Normal distributionThe normal distr

Normal distribution
The normal distribution is the most widely known and used of all distributions. Because the
normal distribution approximates many natural phenomena so well, it has developed into a
standard of reference for many probability problems.
I. Characteristics of the Normal distribution
• Symmetric, bell shaped
• Continuous for all values of X between -∞ and ∞ so that each conceivable interval of real
numbers has a probability other than zero.
• -∞ ≤ X ≤ ∞
• Two parameters, µ and σ. Note that the normal distribution is actually a family of
distributions, since µ and σ determine the shape of the distribution.
• The rule for a normal density function is
e
2
1 f(x; , )= 2 2 -(x- ) /2
2
2 µ σ
π σ
µ σ
• The notation N(µ, σ
2
) means normally distributed with mean µ and variance σ
2
. If we say
X ∼ N(µ, σ
2
) we mean that X is distributed N(µ, σ
2
).
• About 2/3 of all cases fall within one standard deviation of the mean, that is
P(µ - σ ≤ X ≤ µ + σ) = .6826.
• About 95% of cases lie within 2 standard deviations of the mean, that is
P(µ - 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = .9544
Normal distribution - Page 1
II. Why is the normal distribution useful?
• Many things actually are normally distributed, or very close to it. For example, height
and intelligence are approximately normally distributed; measurement errors also often
have a normal distribution
• The normal distribution is easy to work with mathematically. In many practical cases,
the methods developed using normal theory work quite well even when the distribution is
not normal.
• There is a very strong connection between the size of a sample N and the extent to which
a sampling distribution approaches the normal form. Many sampling distributions based
on large N can be approximated by the normal distribution even though the population
distribution itself is definitely not normal.
III. The standardized normal distribution.
a. General Procedure. As you might suspect from the formula for the normal
density function, it would be difficult and tedious to do the calculus every time we had a new set
of parameters for µ and σ. So instead, we usually work with the standardized normal
distribution, where µ = 0 and σ = 1, i.e. N(0,1). That is, rather than directly solve a problem
involving a normally distributed variable X with mean µ and standard deviation σ, an indirect
approach is used.
1. We first convert the problem into an equivalent one dealing with a normal
variable measured in standardized deviation units, called a standardized normal variable. To do
this, if X ∼ N(µ, σ5), then
N(0,1) X - Z = ~ σ
µ
2. A table of standardized normal values (Appendix E, Table I) can then be
used to obtain an answer in terms of the converted problem.
3. If necessary, we can then convert back to the original units of
measurement. To do this, simply note that, if we take the formula for Z, multiply both sides by
σ, and then add µ to both sides, we get
X = Zσ + µ
4. The interpetation of Z values is straightforward. Since σ = 1, if Z = 2, the
corresponding X value is exactly 2 standard deviations above the mean. If Z = -1, the
corresponding X value is one standard deviation below the mean. If Z = 0, X = the mean, i.e. µ.
b. Rules for using the standardized normal distribution. It is very important to
understand how the standardized normal distribution works, so we will spend some time here
going over it. Recall that, for a random variable X,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การแจกแจงปกติการแจกแจงปกติคือ รู้จักกันอย่างแพร่หลาย และใช้ของการกระจายทั้งหมด เนื่องจากการการแจกแจงปกติ approximates ปรากฏการณ์ในธรรมชาติได้ดี มีพัฒนาเป็นการมาตรฐานอ้างอิงสำหรับความน่าเป็นปัญหามากมายI. ลักษณะของการแจกแจงปกติ•เบลล์สมมาตร รูป•ต่อเนื่องสำหรับทุกค่าของ X ระหว่าง - ∞∞ที่หลากหลายเพื่อให้แต่ละช่วงของจริงตัวเลขความน่าเป็นไม่เท่ากับศูนย์ได้• -∞ ≤ X ≤ ∞•สองพารามิเตอร์ เขต และσโปรดสังเกตว่า การแจกแจงปกติครอบครัวของจริงการกระจาย เนื่องจากเขตและσกำหนดรูปร่างของการกระจาย•กฎสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นปกติคืออี21 f (x;,) = 2 2-(x-) /22เขต 2 ΣΠΣเขตΣ•สัญลักษณ์ N (เขต σ2) หมายถึงกระจายปกติกับเขตและความแปรปรวนσหมายถึง2. ถ้าเราบอกว่าN X ∼ (เขต Σ2) เราหมายถึง ว่า กระจาย X N (เขต σ2).•เกี่ยวกับ 2/3 ของกรณีทั้งหมดที่อยู่ภายในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย คือP (เขต - เขตΣ≤ X ≤ + Σ) =.6826•ประมาณ 95% ของกรณีอยู่ภายในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 ของค่าเฉลี่ย คือP (เขต - เขต 2Σ ≤ X ≤ + 2Σ) =.9544การแจกแจงปกติ - หน้า 1 ครั้งที่สองจึงเป็นการแจกแจงปกติที่มีประโยชน์หรือไม่•สิ่งจริงได้กระจายปกติ หรือเดินก็ ตัวอย่าง ความสูงและปัญญาโดยปกติประมาณ กระจาย ประเมินข้อผิดพลาดมากมีการแจกแจงปกติ•การแจกแจงแบบปกติเป็นงาน mathematically ง่าย ในกรณีที่มีการปฏิบัติมากมายวิธีการพัฒนาโดยใช้ทฤษฎีปกติทำงานค่อนข้างดีแม้มีการกระจายปกติไม่•เป็นการเชื่อมต่อแข็งแรงมากขนาดตัวอย่าง N และขอบเขตที่การสุ่มตัวอย่างกระจายยื่นแบบปกติ การกระจายการสุ่มตัวอย่างหลายที่ตามบน N ขนาดใหญ่สามารถเลียนแบบ โดยการแจกแจงปกติแม้ประชากรกระจายตัวเองได้แน่นอนปกติIII.มาตรฐานการแจกแจงปกติการอ.ขั้นตอนทั่วไป ตามที่คุณอาจสงสัยว่าจากสูตรสำหรับปกติฟังก์ชันความหนาแน่น มันจะยาก และน่าเบื่อทำแคลคูลัสทุกครั้งที่เรามีชุดใหม่พารามิเตอร์สำหรับเขตและσ ดังนั้นแทน เรามักจะทำงานกับปกติมาตรฐานกระจาย ที่เขต = 0 และσ = 1, N(0,1) เช่นกัน กล่าวคือ ไม่ ใช่โดยตรงแก้ปัญหาเกี่ยวข้องกับการแปรการกระจายปกติ X ด้วยหมายถึงเขตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσ เป็นทางอ้อมใช้วิธีการ1. เราแปลงปัญหาในการจัดการหนึ่งเทียบเท่ากับแบบปกติตัวแปรที่วัดในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เรียกตัวแปรปกติมาตรฐาน จะทำอย่างไรนี้ ถ้า X ∼ N (เขต σ5), แล้ว N(0,1) X - Z = ~ Σµ2.ตารางค่ามาตรฐานปกติ (ภาคผนวก E ตารางผม) ได้แล้วใช้เพื่อหาคำตอบในปัญหาแปลงแล้ว3. ถ้าจำเป็น เราสามารถแล้วแปลงกลับหน่วยเดิมวัด การทำเช่นนี้ เพียงแค่สังเกตว่า ถ้าเราใช้สูตรสำหรับ Z คูณทั้งสองข้างด้วยΣ แล้ว เพิ่มเขตให้ทั้งสองฝ่าย เราได้รับX = ZΣ + เขต4. interpetation ค่า Z จะตรงไปตรงมา ตั้งแต่σ = 1 ถ้า Z = 2 การX ที่สอดคล้องกันค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 ตรงเหนือค่าเฉลี่ยไม่ ถ้า Z = -1 การX ที่สอดคล้องกันค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ยจะ ถ้า Z = 0, X =ค่าเฉลี่ย เขตเช่นกันb. การกฎสำหรับการใช้การแจกแจงปกติมาตรฐาน มันเป็นสิ่งสำคัญเข้าใจวิธีการแจกแจงปกติมาตรฐานการทำงาน ดังนั้นเราจะใช้เวลาที่นี่ไปกว่านั้น เรียกคืน ที่สำหรับตัวแปรสุ่ม X

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กระจายปกติ
กระจายปกติเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางที่สุดและใช้งานของการกระจายทั้งหมด เพราะ
การกระจายปกติใกล้เคียงกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติจำนวนมากดังนั้นดีมันได้กลายมาเป็น
มาตรฐานของการอ้างอิงสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นน่าจะเป็นจำนวนมาก.
I. ลักษณะของการกระจายปกติ
•สมมาตรระฆังรูป
อย่างต่อเนื่อง•ค่าทั้งหมดของ X ระหว่าง-∞∞และเพื่อให้แต่ละช่วงเวลาที่เป็นไปได้จริงของ
ตัวเลขมีโอกาสอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์.
•-∞≤ X ≤∞
•สองพารามิเตอร์μและ σ โปรดทราบว่าการกระจายปกติเป็นจริงของครอบครัว
กระจายตั้งแต่μσและกำหนดรูปร่างของการกระจาย.
•กฎสำหรับฟังก์ชั่นความหนาแน่นปกติ
อี
2
1 f (x;) = 2 2 - (x-) / 2
2
2 ไมครอนุ
ุเธ
ไมครอนุ
•สัญกรณ์ N (μ, σ
2
) หมายถึงการกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนσ
2
ถ้าเราบอก
X ~ N (μ, σ
2
) เราหมายถึงว่ามีการกระจาย X N (μ, σ
2
.)
•เกี่ยวกับ 2/3 ของทุกกรณีตกอยู่ในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยที่เป็น
P (μ - σ X ≤≤μ + σ) = 0.6826.
•เกี่ยวกับ 95% ของผู้ป่วยที่อยู่ภายใน 2 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยที่เป็น
P (μ - 2σ≤ X ≤μ + 2σ) = 0.9544
กระจายปกติ - หน้า 1
ครั้งที่สอง การกระจายปกติคือเหตุผลที่มีประโยชน์หรือไม่
•หลายสิ่งหลายอย่างจริง ๆ แล้วมีการกระจายปกติหรือใกล้เคียงกับมัน ตัวอย่างเช่นความสูง
และสติปัญญาจะประมาณกระจายตามปกติ; ข้อผิดพลาดในการวัดก็มักจะ
มีการกระจายปกติ
•กระจายปกติเป็นเรื่องง่ายที่จะทำงานร่วมกับทางคณิตศาสตร์ ในกรณีที่การปฏิบัติหลาย
วิธีการที่พัฒนาโดยใช้ทฤษฎีการทำงานปกติค่อนข้างดีแม้ในขณะที่การจัดจำหน่ายเป็น
ไม่ปกติ.
•มีการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งมากระหว่างขนาดของ N ตัวอย่างและขอบเขตที่เป็น
วิธีการกระจายการสุ่มตัวอย่างแบบปกติ การกระจายการสุ่มตัวอย่างจำนวนมากขึ้นอยู่
บนไม่มีขนาดใหญ่สามารถประมาณโดยการกระจายปกติแม้ว่าประชากร
กระจายตัวเองแน่นอนไม่ปกติ.
III แจกแจงปกติมาตรฐาน.
ขั้นตอนทั่วไป ขณะที่คุณอาจสงสัยว่าจากสูตรปกติ
ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของมันจะเป็นเรื่องยากและน่าเบื่อที่จะทำแคลคูลัสทุกครั้งที่เรามีชุดใหม่
ของพารามิเตอร์สำหรับμและσ ดังนั้นแทนที่จะเรามักจะทำงานร่วมกับปกติมาตรฐาน
การจัดจำหน่ายที่μ = 0 และσ = 1 คือ N (0,1) นั่นคือแทนที่จะโดยตรงในการแก้ปัญหา
ที่เกี่ยวข้องกับการกระจายปกติตัวแปร X กับค่าเฉลี่ยμσและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทางอ้อม
จะใช้วิธีการที่.
1 ครั้งแรกที่เราแปลงปัญหาเป็นหนึ่งในการจัดการกับเทียบเท่าปกติ
ตัวแปรวัดในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่เรียกว่าตัวแปรปกติมาตรฐาน การทำเช่น
นี้ถ้า X ~ N (μ, σ5) แล้ว
N (0,1) X - Z = ~ ุ
ไมครอน
2 ตารางค่ามาตรฐานปกติ (ภาคผนวกจตาราง I) จากนั้นจะสามารถ
ใช้เพื่อให้ได้คำตอบในแง่ของปัญหาแปลง.
3 ถ้าจำเป็นเราก็สามารถแปลงกลับไปยังหน่วยเดิมของ
วัด การทำเช่นนี้ก็ทราบว่าถ้าเราใช้สูตร Z คูณทั้งสองข้างด้วย
σแล้วเพิ่มμทั้งสองด้านที่เราได้รับ
X = Zσ + μ
4 interpetation ของค่า Z ตรงไปตรงมา ตั้งแต่σ = 1 ถ้า Z = 2
ค่า X ที่สอดคล้องกันคือว่า 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าเฉลี่ยดังกล่าวข้างต้น หาก Z = -1,
ค่า X ที่สอดคล้องกันคือหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานต่ำกว่าค่าเฉลี่ย หาก Z = 0, X = ค่าเฉลี่ยคือμ.
ข กฎระเบียบสำหรับการใช้การกระจายปกติมาตรฐาน มันเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะ
เข้าใจวิธีการทำงานที่ได้มาตรฐานกระจายปกติดังนั้นเราจะใช้เวลาที่นี่
จะมากกว่านั้น จำได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่ม X,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การแจกแจงปกติการแจกแจงปกติ
กันอย่างแพร่หลายมากที่สุดที่รู้จักและใช้ทั้งหมดของการกระจาย . เพราะมีปรากฏการณ์ทางธรรมชาติมากมาย
การแจกแจงปกติดี มันได้พัฒนาเป็นมาตรฐานอ้างอิงสำหรับปัญหา

ฉันโอกาสมากมาย ลักษณะของการแจกแจงแบบปกติด้วย
-
รูปสมมาตร เบลล์บวกต่อเนื่องสำหรับค่าทั้งหมดของ X ระหว่าง - ∞∞ดังนั้นแต่ละช่วงและเป็นไปได้ของจำนวนจริง
มีความน่าจะเป็นมากกว่าศูนย์ .
- -
- ∞≤ x ≤∞สองพารามิเตอร์ และµσ . ทราบว่า ปกติแล้วครอบครัว
และเนื่องจากµσและกำหนดรูปร่างของการกระจาย .
- กฎสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นปกติ
E
2
1 f ( x ; , ) = 2 2 - ( x ) ) / 2
2
2 µσ
πσσ
-
µสัญลักษณ์ N ( µσ
2
, ) หมายถึง µแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนσ
2

ถ้าเราพูด
x ∼ N ( µσ ,
2
) เราหมายถึงว่า X กระจาย N ( µσ
,
2 )
- ประมาณ 2 / 3 ของทุกกรณีอยู่ภายในหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยที่
p ( µ - σ≤ x ≤µσ ) = . 6826 .
- ประมาณ 95% ของกรณีโกหกภายใน 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยที่
p ( µ - 2 σ≤ x ≤µ 2 σ 9544
) = .แจก - หน้า 1
2 ปกติ ทำไมมีการแจกแจงแบบปกติที่มีประโยชน์
- หลายเรื่อง ที่จริงมีการแจกแจงปกติ หรือใกล้เคียงกับมัน ตัวอย่างเช่นความสูง
และสติปัญญาประมาณปกติกระจาย ; ความคลาดเคลื่อนของการวัดมัก

- มีการแจกแจงปกติการแจกแจงปรกติเป็นเรื่องง่ายที่จะทำงานกับทางคณิตศาสตร์ . ในกรณีการปฏิบัติหลาย
วิธีการพัฒนาทฤษฎีที่ใช้งานปกติ ค่อนข้างดี แม้ว่าการกระจาย
-
ไม่ปกติ มีการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งมากระหว่างขนาดของตัวอย่าง และขอบเขตที่
สุ่มกระจายแนวทางรูปแบบปกติ ตัวอย่างการกระจายขนาดใหญ่โดยมาก
n สามารถประมาณด้วยการแจกแจงปกติ แม้ว่าประชากร
แจกตัวเองไม่ใช่คนปกติ .
3 การแจกแจงปกติมาตรฐาน .
a ขั้นตอนทั่วไป คุณอาจจะสงสัยว่า จากสูตรสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นปกติ
มันจะยากและน่าเบื่อที่จะทำแคลคูลัส ทุกครั้งที่เราได้
ชุดใหม่ของพารามิเตอร์สำหรับµ และσ . ดังนั้น แทน เรามักจะทำงานกับการแจกแจงปกติ
มาตรฐานที่µ = 0 และσ = 1 ) N ( 0.1 )นั่นคือแทนที่ได้โดยตรง แก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการกระจายปกติ
ตัวแปร x กับµค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσ วิธีการคือใช้ทางอ้อม
.
1 เราแปลงปัญหาเป็นเทียบเท่าหนึ่งจัดการกับตัวแปรปกติ
วัดในหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เรียกว่าเป็นมาตรฐานปกติของตัวแปร ทำ
นี้ ถ้า x ∼ N ( µσ , 5 ) จากนั้น
N ( 0.1 ) x - Z = ~ σ
µ
2ตารางมาตรฐานของค่าปกติ ( ภาคผนวก E , โต๊ะผม ) จากนั้นจะสามารถใช้เพื่อขอรับ
คำตอบในแง่ของแปลงปัญหา .
3 ถ้าจำเป็น เราสามารถแปลงกลับไปเป็นหน่วยเดิมของ
การวัด การทำเช่นนี้เพียงแค่ทราบว่า ถ้าเราใช้สูตร Z คูณทั้งสองข้างด้วย
σแล้วเพิ่มµทั้ง 2 ฝ่าย เราได้
x = Z σµ
4การ interpetation ของ Z ค่าคือตรงไปตรงมา ตั้งแต่σ = 1 ถ้า Z = 2
X ค่าสอดคล้องกันเป็น 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานข้างต้นหมายถึง ถ้า y = - x
1 ที่ค่าต่ำกว่าค่าเฉลี่ย . ถ้า z = 0 , x = หมายถึง คือ µ .
b กฎโดยใช้การแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน มันเป็นสิ่งสำคัญมากที่จะ
เข้าใจวิธีการทำงานของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ดังนั้นเราจะใช้เวลาที่นี่
ไปมากกว่านั้น จำได้ว่า เป็นตัวแปรสุ่ม X