Forum GeometricorumVolume 12 (2012)

Forum Geometricorum
Volume 12 (2012) 237–241. b
b
b
FORUM GEOM
ISSN 1534-1178
Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral
Martin Josefsson
Abstract. We prove an inequality for the area of a bicentric quadrilateral in
terms of the radii of the two associated circles and show how to construct the
quadrilateral of maximal area.
1. Introduction
A bicentric quadrilateral is a convex quadrilateral that has both an incircle and
a circumcircle, so it is both tangential and cyclic. Given two circles, one within
the other with radii r and R (where r < R), then a necessary condition that there
can be a bicentric quadrilateral associated with these circles is that the distance 
between their centers satisfies Fuss’ relation
1
(R + )2 +
1
(R − )2 =
1
r2 .
A beautiful elementary proof of this was given by Salazar (see [8], and quoted at
[1]). According to [9, p.292], this is also a sufficient condition for the existence
of a bicentric quadrilateral. Now if there for two such circles exists one bicentric
quadrilateral, then according to Poncelet’s closure theorem there exists infinitely
many; any point on the circumcircle can be a vertex for one of these bicentric
quadrilaterals [11]. That is the configuration we shall study in this note. We derive
a formula for the area of a bicentric quadrilateral in terms of the inradius, the
circumradius and the angle between the diagonals, conclude for which quadrilateral
the area has its maximum value in terms of the two radii, and show how to construct
that maximal quadrilateral.
2. More on the area of a bicentric quadrilateral
In [4] and [3, §6] we derived a few new formulas for the area of a bicentric
quadrilateral. Here we will prove another area formula using properties of bicentric
quadrilaterals derived by other authors.
Theorem 1. If a bicentric quadrilateral has an incircle and a circumcircle with
radii r and R respectively, then it has the area
K = r r +p4R2 + r2 sin 
Publication Date: October 18, 2012. Communicating Editor: Paul Yiu.
238 M. Josefsson
where  is the angle between the diagonals.
Proof. We give two different proofs. Both of them uses the formula
K = 1
2pq sin  (1)
which gives the area of a convex quadrilateral with diagonals p, q and angle 
between them.
bO
b
A
bB
b C
D b p
R
Figure 1. Using the inscribed angle theorem
First proof. In a cyclic quadrilateral it is easy to see that the diagonals satisfy
p = 2RsinB and q = 2RsinA (see Figure 1). Inserting these into (1) we have
that a cyclic quadrilateral has the area 1
K = 2R2 sinAsinB sin . (2)
In [13] Yun proved that in a bicentric quadrilateral ABCD (which he called a
double circle quadrilateral),
sinAsinB =
r2 + rp4R2 + r2
2R2 .
Inserting this into (2) proves the theorem.
Second proof. In [2, pp.249, 271–275] it is proved that the inradius in a bicentric
quadrilateral is given by
r =
pq
2ppq + 4R2
.
Solving for the product of the diagonals gives
pq = 2r r +p4R2 + r2
where we chose the solution of the quadratic equation with the plus sign since
the product of the diagonals is positive. Inserting this into (1) directly yields the
theorem. 
1A direct consequence of this formula is the inequality K  2R2 in a cyclic quadrilateral, with
equality if and only if the quadrilateral is a square.
Maximal area of a bicentric quadrilateral 239
Remark. According to [12, p.164], it was Problem 1376 in the journal Crux
Mathematicorum to derive the equation
pq
4r2 −
4R2
pq
= 1
in a bicentric quadrilateral. Solving this also gives the product pq in terms of the
radii r and R.
Corollary 2. If a bicentric quadrilateral has an incircle and a circumcircle with
radii r and R respectively, then its area satisfies
K  r r +p4R2 + r2
where there is equality if and only if the quadrilateral is a right kite.
Proof. There is equality if and only if the angle between the diagonals is a right
angle, since sin   1 with equality if and only if  = 
2 . A tangential quadrilateral
has perpendicular diagonals if and only if it is a kite according to Theorem 2 (i)
and (iii) in [5]. Finally, a kite is cyclic if and only if two opposite angles are right
angles since it has a diagonal that is a line of symmetry and opposite angles in a
cyclic quadrilateral are supplementary angles. 
We also have that the semiperimeter of a bicentric quadrilateral satisfies
s  r +p4R2 + r2
where there is equality if and only if the quadrilateral is a right kite. This is a direct
consequence of Corollary 2 and the formula K = rs for the area of a tangential
quadrilateral. To derive this inequality was a part of Problem 1203 in Crux Mathematicorum
according to [10, p.39]. Another part of that problem was to prove that
in a bicentric quadrilateral, the product of the sides satisfies
abcd  16
9 r2(4R2 + r2).
It is well known that the left hand side gives the square of the area of a bicentric
quadrilateral (a short proof is given in [4, pp.155–156]). Thus the inequality can
be restated as
K  4
3rp4R2 + r2.
This is a weaker area inequality than the one in Corollary 2, which can be seen in
the following way. An inequality between the two radii of a bicentric quadrilateral
is R 
p2r. 2 From this it follows that 4R2  8r2, and so
3r  p4R2 + r2.
Hence, from Theorem 1, we have
K
r  r +p4R2 + r2  4
3p4R2 + r2
so the expression in Corollary 2 gives a sharper upper bound for the area.
2References to several different proofs of this inequality are given at the end of [6], where we
provided a new proof of an extension to this inequality.
240 M. Josefsson
3. Construction of the maximal bicentric quadrilateral
Given two circles, one within the other, and assuming that a bicentric quadrilateral
exist inscribed in the larger circle and circumscribed around the smaller, then
among the infinitely many such quadrilaterals that are associated with these circles,
Corollary 2 states that the one with maximal area is a right kite. Since a kite
has a diagonal that is a line of symmetry, the construction of this is easy. Draw a
line through the two centers of the circles. It intersect the circumcircle at A and C.
Now all that is left is to construct tangents to the incircle through A. This is done by
constructing the midpoint M between the incenter I and A, and drawing the circle
with center M and radius MI according to [7]. This circle intersect the incircle at
E and F. Draw the tangents AE and AF extended to intersect the circumcircle at
B and D. Finally connect the points ABCD, which is the right kite with maximal
area of all bicentric quadrilaterals associated with the two circles having centers I
and O.
b
I
bO
b
A
b C
bM
F b
b
E
b D
b
B
Figure 2. Construction of the right kite ABCD
References
[1] A. Bogomolny, Fuss’ Theorem, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles,
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Fuss.shtml
[2] H. Fukagawa and T. Rothman, Sacred Mathematics, Japanese Temple Geometry, Princeton
university press, 2008.
[3] M. Josefsson, Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential
quadrilateral, Forum Geom., 10 (2010) 119–130.
[4] M. Josefsson, The area of a bicentric quadrilateral, Forum Geom., 11 (2011) 155–164.
[5] M. Josefsson, When is a tangential quadrilateral a kite?, Forum Geom., 11 (2011) 165–174.
[6] M. Josefsson, A new proof of Yun’s inequality for bicentric quadrilaterals, Forum Geom., 12
(2012) 79–82.
[7] Math Open Reference, Tangents through an external point, 2009,
http://www.mathopenref.com/consttangents.html
[8] J. C. Salazar, Fuss’ theorem, Math. Gazette, 90 (2006) 306–307.
Maximal area of a bicentric quadrilateral 241
[9] M. Saul, Hadamard’s Plane Geometry, A Reader’s Companion, Amer. Math. Society, 2010.
[10] E. Specht, Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, 2007, available at
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf
[11] E. W. Weisstein, Bicentric Polygon, MathWorld – A Wolfram Web Resource, Accessed 22
April 2012, http://mathworld.wolfram.com/BicentricPolygon.html
[12] P. Yiu, Notes on Euclidean Geometry, Florida Atlantic University Lecture Notes, 1998.
[13] Z. Yun, Euler’s inequality revisited, Mathematical Spectrum, 40 (2008) 119–121.
Martin Josefsson: V¨astergatan 25d, 285 37 Markaryd, Sweden
E-mail address: [e-mail]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟอรั่ม Geometricorumปริมาณ 12 (2012) 237-241 bbbGEOM ฟอรั่มนอก 1178 รายการ 1534พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่ Bicentric สูงสุดมาร์ติ Josefssonบทคัดย่อ เราพิสูจน์อสมการของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ในเงื่อนไขของรัศมีของทั้งสองเกี่ยวข้องวง และแสดงวิธีการสร้างการรูปสี่เหลี่ยมของพื้นที่สูงสุดบทนำรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentric เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีวงกลมมีทั้งแนบใน และการ circumcircle ดังนั้นจึงเป็น tangential และวงจร กำหนดวงกลมสอง หนึ่งภายในอื่น ๆ ที่ มีรัศมี r และ R (ที่เป็น < R), แล้วความจำเป็นสภาพที่มีเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric ที่เกี่ยวข้องกับวงการเหล่านี้เป็นระยะที่ระหว่างศูนย์ของพวกเขาเป็นความสัมพันธ์ของชัดเจน1(R + )2 +1(R − )2 =1r2สวยประถมหลักฐานนี้ให้ซัลลาซาร์ (ดู [8], และเสนอราคาที่[1]) . ตาม [9, p.292], นี้เป็นเงื่อนไขเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ตอนนี้ถ้ามีสำหรับสองวงการดังกล่าวมีอยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง bicentricรูปสี่เหลี่ยม แล้วตามทฤษฎีบทปิดของ Poncelet มีอยู่เพียบหลาย จุดใด ๆ บน circumcircle สามารถจุดยอดหนึ่งเหล่านี้ bicentricquadrilaterals [11] การกำหนดค่าที่เราจะศึกษาในหมายเหตุนี้ได้ ที่เราได้มีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ในแง่ของ inradius การcircumradius และมุมระหว่างเส้นทแยงมุม สรุปสำหรับรูปสี่เหลี่ยมใดพื้นที่มีมูลค่าสูงในแง่ของรัศมีสอง และแสดงวิธีการสร้างรูปสี่เหลี่ยมที่สูงสุด2. เพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentricใน [4] และ [3, §6] เรามากี่สูตรใหม่สำหรับพื้นที่ของ bicentricรูปสี่เหลี่ยม ที่นี่เราจะพิสูจน์โดยใช้คุณสมบัติของ bicentric สูตรพื้นที่อื่นquadrilaterals การเขียนทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric มีการวงกลมแนบในและ circumcircle ด้วยรัศมี r และ R ตามลำดับ แล้วมีพื้นที่K = r r + p4R2 + r2 บาปวันเผยแพร่: 18 ตุลาคม 2012 บรรณาธิการสื่อสาร: Paul YiuJosefsson M. 238มุมระหว่างทแยงหลักฐาน เราให้หลักฐานที่แตกต่างกันสอง ทั้งสองอย่างใช้สูตรK = 12pq บาป (1)ซึ่งทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนด้วยเส้นทแยงมุม p, q และมุมระหว่างพวกเขาบ่อbAบีบีb CD b pRรูปที่ 1 ใช้ทฤษฎีบทมุม inscribedหลักฐานแรก ในรูปสี่เหลี่ยมเป็นวงกลม ซึ่งง่ายต่อการดูว่า เส้นทแยงมุมที่ตอบสนองความp = 2RsinB และ q = 2RsinA (ดูรูปที่ 1) เราแทรกเหล่านี้ลงใน (1) มีที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมมีพื้นที่ 1K = 2R2 sinAsinB บาป (2)ในยุน [13] พิสูจน์ที่ใน ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric (ซึ่งเขาเรียกว่าการคู่วงกลมรูปสี่เหลี่ยม),sinAsinB =r2 + rp4R2 + r22R2แทรกนี้ใน (2) พิสูจน์ทฤษฎีบทหลักฐานที่สอง ใน [2, pp.249, 271-275] จะพิสูจน์ที่ inradius ในการ bicentricรูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดโดยr =pq2ppq + 4R2.การแก้ไขสำหรับผลิตภัณฑ์ของให้เส้นทแยงมุมpq = 2r r + p4R2 + r2ที่เราเลือกการแก้ปัญหาของสมการกำลังสองมีบวกตั้งแต่ผลิตภัณฑ์ของเส้นทแยงมุมเป็นบวก ใส่นี้ลงใน (1) โดยตรงผลผลิตทฤษฎีบท ผลตรง 1A ของสูตรนี้คือ 2R2 K อสมการในรูปสี่เหลี่ยมแบบวงกลมความเท่าเทียมกันถ้าและเดียวถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีสี่เหลี่ยมพื้นที่สูงสุดของรูปสี่เหลี่ยม bicentric 239หมายเหตุ ตาม [12, p.164], มันเป็นปัญหา 1376 ในสมุดปมMathematicorum ได้สมการpq4r2 −4R2pq= 1ในการรูปสี่เหลี่ยม bicentric แก้นี้ยังช่วยให้ผลิตภัณฑ์ pq ในแง่ของการรัศมี r และ rCorollary 2 ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric มีการวงกลมแนบในและ circumcircle ด้วยรัศมี r และ R ตามลำดับ แล้วพื้นที่ตรงK r r + p4R2 + r2มีความเท่าเทียมกันถ้า และเมื่อรูปสี่เหลี่ยม ว่าวขวาหลักฐาน มีความเท่าเทียมกันถ้าและเดียวถ้ามุมระหว่างทแยงเป็นสิทธิมุม ตั้งแต่บาปที่ 1 ด้วยความเสมอภาค และเท่า =2 รูปสี่เหลี่ยมมี tangentialมีเส้นทแยงมุมตั้งฉากเท่านั้นหากเป็นว่าวตามทฤษฎีบท 2 (iและ (iii) ใน [5] ในที่สุด ว่าวเป็นวงจรถ้าและเดียวถ้าสองมุมตรงข้ามเหมาะสมมุมเนื่องจากมีเส้นทแยงมุมที่เป็นสายของสมมาตรและตรงข้ามกับมุมใน การรูปสี่เหลี่ยมวงกลมเป็นมุมฉาก เรายังมีที่เป็น semiperimeter ของรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentrics r + p4R2 + r2มีความเท่าเทียมกันถ้า และเมื่อรูปสี่เหลี่ยม ว่าวขวา เป็นโดยตรงผลของ Corollary สูตร K =รูปีสำหรับพื้นที่ของที่ tangentialรูปสี่เหลี่ยม ได้ไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นส่วนหนึ่งของปัญหา 1203 ในปม Mathematicorumตาม [10, p.39] เป็นส่วนหนึ่งของปัญหาคือการ พิสูจน์ที่ในรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentric ผลิตภัณฑ์ด้านการตอบสนองabcd 169 r2(4R2 + r2)เป็นที่ทราบกันดีว่า ด้านซ้ายมือให้สี่เหลี่ยมพื้นที่ของการ bicentricรูปสี่เหลี่ยม (พิสูจน์สั้นถูกกำหนดใน [4, pp.155–156]) ดังนั้น ความไม่เท่าเทียมกันสามารถสามารถปรับเป็นK 43rp4R2 + r2เป็นอสมการตั้งแข็งแกร่งกว่าใน Corollary 2 ซึ่งคุณสามารถดูในลักษณะต่อไปนี้ อสมการระหว่างรัศมีสองของรูปสี่เหลี่ยมที่ bicentricเป็น Rp2r 2 จากนี้ ว่า 4R2 8r2 ดังนั้น และดังนั้น3r p4R2 + r2ด้วยเหตุนี้ จากทฤษฎีบท 1 เรามีKr r + p4R2 + r2 43p4R2 + r2ดังนั้น นิพจน์ใน Corollary 2 ให้ขอบบนคมของพื้นที่2References กับหลักฐานที่แตกต่างกันหลายของอสมการนี้จะได้รับเมื่อสิ้นสุด [6], ที่เรามีหลักฐานใหม่ของส่วนขยายการอสมการนี้240 M. Josefsson3. การสร้างรูปสี่เหลี่ยม bicentric สูงสุดกำหนดวงกลมสอง หนึ่งภายในอื่น ๆ และสมมติว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentricมีจารึกไว้ในวงกลมใหญ่ และอ้างรอบเล็ก จากนั้นนี่หลายอย่างมากมายเช่น quadrilaterals ที่มีความเกี่ยวข้องกับวงการเหล่านี้Corollary 2 แจ้งว่า หนึ่งกับพื้นที่สูงสุดมีว่าวขวา ตั้งแต่ว่าวมีเส้นทแยงมุมที่เส้นสมมาตร การก่อสร้างนี้ได้ วาดแบบเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมสอง มันตัด circumcircle ที่ A และ cตอนนี้ สิ่งที่เหลือคือการสร้าง tangents ให้วงกลมแนบในผ่านก. สิ่งนี้ทำโดยสร้างจุดกึ่งกลาง M ระหว่าง incenter ที่ผมและ A และวาดวงกลมศูนย์ M และรัศมีที่ MI ตาม [7] วงนี้ตัดวงกลมแนบในที่E และ F. วาด tangents ขยายอิน circumcircle ที่ AF และ AEB และ d ในที่สุด เชื่อมต่อจุด ABCD ซึ่งเป็นว่าวเหมาะกับสูงสุดquadrilaterals bicentric ทั้งหมดสัมพันธ์กับพื้นที่ของวงกลมสองที่มีศูนย์ผมและ obผมบ่อbAb Cองค์การสหประชาชาติF bbอีb DbBรูปที่ 2 ก่อสร้างของว่าวขวา ABCDอ้างอิงA. Bogomolny [1] ทฤษฎีบท Miscellany คณิตศาสตร์แบบโต้ตอบ และ ปริศนาhttp://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Fuss.shtml[2] ฟุกะงะวะ H. และรอธแมน T., Princeton ศักดิ์สิทธิ์คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวัดญี่ปุ่นมหาวิทยาลัยกด 2008[3] M. Josefsson คำนวณเกี่ยวกับความยาวสัมผัสและคอร์ด tangency ของเป็น tangentialรูปสี่เหลี่ยม ฟอรั่ม Geom., 10 (2010) 119-130[4] M. Josefsson พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric มี ฟอรั่ม Geom., 11 (2011) 155-164[5] M. Josefsson เมื่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมมี tangential ว่าว?, ฟอรั่ม Geom., 11 (2011) 165-174[6] M. Josefsson หลักฐานใหม่ของยุนอสมการสำหรับ bicentric quadrilaterals, Geom. ฟอรั่ม 12(2012) 79-82[7] คณิตศาสตร์เปิดจุดอ้างอิง Tangents ผ่านภายนอก 2009http://www.mathopenref.com/consttangents.html[8] J. C. ซัลลาซาร์ ทฤษฎีบทของยุ่งยาก คณิตศาสตร์ ข่าว 90 (2006) 306-307พื้นที่สูงสุดของรูปสี่เหลี่ยม bicentric 241[9] M. อู คณิตศาสตร์ของ Hadamard เรขาคณิตระนาบ ตัวอ่าน Companion นอเมริกา สังคม 2010[10] E. Specht อสมการเสนอใน "ปม Mathematicorum" 2007http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf[11] E. ปูคำแนะ รูปหลายเหลี่ยม Bicentric แมธ เวิลด์ – ทรัพยากรเว็บวุลแฟรม เข้าถึง 222555 เมษายน http://mathworld.wolfram.com/BicentricPolygon.html[12] P. Yiu หมายเหตุเกี่ยวกับเรขาคณิตแบบยุคลิด ฟลอริดาแอตแลนติกมหาวิทยาลัยบรรยาย 1998[13] Z. ยุน มาเยือน ความไม่เสมอภาคของออยเลอร์คณิตศาสตร์สเปกตรัม 40 (2008) 119-121Martin Josefsson: V¨astergatan d ที่ 25, 285 37 Markaryd สวีเดนอีเมล์: [e-mail]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บอร์ด geometricorum
หมวด 12 ( 2012 ) 237 – 241 . บี
บี
บี
เว็บบอร์ดกึม
ชื่อ 1534-1178
พื้นที่สูงสุดของ bicentric รูปสี่เหลี่ยม
มาร์ติน josefsson
นามธรรม เราพิสูจน์อสมการสำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric ใน
แง่ของรัศมีวงกลมที่เกี่ยวข้องสองและแสดงวิธีการสร้าง
รูปสี่เหลี่ยมพื้นที่สูงสุด
1 . แนะนำ
รูปสี่เหลี่ยม bicentric เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูนที่มีวงกลมแนบในและ
เป็น circumcircle จึงเป็นทั้งสัมผัสและวงจร . ให้สองวง หนึ่ง ภายใน
อื่น ๆที่มีรัศมี R และ R ( r < R ) แล้วเงื่อนไขจำเป็นนั้น
สามารถ bicentric รูปสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับวงกลมเหล่านี้คือว่าระยะทาง
ระหว่างศูนย์ของพวกเขา พึงพอใจ เอะอะ ' ความสัมพันธ์
1
( R + + ) 2
1
( r − 2 =
1
อาร์ทู
หลักฐานเบื้องต้นที่สวยงามนี้ได้รับจาก ซาลาซาร์ ( ดู [ 8 ] และยกมาที่
[ 1 ] ) ตาม p.292 [ 9 ] และยังเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีชีวิตอยู่
ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric . ตอนนี้ ถ้า สองวงนี้อยู่หนึ่ง bicentric
รูปสี่เหลี่ยม แล้วตามทฤษฎีบท poncelet ปิดมีอยู่อนันต์
หลาย ๆจุดบน circumcircle สามารถจุดยอดหนึ่งของเหล่านี้ bicentric
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส [ 11 ] นั่นคือค่าที่เราจะศึกษาในบันทึกนี้ เราได้รับ
สูตรพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม bicentric ในแง่ของรัศมีในที่
circumradius และมุมระหว่างเส้นทแยงมุม สรุปผลที่รูปสี่เหลี่ยม
พื้นที่ที่มีคุณค่าสูงสุดในแง่ของทั้งสองข้างและแสดงวิธีการสร้าง
ที่สูงสุดรูปสี่เหลี่ยม .
2 . เพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric
[ 4 ] และ [ 3 § 6 ] เราได้มาเป็นสูตรใหม่ไม่กี่สำหรับพื้นที่ของ bicentric
รูปสี่เหลี่ยม . ที่นี่เราจะพิสูจน์สูตร โดยใช้คุณสมบัติของ bicentric พื้นที่อื่น
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้มาโดยผู้เขียนอื่น ๆ
ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric มีวงกลมแนบในและ circumcircle กับ
รัศมี R และ R ตามลำดับ มันมีพื้นที่
K = r r + p4r2 + R2 บาป
วันที่ตีพิมพ์ : 18 ตุลาคม 2555 การแก้ไข : พอล หยู
josefsson 238 ม.
ซึ่งเป็นมุมระหว่างเส้นทแยงมุม
พิสูจน์ เราให้สองหลักฐานต่าง ๆ ทั้งสองของพวกเขาใช้สูตร
K = 1
2pq บาป ( 1 )
ซึ่งจะช่วยให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนด้วยเส้นทแยงมุม p , q และมุม
ระหว่างพวกเขา
โบ
บี
เป็น
บีบี
บี ซี
D B p
อาร์
รูปที่ 1 ใช้สลักมุมทฤษฎีบท
หลักฐานแรก ในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมมันง่ายที่จะดูว่าเส้นทแยงมุมตอบสนอง
P = 2rsinb และ Q = 2rsina ( ดูรูปที่ 1 ) ใส่เหล่านี้ลงใน ( 1 ) เรามี
ที่ยืนเป็นวงกลมมีพื้นที่ 1
K = 2r2 sinasinb บาป ( 2 )
ใน [ 13 ] ยุน พิสูจน์ว่า ใน bicentric รูปสี่เหลี่ยม ABCD ( ซึ่งเค้าเรียกว่า
คู่วงกลมรูปสี่เหลี่ยม )
sinasinb =
+ + R2 R2 rp4r2
2r2 .
ใส่นี่ลงใน ( 2 ) พิสูจน์ทฤษฎีบท
หลักฐานที่สอง ใน [ 2 pp.249 271 - 275 ] จะพิสูจน์ว่า รัศมีในใน bicentric
รูปสี่เหลี่ยมที่จะได้รับโดย
R =
PQ
2ppq + 4r2
.
การแก้ไขสำหรับผลิตภัณฑ์ของเส้นทแยงมุมให้
PQ = 2R R + p4r2 + R2
ที่เราเลือกโซลูชั่นของสมการที่มีเครื่องหมายบวก ตั้งแต่
ผลคูณของเส้นทแยงมุมเป็นบวก ใส่นี้ลงใน ( 1 ) ผลผลิตโดยตรง
ทฤษฎีบท
ผลของสูตรนี้ คือ โดยตรง ซึ่งความเค 2r2 ในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมด้วย
ความเสมอภาค ถ้าและเพียงถ้ารูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยม
พื้นที่สูงสุดของ bicentric รูปสี่เหลี่ยม 239
หมายเหตุ ตาม p.164 [ 12 ] มันเป็นปัญหา 1376 ในวารสารปม
mathematicorum จากสมการ
PQ
4r2 −
4r2
PQ
= 1
ในรูปสี่เหลี่ยม bicentric . การแก้ไขนี้ยังให้ประโยชน์ในแง่ของผลิตภัณฑ์
รัศมี R และ R .
ควันหลง 2 ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม bicentric มีวงกลมแนบในและ circumcircle กับ
รัศมี R และ R ตามลำดับ แล้วพื้นที่น่าพอใจ
K R R + p4r2 + R2
ที่ไหนมีความเสมอภาค ถ้าและเพียงถ้ารูปสี่เหลี่ยมเป็นว่าวครับ
พิสูจน์ มีความเสมอภาค ถ้าและเพียงถ้ามุมระหว่างเส้นทแยงมุมเป็นขวา
มุม ตั้งแต่บาป 1 กับความเสมอภาค ถ้าและเพียงถ้า =
2 . เป็นแนวรูปสี่เหลี่ยม
มีเส้นทแยงมุมตั้งฉาก ถ้าและเพียงถ้ามันเป็นว่าวตามทฤษฎีบท 2 ( 2 )
และ ( 3 ) [ 5 ] สุดท้าย ว่าวเป็นวงกลม ถ้าและเพียงถ้าสองตรงข้ามมุมขวา
เพราะมันมีในแนวทแยงมุม ที่เป็นเส้นของความสมมาตรและมุมที่ตรงกันข้ามใน
เป็นรูปสี่เหลี่ยม จะเสริมมุม
เรายังมีที่ semiperimeter ของรูปสี่เหลี่ยม bicentric น่าพอใจ
p4r2 + R2 r + s
ที่ไหนมีความเสมอภาค ถ้าและเพียงถ้ารูปสี่เหลี่ยมเป็นว่าวครับ นี้เป็นโดยตรง
ผลของผลที่ตามมา 2 และสูตร K = RS สำหรับพื้นที่ของแนว
รูปสี่เหลี่ยม . เพื่อให้ได้มาซึ่งความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นส่วนหนึ่งของปัญหา mathematicorum 1203 ในปม
ตาม p.39 [ 10 ] ส่วนหนึ่งของปัญหานั้นเพื่อพิสูจน์ว่า
ในรูปสี่เหลี่ยม bicentric ผลิตภัณฑ์ด้านพึงพอใจ
ABCD 16
9 R2 ( 4r2 + R2 )
มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าทางด้านซ้ายมือให้ตารางของพื้นที่ของ bicentric
รูปสี่เหลี่ยม ( หลักฐานสั้นจะได้รับใน [ 4 ] pp.155 ( 156 ) ดังนั้น ความสามารถ
เป็นหลังเป็น
K 4
3rp4r2 + R2 .
นี้คือพื้นที่ที่อ่อนแอ inequal