n-dimensional unit vector. By trans

n-dimensional unit vector. By transitivity, we have e
e and, hence, by monotonicity e≥e.
Conversely, if e≥e, then by monotonicity e
e and by transitivity h
h. Hence, e represents

and we can define a social welfare function W(h) = e(h).
We next show that e(h) satisfies Cauchy’s functional equation: e(h + h) = e(h) + e(h), whenever
h and h are in K= {h1 ≥ · · · ≥ hn}. Let h, h ∈K. Note that for all h, e(h) is in K. The
indifference h∼e(h) implies by additivity that h + h ∼e(h) + h. Additivity and h ∼e(h) imply
that e(h) + h ∼e(h) + e(h). Transitivity gives h + h ∼e(h) + e(h). Hence, e(h + h) = e(h) + e(h).
This and monotonicity imply by a similar line of proof as in Lemma 3 and Theorem 4 inWeymark
(1981) that e(h) is linear: e(h) =
n
i=1λihi. Weymark (1981) assumed continuity of e, but his
proof also holds if monotonicity is assumed instead (see the argument in Aczel, 1966, p. 33).
Because e(1) = 1, it follows that the λi sum to 1. By monotonicity the λi are all positive. By the
principle of health transfers it follows that λi ≤λj when i < j.
Now consider h not in K. Let ˜h be a permutation of h such that ˜h ∈K. By anonymity, h ∼ ˜h
and, hence, we can define e(h) =
n
i=1λi˜hi. Choosing ai such that λi = ai

n
i=1ai
gives the desired

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หน่วย n มิติเวกเตอร์ โดย transitivity เรามีอีอี และ จึง monotonicity e≥eในทางกลับกัน ถ้า e≥e แล้ว โดย monotonicity อีอี และ transitivity h h ดังนั้น อีแทนและเราสามารถกำหนดฟังก์ชันสวัสดิการสังคม W(h) = e(h)เราถัดไปแสดงที่ e(h) ตรงตามสมการเชิงฟังก์ชันของอสมการโคชี: e (h + h) = e(h) + e (h), เมื่อใดก็ตามh และ h อยู่ใน K = { h1 ≥···≥ hn } ให้ h, h ∈K หมายเหตุสำหรับ h ทั้งหมด e(h) ว่าคุณท่าน h∼e(h) หมายถึง โดย additivity ที่ h h ∼e(h) + h Additivity และ ∼e (h) h เป็นสิทธิ์แบบที่ e(h) h ∼e(h) + e (h) Transitivity ให้ h + h ∼e(h) + e (h) ดังนั้น e (h + h) = e(h) + e (h)นี้ และเป็นสิทธิ์แบบ monotonicity โดยหลักฐานในการจับมือ 3 และ 4 ทฤษฎีบท inWeymark เหมือนกัน(1981) e(h) ที่เป็นเชิงเส้น: e(h) = nฉัน = 1λihi Weymark (1981) สันนิษฐานความต่อเนื่องของ e แต่เขาหลักฐานยังมี monotonicity ถือว่าแทน (ดูอาร์กิวเมนต์ใน Aczel, 1966, p. 33)เนื่องจาก e(1) = 1 เป็นไปตามที่ λi รวมเป็น 1 โดย monotonicity λi เป็นค่าบวกทั้งหมด โดยหลักการของสุขภาพโอนย้ายได้ดังนี้ ≤λj λi นั้นเมื่อฉัน < เจตอนนี้ พิจารณา h ไม่ได้อยู่ในคุณ ให้ ˜h เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ h เช่น ∈K ˜h ที่ โดยเปิดเผย h ∼ ˜hและ ดังนั้น เราสามารถกำหนด e(h) = nฉัน = 1λi˜hi เลือก ai เช่น λi ที่ =ไอnฉัน = 1aiที่ต้องให้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย n มิติ โดยกริยาเรามีอีอี? และดังนั้นโดย monotonicity e≥e ?.
ตรงกันข้ามถ้าe≥e ?, แล้วโดย e monotonicity จ? และเอชกริยา? ชั่วโมง ?. ดังนั้นจแสดงให้เห็นถึง
? และเราสามารถกำหนดฟังก์ชั่นสวัสดิการสังคม W (h) = อี (ซ).
ต่อไปเราแสดงให้เห็นว่าอี (ซ) ตอบสนองสมการการทำงานของ Cauchy: (ชั่วโมง) จ (H + ชั่วโมง) = อี (ซ) + อี เมื่อใดก็ตามที่
เอชและเอช? อยู่ใน K = {h1 ≥··· HN ≥} ให้เอชเอช? ∈K โปรดทราบว่าสำหรับชั่วโมงทั้งหมด, E (ซ) อยู่ในเค
ไม่แยแส h~e (ซ) หมายถึงโดย additivity ที่ H + H? ~e (ซ) + H ?. additivity และชั่วโมง? ~e (h?) บ่งบอก
ว่าอี (ซ) + H? ~e (ซ) + E (h?) กริยาช่วยให้เอชเอช + ~e (ซ) + E (h?) . ดังนั้น, E (เอชเอช +) = อี (ซ) + E (เอช)
และ monotonicity นี้บ่งบอกโดยเส้นที่คล้ายกันของหลักฐานเช่นเดียวกับในบทแทรกที่ 3 และ 4 ทฤษฎีบท inWeymark
(1981) ที่จ (ซ) เป็นเส้นตรง: อิเล็กทรอนิกส์ (h) =? n
i = 1λihi Weymark (1981) สันนิษฐานว่าความต่อเนื่องของ e แต่เขา
ยังถือหลักฐานถ้า monotonicity สันนิษฐานแทน (ดูอาร์กิวเมนต์ใน Aczel, 1966, น. 33).
เพราะจ (1) = 1 มันตามที่ผลรวมλi 1 โดย monotonicity λiเป็นบวกทั้งหมด โดย
หลักการของการถ่ายโอนสุขภาพมันตามที่≤λjλiเมื่อ i <j.
ตอนนี้พิจารณาไม่ได้อยู่ในเอชเค ~h จะให้การเปลี่ยนแปลงของเอชเช่นที่∈K ~h โดยไม่เปิดเผยชื่อเอช ~ ~h
และดังนั้นเราสามารถกำหนดอิเล็กทรอนิกส์ (h) =? n
i = 1λi~hi เลือกไอดังกล่าวที่λi = ai
? n
i = 1ai
ที่ต้องการให้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เวกเตอร์ชุด n-dimensional . โดย transitivity เรามี E
E  และดังนั้นโดย monotonicity E ≥ E  .
แต่ถ้า E ≥ E  แล้ว monotonicity E
E และ H  transitivity
H  . ดังนั้น E แทน

และเราสามารถกำหนดสวัสดิการฟังก์ชัน w ( H ) = E ( H )
เราต่อไปพบว่า E ( H ) ตรง Cauchy สมการการทำงาน : e ( H H  ) = E ( H ) e ( H  ) เมื่อใดก็ตามที่
H และ H  อยู่ใน K = { H1 ≥· · ·≥ HN } ให้ H , H  ∈ Kหมายเหตุ สำหรับ H , E ( H ) อยู่ใน K .
ไม่แยแส H ∼ E ( H ) แสดงโดยการบวกที่ H H  ∼ E ( H ) H  . การบวกและ H  ∼ E ( H  ) บ่งบอกถึง
E ( H ) H  ∼ E ( H ) e ( H  ) transitivity ให้ H H  ∼ E ( H ) e ( H  ) ดังนั้น , E ( H H  ) = E ( H ) e ( H  ) .
และ monotonicity เปรยด้วยบรรทัดที่คล้ายกันของการพิสูจน์ในรูปแบบ 3 และทฤษฎีบท 4 inweymark
( 1981 ) E ( H ) เป็นเส้นตรง : E ( H ) =
n
= 1 λ ihi .weymark ( 1981 ) สันนิษฐานว่า ความต่อเนื่องของ E ,
แต่หลักฐานของเขายังถือถ้า monotonicity ถือว่าแทน ( เห็นการโต้แย้งใน aczel , 1966 , หน้า 33 ) .
เพราะ E ( 1 ) = 1 , มันเป็นไปตามที่ผมสรุปให้λ 1 โดย monotonicity ที่λผมเป็นบวก โดย
หลักการโอนสุขภาพมันเป็นไปตามที่λผม≤λ j เมื่อฉัน < J .
ตอนนี้พิจารณา H ไม่เค ให้˜ H เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ H เช่นที่˜ H ∈เค โดยถ้าหากH ∼˜ H
และดังนั้นเราสามารถนิยามคำว่า E ( H ) =
n
= 1 λผม˜สวัสดี เลือก AI เช่นที่λ =

= ไอ
N 1ai
ให้ที่ต้องการ