This paper examines a system of rea

This paper examines a system of reaction–diffusion equations
arising from a flowing water habitat. In this habitat, one or
two microorganisms grow while consuming two growth-limiting,
complementary (essential) resources. For the single population
model, the existence and uniqueness of a positive steady-state
solution is proved. Furthermore, the unique positive solution
is globally attracting for the system with regard to nontrivial
nonnegative initial values. Mathematical analysis for the two
competing populations is carried out. More precisely, the longtime
behavior is determined by using the monotone dynamical
system theory when the semi-trivial solutions are both unstable.
It is also shown that coexistence solutions exist by using the
fixed point index theory when the semi-trivial solutions are both
(asymptotically) stable.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กระดาษนี้ตรวจสอบระบบของสมการปฏิกิริยา – แพร่เกิดจากการอยู่อาศัยน้ำไหล ในการอยู่อาศัยนี้ หนึ่ง หรือจุลินทรีย์ทั้งสองเติบโตในขณะที่ใช้สองเจริญเติบโตจำกัดทรัพยากรเพิ่มเติม (จำเป็น) สำหรับประชากรเดียวแบบจำลอง การมีอยู่ และเอกลักษณ์การบวกท่อนแก้ปัญหาเป็นเครื่องพิสูจน์ นอกจากนี้ โซลูชันเฉพาะบวกโลกดึงดูดความสนใจสำหรับระบบเกี่ยวกับ nontrivialค่าเริ่มต้น nonnegative การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับทั้งสองประชากรการแข่งขันดำเนินการ ได้แม่นยำมาก longtimeลักษณะการทำงานจะถูกกำหนดโดย monotone dynamicalทฤษฎีระบบเมื่อแก้ไขปัญหาเล็กน้อยกึ่งใจเสถียรมันยังแสดงให้เห็นว่า โซลูชั่นที่มีอยู่ร่วมกันอยู่โดยคงจุดดัชนีทฤษฎีเมื่อโซลูชั่นกึ่งเล็กน้อยทั้งสองมั่นคง (asymptotically)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กระดาษนี้จะตรวจสอบระบบสมการปฏิกิริยากระจายเกิดขึ้นจากการที่อยู่อาศัยน้ำไหล ในที่อยู่อาศัยนี้หนึ่งหรือสองจุลินทรีย์เติบโตขณะที่การบริโภคสองการเจริญเติบโต จำกัด เสริม (จำเป็น) ทรัพยากร สำหรับประชากรเดียวรูปแบบการดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของความมั่นคงของรัฐในเชิงบวกการแก้ปัญหาการพิสูจน์ นอกจากนี้วิธีการแก้ปัญหาในเชิงบวกที่ไม่ซ้ำกันเป็นที่ดึงดูดความสนใจของทั่วโลกสำหรับระบบเกี่ยวกับการขับเคลื่อนค่าเริ่มต้นไม่เป็นลบ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสองประชากรการแข่งขันจะดำเนินการ อย่างแม่นยำมากขึ้นที่รู้จักกันมานานพฤติกรรมจะถูกกำหนดโดยการใช้พลังเสียงเดียวทฤษฎีระบบเมื่อโซลูชั่นกึ่งเล็กน้อยมีทั้งความไม่แน่นอน. มันยังแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาการอยู่ร่วมกันอยู่โดยใช้จุดทฤษฎีดัชนีคงที่เมื่อโซลูชั่นกึ่งเล็กน้อยมีทั้ง(asymptotically ) ที่มีเสถียรภาพ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทความนี้เป็นการวิเคราะห์ระบบของปฏิกิริยา และสมการการแพร่
ที่เกิดจากน้ำไหลมาเป็นระยะ ในที่อยู่อาศัยนี้ หนึ่งหรือสองจุลินทรีย์เติบโต ในขณะที่การบริโภคสอง

เสริมการเจริญเติบโตจํากัด ( ที่จำเป็น ) , ทรัพยากร สำหรับแบบจำลองประชากร
เดียว การมีตัวตนและเอกลักษณ์ของโซลูชั่นคงที่
เป็นบวกได้ นอกจากนี้ โซลูชั่นเฉพาะ
บวกทั่วโลกดึงดูดสำหรับระบบเกี่ยวกับนอนทริเวียล
nonnegative เริ่มต้นค่า การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสอง
แข่งขันประชากรศึกษา . อันที่จริง พฤติกรรมมานาน
ถูกกำหนดโดยการใช้ทฤษฎีระบบพลวัต
โมโนโทนเมื่อกึ่งไร้สาระ โซลูชั่น มีทั้งเสถียร .
พบว่ามีการแก้ไขโดยใช้
แก้ไขจุดดัชนีเมื่อกึ่งๆโซลูชั่นมีทั้ง
( asymptotically ) มั่นคง