The number of elements in a group G

The number of elements in a group G is written |G| and is called the order of
the group. G is called a finite group if |G| is finite, and G is called an infinite
group otherwise.
An important class of groups consists of those for which every element can be
written as a power (positive or negative) of some fixed element. More precisely,
a group (G, ·) is called cyclic if there exists an element g ∈ G such that G =
{gn|n ∈ Z}. The element g is called a generator of the cyclic group.
Every cyclic group is abelian because gr · gs = gr+s = gs · gr .
The group ({1,−1, i,−i}, ·) is a cyclic group of order 4 generated by i because
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, and so on. Hence the group can
be written as ({1, i, i2, i3}, ·).
In additive notation, the group (G,+) is cyclic if G = {ng|n ∈ Z} for some
g ∈ G. The group (Z,+) is an infinite cyclic group with generator 1 (or −1).
The order of an element g in a group (G, ·) is the least positive integer r
such that gr = e. If no such r exists, the order of the element is said to be infinite.
Note the difference between the order of an element and the order of a group.
We are going to find connections between these two orders and later prove
Lagrange’s theorem, which implies that in a finite group, the order of every
element divides the order of the group.
For example, in ({1,−1, i,−i}, ·), the identity 1 has order 1,−1 has order 2
because (−1)2 = 1, whereas i and −i both have order 4. The group has order 4.
Let Q
∗ = Q − {0} be the set of nonzero rational numbers. Then (Q
∗
, ·) is a
group under multiplication. The order of the identity element 1 is 1, and the
order of −1 is 2. The order of every other element is infinite, because the only
solutions to qr = 1 with q ∈ Q
∗
, r  1 are q = ±1. The group has infinite order.
However, it is not cyclic, because there is no rational number r such that every
nonzero rational can be written as rn for some n ∈ Z.
The next two results show how the division algorithm for integers (see Appendix
2) is used in group theory.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จำนวนขององค์ประกอบในกลุ่ม G เขียน | กรัม | และเรียกว่าสั่ง
กลุ่ม กรัมเรียกว่ากลุ่มจำกัดถ้า | กรัม | เป็นที่แน่นอนและ G เรียกว่ากลุ่มอนันต์

เรียนอย่างอื่น สำคัญของกลุ่มประกอบด้วยผู้ที่มีทุกองค์ประกอบสามารถ
เขียนเป็นพลังงาน ( บวกหรือลบ ) ของบางแก้ไของค์ประกอบ ยิ่งกว่านั้น
กลุ่ม ( G ,ด้วย ) เรียกว่าเป็น หากมีองค์ประกอบ∈ G G เช่น G =
{ GN | N ∈ Z } องค์ประกอบ G เรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มเป็นวงกลม .
ทุกแบบกลุ่มศาสนาคริสต์ เพราะ GR ด้วย GS = GR S = GS ด้วย GR .
กลุ่ม ( { 1 , − 1 , −ผม } , Suite ) เป็นวงจรที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มสั่ง 4 เพราะว่า
i = 1 i1 = ผม , I2 = − 1 I3 = − , ไอโฟร์ = 1 i5 = ผม , และอื่น ๆ ดังนั้น กลุ่มสามารถ
สามารถเขียนเป็น ( { 1 i , I2 , I3 } ,ด้วย )
ในสัญกรณ์เสริมกลุ่ม ( G ) เป็นวงกลม ถ้า g = { ng | N ∈ Z } บาง
g ∈กรัมกลุ่ม ( Z ) เป็นอนันต์แบบกลุ่มกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 1 หรือ− 1 ) .
สั่งองค์ประกอบกรัมในกลุ่ม ( กรัม Suite ) , เป็นอย่างน้อยบวกจำนวนเต็ม R
เช่น GR = E . ถ้าไม่มี R อยู่ คำสั่งขององค์ประกอบที่เป็นอนันต์
ทราบความแตกต่างระหว่างคำสั่งขององค์ประกอบและลำดับของกลุ่ม .
เราจะค้นหาการเชื่อมต่อระหว่างทั้งสองคำสั่งและต่อมาพิสูจน์ทฤษฎีบทของลากรองจ์
, ซึ่งหมายความว่าในกลุ่มจำกัด คำสั่งของทุก
องค์ประกอบแบ่งเพื่อกลุ่ม .
( { 1 ตัวอย่างเช่น −− 1 , ผม , , ผม , Suite ) , เอกลักษณ์ 1 ได้สั่ง 1 , − 1 ได้ 2
เพราะ ( − 1 ) 2 = 1ในขณะที่ฉันและ−ฉันทั้งสองมีคำสั่ง 4 กลุ่มมีการสั่งซื้อ 4 .
Q
Q ให้∗ = − { 0 } เป็นเซตของจำนวนตรรกยะ 0 . แล้ว ( q
∗

ด้วย ) คือ กลุ่มภายใต้การคูณ คำสั่งของเอกลักษณ์องค์ประกอบ 1 1 และ
สั่ง− 1 2 สั่งซื้อของทุกองค์ประกอบอื่น ๆ เป็นอนันต์ เพราะโซลูชั่นเฉพาะ
กับ QR = 1 Q
Q ∈∗
, R  1 Q = ± 1 กลุ่มที่มีลำดับอนันต์ .
อย่างไรก็ตามมันไม่ได้เป็นเพราะไม่มีจำนวนตรรกยะ r
0 เหตุผลเช่นที่ทุกคนสามารถเขียนได้เป็น RN สำหรับ N ∈ Z .
2 พบว่าขั้นตอนวิธีการหารสำหรับจำนวนเต็ม ( ดูภาคผนวก
2 ) ที่ใช้ในทฤษฎีกลุ่ม