As mentioned above, the theorem inc

As mentioned above, the theorem includes numerous earlier transcendence results concerning the exponential function, such as the Hermite–Lindemann theorem and Gelfond–Schneider theorem. It is not quite as encompassing as the still unproven Schanuel's conjecture, and does not imply the six exponentials theorem nor, clearly, the still open four exponentials conjecture.

The main reason Gelfond desired an extension of his result was not just for a slew of new transcendental numbers. In 1935 he used the tools he had developed to prove the Gelfond–Schneider theorem to derive a lower bound for the quantity

|eta_1lambda_1+eta_2lambda_2|
where β1 and β2 are algebraic and λ1 and λ2 are in L.[2] Baker's proof gave lower bounds for quantities like the above but with arbitrarily many terms, and he could use these bounds to develop effective means of tackling Diophantine equations and to solve Gauss' class number problem.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ดังกล่าวข้างต้น ทฤษฎีบทการมีจำนวนมากก่อนปรองดองผลลัพธ์เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชีย ทฤษฎีบท Hermite – Lindemann และทฤษฎีบท Gelfond-ชไนเดอร์ ไม่มากเป็น encompassing เป็นข้อความคาดการณ์ของ Schanuel ยังคง unproven และได้เป็นทฤษฎีบท exponentials หก หรือ ชัดเจน exponentials สี่เปิดยังนึกเหตุผลหลักที่ Gelfond ต้องการขยายผลของเขาไม่เพียงสำหรับฆ่า transcendental เลขใหม่ ในปี 1935 เขาใช้เครื่องมือที่เขาได้พัฒนาขึ้นเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท Gelfond-ชไนเดอร์สามารถรับต่ำกว่าที่ถูกผูกไว้สำหรับปริมาณ|eta_1lambda_1 + eta_2lambda_2|ที่ β1 และ β2 พีชคณิต และ λ1 และ λ2 อยู่ในหลักฐาน L. [2] เบเกอร์ให้ต่ำกว่าขอบเขตสำหรับปริมาณ เช่นข้างต้น แต่ มีเงื่อนไขโดยมาก และเขาสามารถใช้ขอบเขตเหล่านี้ได้พัฒนาวิธีที่มีประสิทธิภาพแก้ปัญหาสมการ Diophantine และ การแก้ไขปัญหาหมายเลขชั้นของเกาส์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ดังกล่าวข้างต้น ทฤษฎีบทรวมถึงมากมายก่อนหน้านี้วิมุตติผลเกี่ยวกับฟังก์ชันแทน เช่น ทฤษฎีบทลินเดอมันน์ และ gelfond & ขาว––ชไนเดอร์ทฤษฎีบท มันไม่ค่อนข้างครอบคลุมเป็นยังพิสูจน์ schanuel คือการคาดเดา และไม่ได้หมายความถึงหกการยกกำลังทฤษฎีบทหรือ ชัดเจน ก็ยังเปิด 4 การยกกำลังเดา

เหตุผลหลัก gelfond ที่ต้องการขยายผลของเขาไม่ใช่แค่การฆ่าของตัวเลขที่พบใหม่ ในปี 1935 เขาใช้เครื่องมือที่เขาได้พัฒนาเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท gelfond –ชไนเดอร์สร้างขอบเขตล่างสำหรับปริมาณ

| beta_1 lambda_1 beta_2 lambda_2 บีตา |
ที่ 1 และบีตา 2 พีชคณิตและλ 1 และ 2 อยู่ในλ L[ 2 ] เบเกอร์เป็นข้อพิสูจน์ให้ขอบเขตล่างในปริมาณ เหมือนข้างต้น แต่ด้วยพลหลายแง่ เขาสามารถใช้ขอบเขตเหล่านี้เพื่อพัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาสมการไดโอแฟนไทน์และแก้ปัญหาจำนวนชั้นเกา '