7. A heuristic for Solving MINLPTo

7. A heuristic for Solving MINLP

To analyze the complexity of B&B algorithm, the number of nodes checked is counted and expressed as a function of N, the number of integers in the MINLP problem. It can be shown that, for a multi-stage supply chain system under consideration, the complexity of the B&B algorithm is (NN+1 − 1)/(N − 1) ≈ O(NN). The worst case of the B&B algorithm may be this type of exponential form. As N becomes bigger, the computing time will soon be intractable. The algorithm needs to be modified to ease the computing complexity. A simple modification of this algorithm may result in reduction of the number of nodes being evaluated and the reduction in complexity; but, unfortunately, guaranteeing no optimality of the solution. For a large MINLP problem, although this kind of heuristics is not an optimal algorithm, sometime it is very helpful to obtain the satisfactory results.

In a node-tree of B&B algorithm, there are 1 + N levels where in the second level, there are 2N nodes that descend from the root node. These 2N nodes are all checked and sorted out in increasing order. The next search restarts from the first node (the smallest value) of the sorted nodes, which, in turn, leads to the third level with 2N − 2 children. Again, these 2N − 2 nodes are checked and sorted in increasing order, and so on so forth until the search procedure reaches to the bottom level where there are two nodes need to be checked. The smaller number of these two nodes is the final result of this heuristic. If the nodes in a level are infeasible, backtracking to the up level is performed and the search restarts from the next smallest node, and so on. The search is continued to the bottom level as long as the solution is feasible, potential and final. The complexity of the best case of this heuristic is 1 + 2N + (2N − 2) + (2N − 4) + (2N − 6) + ⋯ + 6 + 4 + 2 = 1 + (N − 1)N = O(N2). Also, once an integer solution is obtained in any node at any level, the procedure stops and the integer solution is the final result. The procedure is illustrated by a MINLP problem with N = 3, which is shown in Fig. 8.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

7. heuristic สำหรับแก้ MINLPการวิเคราะห์ความซับซ้อนของบีแอนด์บี อัลกอริทึม หมายเลขของโหนดกระบวนการตรวจสอบนับ และแสดงเป็นฟังก์ชันของ N เลขจำนวนเต็มในปัญหา MINLP สามารถแสดง สำหรับระบบห่วงโซ่อุปทานแบบหลายขั้นตอนภายใต้การพิจารณา ความซับซ้อนของบีแอนด์บี อัลกอริทึมว่า (NN + 1 − 1) / (N − 1) ≈ O(NN) กรณีเลวร้ายที่สุดของบีแอนด์บี อัลกอริทึมอาจฟอร์มเนนชนิดนี้ได้ เป็น N จะใหญ่กว่า เวลาคอมพิวเตอร์จะเร็วเป็น intractable อัลกอริทึมต้องปรับเปลี่ยนเพื่อความสะดวกใช้งานซับซ้อน แก้ไขเรื่องของอัลกอริทึมนี้อาจส่งผลในการลดจำนวนของโหนที่การประเมินและการลดความซับซ้อน แต่ แต่ รับประกันไม่ optimality โซลูชัน สำหรับปัญหา MINLP ใหญ่ แม้ว่าของลองผิดลองถูกไม่มีดีอัลกอริทึม sometime ได้มากเพื่อให้ได้ผลลัพธ์น่าพอใจในโหนต้นไม้ของบีแอนด์บีอัลกอริทึม มี 1 + N ระดับอยู่ในระดับสอง มี 2N โหนดที่มาจากโหนดราก 2N โหนเหล่านี้ทั้งหมดตรวจสอบ และเรียงลำดับออกในเพิ่มสั่งได้ ค้นหาถัดไปเริ่มจากโหนดแรก (ค่าน้อยที่สุด) ของโหนดที่เรียง ซึ่ง จะ ระดับสามกับ 2N −เด็ก 2 คน อีก นี้ 2N − 2 โหนการตรวจสอบ และเรียงลำดับที่เพิ่มขึ้น และเรื่อย ๆ ต่อ ๆ จนถึงกระบวนการค้นหาในระดับล่างมี โหนสองต้องสามารถตรวจสอบ หมายเลขขนาดเล็กของโหนที่สองเหล่านี้เป็นผลลัพธ์สุดท้ายของ heuristic นี้ ถ้าโหนดในระดับถอด backtracking ระดับขึ้นจะดำเนินการ และการค้นหาเริ่มจากโหนที่เล็กที่สุดถัดไป และอื่น ๆ การค้นหาจะต่อไปยังระดับล่างตราบเท่าที่การแก้ปัญหาเป็นไปได้ เป็นไปได้ และสุดท้าย ความซับซ้อนของกรณีดีที่สุดของ heuristic นี้เป็น 1 + 2N + (2N − 2) + (2N − 4) + (2N − 6) + ⋯ + 6 + 4 + 2 = 1 + (N − 1) N = O(N2) ยัง เมื่อแก้ปัญหาเต็มได้รับในโหนทุกระดับ หยุดขั้นตอนและการแก้ปัญหาจำนวนเต็มได้ผลสุดท้าย ขั้นตอนจะแสดง โดย MINLP ปัญหา N = 3 ที่ปรากฏอยู่ใน Fig. 8

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

7. แก้ปัญหาสำหรับการแก้ MINLP เพื่อวิเคราะห์ความซับซ้อนของขั้นตอนวิธี B & B จำนวนโหนดการตรวจสอบจะถูกนับและแสดงความเป็นหน้าที่ของ N, จำนวนของจำนวนเต็มปัญหา MINLP ที่ ก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับหลายขั้นตอนระบบห่วงโซ่อุปทานภายใต้การพิจารณาความซับซ้อนของขั้นตอนวิธี B & B เป็น (NN + 1-1) / (ยังไม่มี - 1) ≈ O (NN) ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดของอัลกอริทึม B & B อาจจะเป็นประเภทของรูปแบบการชี้แจงนี้ ขณะที่ยังไม่มีจะกลายเป็นใหญ่กว่าทุกครั้งที่คอมพิวเตอร์เร็ว ๆ นี้จะว่ายาก อัลกอริทึมจะต้องมีการปรับเปลี่ยนเพื่อความสะดวกในความซับซ้อนของคอมพิวเตอร์ ปรับเปลี่ยนที่เรียบง่ายของขั้นตอนวิธีนี้อาจส่งผลในการลดจำนวนโหนดการประเมินและการลดลงในความซับซ้อนนั้น แต่โชคไม่ดีรับประกัน optimality ของการแก้ปัญหาไม่มี สำหรับปัญหา MINLP ขนาดใหญ่ถึงแม้ว่าชนิดของการวิเคราะห์พฤติกรรมนี้ไม่ได้เป็นอัลกอริทึมที่ดีที่สุดบางครั้งจะเป็นประโยชน์ที่จะได้รับผลที่น่าพอใจ. ในโหนดต้นไม้ของอัลกอริทึม B & B ที่มี 1 + N ระดับอยู่ในระดับที่สองมี มีต่อมน้ำ 2N ที่สืบเชื้อสายมาจากโหนดราก โหนด 2N เหล่านี้ทั้งหมดตรวจสอบและแยกออกในการสั่งซื้อที่เพิ่มขึ้น การค้นหาต่อไปเริ่มต้นใหม่จากโหนดแรก (ค่าที่น้อยที่สุด) ของโหนดเรียงซึ่งในที่สุดก็จะนำไปสู่ระดับที่สามกับ 2 คืน - เด็ก 2 คน อีกครั้งเหล่านี้ 2N - 2 โหนดมีการตรวจสอบและจัดเรียงในการสั่งซื้อที่เพิ่มขึ้นและอื่น ๆ เพื่อให้ออกมาจนถึงขั้นตอนการค้นหาถึงระดับล่างที่มีสองโหนดจะต้องมีการตรวจสอบ จำนวนที่มีขนาดเล็กของทั้งสองโหนดเป็นผลสุดท้ายของการแก้ปัญหานี้ ถ้าโหนดในระดับที่มีไปไม่ได้, ย้อนรอยไปถึงระดับขึ้นจะดำเนินการและมีการรีสตาร์ทค้นหาจากโหนดที่เล็กที่สุดต่อไปและอื่น ๆ การค้นหาอย่างต่อเนื่องในระดับล่างตราบใดที่การแก้ปัญหาเป็นไปได้ที่มีศักยภาพและครั้งสุดท้าย ความซับซ้อนของกรณีที่ดีที่สุดของการแก้ปัญหานี้คือ 1 + 2 คืน + (2N - 2) + (2 คืน - 4) + (2 คืน - 6) + ⋯ + 6 + 4 + 2 = 1 + (N - 1) ไม่มี = O (N2) นอกจากนี้เมื่อการแก้ปัญหาจำนวนเต็มจะได้รับในโหนดในระดับใด ๆ ขั้นตอนและวิธีการหยุดจำนวนเต็มเป็นผลสุดท้าย ขั้นตอนจะแสดงโดยปัญหาที่เกิดขึ้นกับ MINLP ไม่มี = 3 ซึ่งจะแสดงในรูปที่ 8

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

7 . ฮิวริสติกสำหรับการเป็นแบบ

การวิเคราะห์ความซับซ้อนของขั้นตอนวิธี& B B , จำนวนจุดตรวจนับและแสดงเป็นฟังก์ชันของ n , จํานวนของจำนวนเต็มในแบบปัญหา มันสามารถแสดงให้เห็นว่า สำหรับในห่วงโซ่อุปทานระบบภายใต้การพิจารณา , ความซับซ้อนของขั้นตอนวิธี& B B ( NN 1 − 1 ) / ( − 1 ) ≈ O ( nn )กรณีเลวร้ายที่สุดของ B & B ขั้นตอนวิธีอาจจะแบบ exponential ประเภทนี้ เป็น n ใหญ่ขึ้น , เวลาคอมพิวเตอร์จะเร็วจะแก่นแก้ว ขั้นตอนวิธีที่ต้องแก้ไขเพื่อความสะดวกในการคำนวณซับซ้อน แก้ไขง่ายของขั้นตอนวิธีนี้อาจส่งผลในการลดจำนวนของโหนดที่ถูกประเมิน และลดความซับซ้อน แต่น่าเสียดายไม่รับประกันคุณภาพของสารละลาย สำหรับปัญหาแบบขนาดใหญ่ แม้ว่าชนิดของฮิวริสติกไม่ได้วิธีที่ดีที่สุด บางครั้งมันจะมีประโยชน์มากที่จะได้รับผลลัพธ์ที่น่าพอใจ

ในโหนด B & B และมีที่อยู่ในระดับที่ในระดับที่สอง มี 2 จุดที่ลงมาจากปมราก .ข้อ 2 เหล่านี้ จะตรวจสอบและแยกแยะ เพื่อเพิ่ม ค้นหาต่อไปเริ่มต้นโหนดแรก ( ที่มีค่าน้อยที่สุดของการเรียงโหนด ซึ่ง จะนำไปสู่ระดับที่สามกับ 2n − 2 ลูก อีกครั้งนี้ 2n − 2 โหนดจะถูกตรวจสอบและจัดการเพื่อเพิ่มและอื่น ๆ เรื่อย ๆจนถึงขั้นตอนการค้นหาถึงด้านล่างระดับที่มีสองโหนดจะต้องได้รับการตรวจสอบ ขนาดเล็กจำนวนของเหล่านี้สองโหนดเป็นผลสุดท้ายของเรื่องนี้แบบศึกษาสำนึก ถ้าโหนดในระดับที่ backtracking เพื่อขึ้นระดับปฏิบัติ และการเริ่มต้นถัดไปที่โหนดและอื่น ๆค้นหาอย่างต่อเนื่องในระดับล่าง ตราบใดที่วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่อาจเกิดขึ้น และสุดท้าย ความซับซ้อนของคดีที่ดีที่สุดนี้สำหรับ 1 2n 2n − 2 ) 2n − 4 ) 2n − 6 ) ⋯ 6 4 2 = 1 ( − 1 ) n = O ( n2 ) นอกจากนี้เมื่อจำนวนเต็ม โซลูชั่น จะได้รับ ในการใด ๆโหนดในระดับใด กระบวนการหยุด และเป็นโซลูชั่น เป็น ผล สุดท้ายขั้นตอนที่อธิบายโดยปัญหาแบบด้วย n = 3 ซึ่งจะแสดงในรูปที่ 8 .