AbstractWe present an algorithm for

Abstract
We present an algorithm for the solution of polynomial equations and secular equations of the form S(x)=0 for , which provides guaranteed approximation of the roots with any desired number of digits. It relies on the combination of two different strategies for dealing with the precision of the floating point computation: the strategy used in the package MPSolve of D. Bini and G. Fiorentino [D.A. Bini, G. Fiorentino, Design, analysis and implementation of a multi-precision polynomial rootfinder, Numer. Algorithms 23 (2000) 127–173] and the strategy used in the package Eigensolve of S. Fortune [S. Fortune, An iterated eigenvalue algorithm for approximating the roots of univariate polynomials, J. Symbolic Comput. 33 (5) (2002) 627–646]. The algorithm is based on the Ehrlich–Aberth (EA) iteration, and on several results introduced in the paper. In particular, we extend the concept and the properties of root-neighborhoods from polynomials to secular functions, provide perturbation results of the roots, obtain an effective stop condition for the EA iteration and guaranteed a posteriori error bounds. We provide an implementation, released in the package MPSolve 3.0, based on the GMP library. From the many numerical experiments it turns out that our code is generally much faster than MPSolve 2.0 and of the package Eigensolve. For certain polynomials, like the Mandelbrot or the partition polynomials the acceleration is dramatic. The algorithm exploits the parallel architecture of the computing platform.

Keywords
Secular equations; Polynomial roots; Multiprecision computations; Ehrlich–Aberth iteration; Root neighborhoods

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อเรานำเสนอเป็นขั้นตอนวิธีสำหรับการแก้ปัญหาสมการพหุนามและสมการทางโลกของแบบ S (x) = 0 ซึ่งมีรากประมาณรับประกันใด ๆ ต้องจำนวนตัวเลข มันอาศัยการรวมกันของสองกลยุทธ์ต่าง ๆ ในการจัดการกับความแม่นยำของการลอยตัวชี้คำนวณ: กลยุทธ์ที่ใช้ในแพคเกจ MPSolve D. Bini และ Fiorentino G. [D.A. Bini, G. Fiorentino ออกแบบ การวิเคราะห์ และการใช้งานของ rootfinder พหุนามมีหลายความแม่นยำ Numer อัลกอริทึม 23 (2000) 127-173] และกลยุทธ์ที่ใช้ในแพคเกจ Eigensolve S. ฟอร์จูน [S. ฟอร์จูน อัลกอริทึม eigenvalue ทวิภาควนซ้ำสำหรับระหว่างรากอย่างไร univariate polynomials, J. Symbolic Comput. 33 (5) (2002) 627-646] อัลกอริทึมที่อยู่ บนเกิดซ้ำ Ehrlich – Aberth (เอ) และผลลัพธ์หลายในกระดาษ โดยเฉพาะ เราขยายแนวคิดและคุณสมบัติของละแวกใกล้เคียงรากจาก polynomials กับฟังก์ชันทางโลก ให้ผล perturbation ของราก รับขอบเขตเงื่อนไขการหยุดมีประสิทธิภาพสำหรับการเกิดซ้ำอีเอและข้อผิดพลาด posteriori รับประกัน เรามีการนำไปใช้ นำออกใช้ในชุด MPSolve 3.0 ตามรี GMP จากการทดลองเป็นตัวเลขหลาย ดังปรากฎว่าว่ารหัสของเราโดยทั่วไปเร็ว กว่า MPSolve 2.0 และแพคเกจ Eigensolve บาง polynomials เช่นมานดัลบรอการหรือ polynomials พาร์ติชันความเร่งเป็นอย่างมาก อัลกอริทึมนำสถาปัตยกรรมแบบขนานของแพลตฟอร์มระบบคอมพิวเตอร์คำสำคัญสมการทางโลก รากพหุนาม ประมวลผล multiprecision เกิดซ้ำ Ehrlich – Aberth รากละแวกใกล้เคียง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
เรานำเสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาของสมการพหุนามและสมการทางโลกของแบบฟอร์ม S (x) = 0 ซึ่งมีการรับประกันการประมาณของรากที่มีจำนวนใด ๆ ที่ต้องการของตัวเลข มันขึ้นอยู่กับการรวมกันของสองกลยุทธ์ที่แตกต่างกันในการจัดการกับความแม่นยำของลอยคำนวณจุดกลยุทธ์ที่ใช้ใน MPSolve แพคเกจของ D. Bini กรัมและ Fiorentino [DA Bini, G. Fiorentino, การออกแบบ, การวิเคราะห์และการดำเนินการ ความแม่นยำหลายพหุนาม rootfinder, Numer อัลกอริทึม 23 (2000) 127-173] และกลยุทธ์ที่ใช้ในแพคเกจ Eigensolve ของเอสฟอร์จูน [S. ฟอร์จูน, ซ้ำอัลกอริทึมสำหรับค่าเฉพาะที่ใกล้เคียงกับรากของพหุนาม univariate เจสัญลักษณ์ Comput 33 (5) (2002) 627-646] อัลกอริทึมจะขึ้นอยู่กับ Ehrlich-Aberth (EA) ซ้ำและผลหลายแนะนำในกระดาษ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราขยายแนวคิดและคุณสมบัติของรากละแวกใกล้เคียงจากหลายชื่อฟังก์ชั่นฆราวาสให้ผลการก่อกวนของรากขอรับสภาพหยุดที่มีประสิทธิภาพสำหรับการย้ำ EA และรับประกันขอบเขตข้อผิดพลาด posteriori เราให้การดำเนินงานที่ได้รับการปล่อยตัวในแพคเกจ MPSolve 3.0 ขึ้นอยู่กับห้องสมุด GMP จากการทดลองที่เป็นตัวเลขจำนวนมากปรากฎว่ารหัสของเราโดยทั่วไปเร็วกว่า MPSolve 2.0 และแพคเกจ Eigensolve สำหรับหลายชื่อบางอย่างเช่น Mandelbrot หรือพหุนามพาร์ทิชันเร่งความเร็วเป็นอย่างมาก ขั้นตอนวิธีการใช้ประโยชน์จากสถาปัตยกรรมแบบขนานของแพลตฟอร์มคอมพิวเตอร์. คำสำคัญสมโลก; รากพหุนาม; Multiprecision คำนวณ; Ehrlich-Aberth ซ้ำ; ละแวกใกล้เคียงราก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นามธรรม
เราเสนอขั้นตอนวิธีสำหรับแก้ปัญหาสมการพหุนามสมการทางโลกของรูปแบบ S ( x ) = 0 ซึ่งให้บริการรับประกันการประมาณค่าของรากกับที่ต้องการใด ๆ จำนวนของตัวเลข มันต้องอาศัยการรวมกันของทั้งสองกลยุทธ์ต่าง ๆที่เกี่ยวข้องกับความแม่นยำของการคำนวณทศนิยม : กลยุทธ์ที่ใช้ในแพคเกจ mpsolve D . บีนี Gฟิโอเรนติโน [ อัยการ บีนี จี ฟิโอเรนติโน , การออกแบบ , การวิเคราะห์และการใช้หลายวิธีที่ต้องการ rootfinder numer , . ขั้นตอนวิธี 23 ( 2000 ) 127 – 173 ] และกลยุทธ์ที่ใช้ในแพคเกจ eigensolve S . โชคลาภ [ S . โชคลาภ , ซ้ำขั้นตอนวิธีสำหรับประมาณค่ารากของพหุนาม univariate , J . สัญลักษณ์คอมพิวเตอร์ . 33 ( 5 ) ( 2002 ) 627 ( 646 )ขั้นตอนวิธีขึ้นอยู่กับลิช – aberth ( EA ) ซ้ำ และหลายผลลัพธ์ที่แนะนำในกระดาษ โดยเฉพาะ เราสามารถขยายแนวคิดและคุณสมบัติของรากย่านจากพหุนามฟังก์ชันทางโลกให้คงที่ ผล ราก มีเงื่อนไขหยุดที่มีประสิทธิภาพสำหรับ EA ซ้ำและรับประกันจากผลไปสู่เหตุผิดพลาดเลยนะ เราให้ใช้ออกในแพคเกจ mpsolve 3.0 ตาม GMP , ห้องสมุด ตัวเลขจากหลายการทดลองปรากฎว่ารหัสของเราโดยทั่วไปจะเร็วกว่ามาก mpsolve 2.0 และแพคเกจ eigensolve . บางชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำ เช่น มานด้ลบรอหรือพาร์ทิชันพหุนามความเร่งเป็นอย่างมาก ขั้นตอนวิธีนี้ใช้ประโยชน์จากสถาปัตยกรรมแบบขนานของแพลตฟอร์มคอมพิวเตอร์


คำสำคัญสมการพหุนาม multiprecision ทางโลก ; ราก ; การคำนวณ ; Ehrlich – aberth ซ้ำย่าน
; ราก