนี้ในระหว่างการชนไม่มีการแลกเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบระหว่างการเคลื่อนที่เชิงเส้น และการหมุน เป็นผล ลูกอาจไม่สามารถปีนออกมาจากช่อง แต่มันจะนอนต่อต้านเชื้อสายการอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกบอลได้ถูกต้อง จึงจำเป็นต้องคำนึงถึงการสูญเสียพลังงานในการตีกลับ tangentialของ superball สมจริง การวิเคราะห์นี้ทำโดยการข้าม ที่แสดงการเปลี่ยนแปลงรุ่น superball ของ Garwin จะพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์ tangential ของ restitution.3 ส่วนครั้งที่สองตรวจสอบรุ่นนี้แก้ไขและผลกระทบของการพลวัตของการ superball เนื่องจากความเรียบง่ายของการเมทริกซ์การชนกับสัมประสิทธิ์ tangential และปกติของชดใช้ความเสียหาย สมการของการเคลื่อนไหวสำหรับ superball เต็มยืดหยุ่นซึ่งมีพัฒนาสามวินาที สามารถได้อย่างง่ายดายใช้มีเพียงเล็กน้อยปรับเปลี่ยน การทำงานของเครื่องsuperball สมจริง การอภิปรายใน IV วินาทีตรวจสอบเหล่านี้สมการทั่วไปสำหรับกรณีพิเศษของลูกที่มี tangentialขาดทุน แต่ชดใช้ความเสียหายปกติผิวสมบูรณ์แบบ สำหรับการนี้กรณี การเคลื่อนที่ของลูกบอลมีคุณสมบัติของทั้งสองน้อยค่าออสซิลเลเตอร์และร่างกายตกผ่านการต้านทานปานกลาง ลูกตกลงช่องที่เทอร์มินัลความเร็วที่ขึ้นกับค่าสัมประสิทธิ์ tangential ของการชดใช้ความเสียหายและโมเมนต์ความเฉื่อยของลูก ก่อนที่จะถึงนี้เทอร์มินัลความเร็ว อย่างไรก็ตาม ลูกผ่านอย่างใดอย่างหนึ่งสั่นเนื้อที่หรือการเนนผุ อีกครั้งขึ้นอยู่กับการชดใช้ความเสียหายและโมเมนต์ความเฉื่อย นี้พึ่งพาการคล้ายกับ underdamped และ overdampedการเคลื่อนไหวของออสซิลเลเตอร์แบบฮาร์โมนิกII. KINEMATICS ของ INELASTIC บางส่วนSUPERBALLรูปแบบง่ายของ ultraelastic ลูกหยาบหรือ superballเริ่มต้น ด้วยสองสมมติฐานเกี่ยวกับลูกในระหว่างการชนมีแบนพื้นผิว: 1, 2 ~ อนุรักษ์พลังงานจลน์ในระหว่างการชน และ ~ b มีไม่มีสลิปที่ point ของติดต่อ เพราะถือว่าการชนเกิดขึ้นที่จุดบนพื้นผิวลูกบอล ทั้งหมดของกองกำลังปฏิบัติการผ่านจุดนี้และแรงบิดเป็นศูนย์ เป็นผล โมเมนตัมเชิงมุมเกี่ยวกับจุดติดต่อจะอนุรักษ์ระหว่างการชนจากกฎหมายอนุรักษ์เหล่านี้สอง หมุน และความเร็วขนานกับพื้นผิวหลังจากการชนที่จะแสดงในเงื่อนไขการเริ่มต้นหมุนและความเร็วของลูก:vx52 ~ a21~ a11vx02 2a~ a11c0, 1และc52 2~ a11vx01~ a21~ a11c0

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

I.
บทนำเมื่อSuperball โยนเพื่อให้มันตีกลับจากพื้นด้านล่างของพื้นผิวเช่นโต๊ะก็จะเด้งกลับมาให้กับบุคคลที่โยนมันแทนการอย่างต่อเนื่องที่จะตีกลับระหว่างตารางและ@see พื้น มะเดื่อ. 1 ~ กัน! #. Strobel1 และ Garwin2 อิสระวิเคราะห์ลำดับของการชนและการวิเคราะห์ของพวกเขาได้รับการมาเยือนหลายครั้งในห้องปฏิบัติการระดับปริญญาตรีสาธิตฟิสิกส์และตำรา กระดาษนี้จะสำรวจรูปแบบในการสาธิตนี้: แทนที่จะใหญ่ Superball จากด้านล่างของที่โต๊ะสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อ Superball ถูกโยนลงไปในช่องแนวตั้งประกอบด้วยสองผนังขนาน? ในกรณีนี้การสาธิตได้รับการดำเนินการกับแบริ่งเหล็กแบริ่งจะแฉลบไปมาในขณะที่มันลงช่องภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก อย่างไรก็ตาม Superball ดูเหมือนจะท้าทายแรงโน้มถ่วงและตีกลับออกมาและกลับไปยังคนที่โยนมันในรูป 1 ~ ข !. เปรียบเทียบเส้นทางลูกทั้งในแนวนอนและ A ช่องแนวตั้งแสดงให้เห็นว่าทั้งสองชุดของการชนอาจจะเกี่ยวข้อง ผมสำรวจความคล้ายคลึงกันนี้ได้ทั่วไปมากขึ้นกรณีที่มีการตีกลับ Superball ระหว่างผนังของ infi- nitely ช่องยาวในแนวตั้ง คำอธิบายเมทริกซ์ของการเคลื่อนไหว Superball เป็นวิธีที่มีประโยชน์มากที่สุดและตรงไปตรงมาในการแก้ไขปัญหานี้และสมการของการเคลื่อนไหวซึ่งเป็นพัฒนาในวินาที III จับการเปลี่ยนแปลงของลูกในทั้งสองช่องทางตั้งและแนวนอน เมื่อแรงโน้มถ่วงทำหน้าที่ตามความยาวของช่อง ~ ช่องแนวตั้ง !, ลูกไม่ตกอย่างต่อเนื่องแต่แทนที่จะถูกขังอยู่ในความยาวของช่องซ้ำ ๆ เพิ่มขึ้นและลดลงด้วยการแก้ไขความถี่ ความถี่นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแรงโน้มถ่วง แต่ในช่วงเวลาที่ลูกของความเฉื่อย ดังนั้นการเคลื่อนไหวในทั้งสองช่องในแนวตั้งและแนวนอนเป็นหลักเดียวกันกับแรงโน้มถ่วงมีผลกระทบต่อความกว้างและการกำจัดของการสั่น. คุณอาจจะพบว่าแม้ลูกจะถูกโยนทิ้งเพื่อที่จะเข้าสู่ช่องทางที่บางครั้งมันก็ไม่ได้เลยทีเดียวทำให้มันออกมา แม้จะอยู่ในการสาธิตนี้ล้มเหลว แต่วิถีของSuperball เป็นที่ไม่คาดคิดและแทนที่จะทันทีล้มลงช่องทางที่มันผ่านการสั่นเนื้อที่ในขณะที่มันให้สิ้นซาก การเคลื่อนไหวนี้เป็นผลมาจากการinelasticity จากการปะทะกันและด้วยเหตุนี้ในช่วงการปะทะกันไม่มีการแลกเปลี่ยนที่สมบูรณ์แบบระหว่างการเคลื่อนไหวเชิงเส้นและการหมุน เป็นผลให้ลูกอาจจะไม่สามารถที่จะปีนออกมาจากช่องทาง แต่อย่างแน่นอนจะต่อต้านโคตร. เพื่อให้ถูกต้องอธิบายการเคลื่อนไหวของลูกก็เป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องคำนึงถึงการสูญเสียพลังงานในการตีกลับวงของSuperball จริง . การวิเคราะห์นี้จะทำโดยการครอสที่นำเสนอการปรับเปลี่ยนรูปแบบการ Superball Garwin ที่จะใช้เวลาเข้าบัญชีค่าสัมประสิทธิ์ของวงrestitution.3 มาตราII รุ่นนี้ตรวจสอบแก้ไขและผลกระทบของมันสำหรับการเปลี่ยนแปลงของSuperball เพราะความเรียบง่ายของเมทริกซ์การปะทะกันกับค่าสัมประสิทธิ์วงและปกติของการชดใช้ความเสียหาย, สมการการเคลื่อนที่สำหรับ Superball ยืดหยุ่นอย่างเต็มที่ซึ่งมีการพัฒนาในวินาที III, สามารถนำมาใช้อย่างง่ายดายด้วยการปรับเปลี่ยนเพียงเล็กน้อยเพื่อให้การทำงานของที่Superball จริง การอภิปรายในวินาที IV ตรวจสอบเหล่านี้สมการทั่วไปสำหรับกรณีพิเศษของลูกกับวงสูญเสียแต่การชดใช้ความเสียหายที่สมบูรณ์แบบปกติที่พื้นผิว สำหรับเรื่องนี้กรณีการเคลื่อนไหวของลูกมีคุณสมบัติของทั้งสองที่ออสซิลฮาร์โมนิหดหู่และร่างกายลดลงได้ผ่านสื่อทาน ลูกลงช่องที่ขั้วความเร็วที่ขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์วงของการชดใช้ความเสียหายและโมเมนต์ความเฉื่อยของลูก ก่อนที่จะถึงความเร็วปลายนี้แต่บอลผ่านทั้งสั่นสลายหรือสลายชี้แจงอีกครั้งหนึ่งทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการซ่อมแซมและโมเมนต์ความเฉื่อยที่ นี้การพึ่งพาอาศัยกันคล้ายกับ underdamped overdamped และการเคลื่อนไหวของออสซิลฮาร์โมนิ. ครั้งที่สอง จลนศาสตร์ของยืดหยุ่นบางส่วนSuperball รูปแบบที่เรียบง่ายของลูกหยาบ ultraelastic หรือ Superball เริ่มต้นด้วยสองสมมติฐานเกี่ยวกับลูกในระหว่างการปะทะกันของที่มีพื้นผิวที่เรียบ: 1,2 ~ กัน! พลังงานจลน์เป็นป่าสงวนในระหว่างการปะทะกันและ b ~! มีใบที่จุดของการไม่มีการติดต่อ เพราะการปะทะกันจะถือว่าเกิดขึ้นที่จุดบนพื้นผิวของลูกทั้งหมดของกองกำลังทำหน้าที่ผ่านจุดนี้และแรงบิดเป็นศูนย์ เป็นผลให้โมเมนตัมเชิงมุมเกี่ยวกับจุดของการติดต่อเป็นป่าสงวนในระหว่างการปะทะกัน. จากทั้งสองกฎหมายการอนุรักษ์สปินและความเร็วขนานไปกับพื้นผิวหลังจากการปะทะกันจะแสดงในแง่ของการหมุนครั้งแรกและความเร็วของลูก: vx52 a21 ~! ~ A11! vx02 2a ~ A11! c0 ~ 1! และC52 2 ~ A11! vx01 ~ a21! ~ A11! c0,