where Sn denotes the set of all per

where Sn denotes the set of all permutations σ = (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) of
the set {1, 2, . . . , n}.
Using properties of the determinants, (12) and the definition of σ it
follows that
det(F(H)) = Ym
i=1
uivσ(i)
X
σ∈Sn
hi,σ(i) = 1 · det(H).
Thus the operator F from Mn(F) into itself preserves the determinant of
matrices.
The result of Theorem 1 may be written as
Theorem 2. Let F from Mn(F) into itself be an operator of the form (1).
Then F preserves the determinant of matrices if and only if there exist
nonsingular diagonal matrices M ∈ Mn(F), M = diag (u1, u2, . . . , un),
N ∈ Mn(F), N = diag (v1, v2, . . . , vn) such that
F(A) = MAN for all A ∈ Mn(F) with det(M) · det(N) = 1.
Remark 2. The results of Theorems 1 and 2 were obtained with no regularity
assumption on operator F (i.e. continuity, measurability or others).

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ Sn แสดงชุดเพิ่มเงินทั้งหมดσ = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) . . . . . . . σ , ( n )
เซต { 1 , 2 , . . . . . . . . , n } .
โดยใช้คุณสมบัติของตัวกำหนด ( 12 ) และความหมายของ σค่ะ

คือว่าเดช ( F ( H ) = = 1 )

uiv σ ( I )
x
σ∈ SN
หวัดดี σ ( ฉัน ) = 1 ด้วยเดช
( H ) ดังนั้นผู้ประกอบการ F จาก Mn ( F ) ในตัวเองออกมาเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
.
ผลของทฤษฎีบทที่ 1 อาจจะเขียนเป็น
ทฤษฎีบท 2ให้ f จาก MN ( F ) ในตัวเองเป็นผู้ประกอบการในรูป ( 1 ) .
แล้ว F รักษาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ถ้าและเพียงถ้ามันอยู่
nonsingular เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ M ∈ Mn ( F ) M = diag ( U1 , U2 , . . . . . . . . , a )
n ∈ Mn ( F ) , n = diag ( V1 , V2 , . . . . . . . . VN ) , เช่น
F ( A ) = ผู้ชายทั้งหมดเป็น∈ Mn ( F ) กับเดช ( M ) ด้วยเดช ( n ) = 1
หมายเหตุ 2 ผลของทฤษฎีบทที่ 1 และ 2 ได้ไม่มีความสม่ำเสมอ
สมมติฐาน ( F ( เช่น ความต่อเนื่อง งานแสดงสินค้า หรืออื่น ๆ )