homewikisubjectsgames & puzzlesless

home
wiki
subjects
games & puzzles
lessons
simple math
other
site


Cut The Knot!
An interactive column using Java applets
by Alex Bogomolny
Pick's Theorem
May 1998


Georg Alexander Pick, born in 1859 in Vienna, perished around 1943 in the Theresienstadt concentration camp. [9]


First published in 1899, the theorem was brought to broad attention in 1969 through the popular Mathematical Snapshots by H. Steinhaus. The theorem gives an elegant formula for the area of simple lattice polygons, where "simple", as usual, only means the absence of self-intersection. Polygons covered by the theorem have their vertices located at nodes of a square grid or lattice whose nodes are spaced at distance 1 from their immediate neighbors. The formula does not require math proficiency beyond middle grade school and can be easily verified with the help of a geoboard.

Pick's Theorem
Let P be a lattice polygon. Assume there are I(P) lattice points in the interior of P, and B(P) lattice points on its boundary. Let A(P) denote the area of P. Then

A(P) = I(P) + B(P)/2 - 1

The most illuminating proof comes from [15].

The applet below is an online variant of the common geoboard. To create a vertex click next to a lattice node. It dose not matter which node you choose. You'll be able to drag an existent vertex to any other node later on. Edges are added automatically. The new node is always inserted between the very first and last vertices. Intersecting edges are shown in red.



(Instead of the applet you can download and run locally an application that is performing exactly the same job.)

(The applet uses an adaptation of a scan conversion algorithm from [13]. The book is replete with ideas. It just appears that this one was not worked out completely. The applet also appears on a separate page from where it could be lifted for use by teachers on their own pages.)


With Pick's theorem one may determine area of a (polygonal) portion of a map. On a transparent paper draw a grid to scale and superimpose the grid over the map. Count the number of nodes inside and on the boundary of the map region. Apply Pick's formula with the selected scale.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หน้าแรกwikiวิชาเกมและปริศนาบทเรียนคณิตศาสตร์อย่างง่ายอื่น ๆเว็บไซต์ ตัดปมมีคอลัมน์แบบโต้ตอบโดยใช้แอปเพล็ต Javaโดย Alex Bogomolnyทฤษฎีบทเลือก2541 พฤษภาคมจอร์จอเล็กซานเดอร์รับ 1859 เกิดในเวียนนา เสียชีวิตประมาณปี 1943 ในค่ายกักกัน Theresienstadt [9]เผยแพร่ครั้งแรก ในค.ศ. 1899 ทฤษฎีบทมาสนใจสิ่งใน 1969 ผ่านสแนปช็อตคณิตศาสตร์ยอดนิยม โดย H. Steinhaus ทฤษฎีบทให้เป็นสูตรที่สง่างามของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตาข่ายง่าย ที่ "ง่าย" ตามปกติ เฉพาะหมายถึง การขาดการแยกตนเอง รูปหลายเหลี่ยมที่ครอบคลุม โดยทฤษฎีบทมีจุดยอดที่อยู่โหนของตารางกริดหรือตาข่ายที่มีโหนเว้น 1 ระยะห่างจากบ้านของพวกเขาทันที สูตรไม่ต้องสอบคณิตศาสตร์นอกเหนือจากโรงเรียนระดับกลาง และสามารถตรวจสอบได้ง่าย ๆ ด้วยความช่วยเหลือของ geoboardทฤษฎีบทเลือกให้ P เป็นรูปหลายเหลี่ยมตาข่าย สมมติมี I(P) ตาข่ายจุดในภายในของ P และ B(P) ตาข่ายจุดบนขอบเขตของ ให้แสดงพื้นที่ของ P. นั้น A(P)A(P) = I(P) + B (P) / 2-1หลักฐานการส่องสว่างมากที่สุดมาจาก [15]แอปเพล็ตด้านล่างเป็นตัวแปรที่ออนไลน์ของ geoboard ทั่วไป การสร้าง จุดยอดคลิกถัดจากโหนตาข่าย มันปริมาณไม่เรื่องโหนดที่คุณเลือก คุณจะสามารถลากจุดยอดมีอยู่ไปยังโหนอื่น ๆ ในภายหลัง ขอบจะถูกเพิ่มโดยอัตโนมัติ เสมอมีแทรกโหนดใหม่ระหว่างจุดแรก และสุดท้ายมาก ตัดขอบเป็นสีแดง (แทนแอปเพล็ต คุณสามารถดาวน์โหลด และเรียกใช้โปรแกรมประยุกต์ที่ทำงานเดียวกันภายในเครื่อง)(ใช้แอปเพล็ตของอัลกอริทึมการแปลงการสแกนจาก [13] หนังสือเต็มไป ด้วยความคิด มันก็ดูเหมือนว่า คนนี้คือไม่ทำงานอย่างสมบูรณ์ แอปเพล็ตจะปรากฏบนหน้าที่แยกต่างหากจากที่สามารถยกเลิกการใช้โดยครูบนหน้าตัวเองด้วย)ด้วยทฤษฎีบทเลือก หนึ่งอาจกำหนดพื้นที่ของส่วนของแผนที่ (เหลี่ยม) บนกระดาษโปร่งใสวาดตารางการปรับขนาด และซ้อนตารางแผนที่ นับจำนวนของโหนทั้งภายใน และ บนขอบเขตของแผนที่ภูมิภาค ใช้สูตรเลือกขนาดเลือก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บ้าน
วิกิพีเดีย
วิชา
เกมส์และปริศนา
บทเรียน
ง่ายๆคณิตศาสตร์
อื่น ๆ
เว็บไซต์


ตัดโบว์!
คอลัมน์โต้ตอบโดยใช้จาวา
โดยอเล็กซ์ Bogomolny
เลือกทฤษฎีบท
พฤษภาคม 1998


เฟรดอเล็กซานเดเลือกเกิดในปี 1859 ในกรุงเวียนนาเสียชีวิตรอบ 1943 ในค่ายกักกัน Theresienstadt [9]


ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1899 ทฤษฎีบทที่ถูกนำไปให้ความสนใจในวงกว้างในปี 1969 ภาพรวมผ่านทางคณิตศาสตร์ที่นิยมโดยเอช Steinhaus ทฤษฎีบทให้เป็นสูตรที่หรูหราสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตาข่ายง่ายๆที่ "ง่าย" ตามปกติเพียง แต่หมายถึงตัวตนของตัวเองสี่แยก รูปหลายเหลี่ยมปกคลุมด้วยทฤษฎีบทจุดได้ของพวกเขาตั้งอยู่ที่โหนของตารางสี่เหลี่ยมหรือตาข่ายที่มีโหนดมีระยะห่างในระยะทาง 1 จากเพื่อนบ้านของพวกเขาทันที สูตรไม่จำเป็นต้องมีความสามารถทางคณิตศาสตร์เกินโรงเรียนเปิดสอนระดับกลางและสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายด้วยความช่วยเหลือของ geoboard ที่.

เลือกทฤษฎีบท
ให้ P เป็นรูปหลายเหลี่ยมตาข่าย สมมติว่ามีฉัน (P) จุดขัดแตะในการตกแต่งภายในของ P และ B (P) จุดขัดแตะในเขตแดนของตน ให้ A (P) หมายถึงพื้นที่ของพีแล้ว

A (P) = ฉัน (P) + B (P) / 2 - 1

. หลักฐานการส่องสว่างมากที่สุดมาจาก [15]

แอปเพล็ด้านล่างเป็นตัวแปรออนไลน์ของทั่วไป geoboard เพื่อสร้างจุดสุดยอดคลิกถัดไปเพื่อโหนดตาข่าย มันไม่สำคัญว่ายาที่คุณเลือกโหนด คุณจะสามารถลากจุดสุดยอดที่มีอยู่ไปยังโหนดอื่น ๆ ในภายหลัง ขอบถูกเพิ่มโดยอัตโนมัติ โหนดใหม่จะถูกแทรกเสมอระหว่างจุดแรกและครั้งสุดท้าย ขอบตัดจะแสดงในสีแดง.



(แทนแอปเพล็คุณสามารถดาวน์โหลดและทำงานเฉพาะโปรแกรมที่มีประสิทธิภาพตรงงานเดียวกัน.)

(แอปเพล็ใช้การปรับตัวของขั้นตอนวิธีการสแกนการแปลงจาก [13] เป็น. หนังสือเล่มนี้เป็นที่เพียบพร้อมไปด้วย ความคิด. มันก็ปรากฏว่าคนนี้ไม่ได้ทำงานออกมาอย่างสมบูรณ์. แอปเพล็ยังปรากฏอยู่บนหน้าแยกต่างหากจากที่มันอาจจะยกขึ้นสำหรับการใช้งานด้วยครูผู้สอนในหน้าเว็บของตัวเอง.)


ด้วยการเลือกของทฤษฎีบทหนึ่งอาจกำหนดพื้นที่ของ (เหลี่ยม) ส่วนของแผนที่ บนกระดาษโปร่งใสวาดตารางเพื่อขนาดและเติมตารางไปแผนที่ นับจำนวนของโหนดภายในและในขอบเขตของพื้นที่แผนที่ สมัครสูตรเลือกของที่มีขนาดที่เลือก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หน้าแรกวีดีโอ รูปภาพ คลิป เพลงวิชาเกมและปริศนาบทเรียนคณิตศาสตร์ง่าย ๆอื่น ๆเว็บไซต์ผ่าปม !เป็นแบบคอลัมน์โดยใช้ Java appletsโดยอเล็กซ์ bogomolnyทฤษฎีบทของรับพฤษภาคม 2541จอร์จอเล็กซานเดอร์ เลือกเกิดในปี 1859 ในเวียนนา เสียชีวิตประมาณ 1943 ในเธเรเซียน ัดท์ค่ายกักกัน [ 9 ]ตีพิมพ์ครั้งแรกใน 1899 , ทฤษฎีบทคือนำกว้างความสนใจใน 1969 ผ่านความนิยมคณิตศาสตร์ภาพรวมโดย สไตน์เฮาส์ . ทฤษฎีบทสูตรหรูหรา เพื่อให้พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตาข่ายง่ายที่ " ง่าย " เป็นปกติ หมายความว่า การแยกตนเอง รูปหลายเหลี่ยมที่ครอบคลุม โดยมีจุดยอดอยู่ที่โหนดของทฤษฎีบทของตารางตารางหรือขัดแตะที่มีโหนดระยะที่ 1 ระยะทางจากเพื่อนบ้านของพวกเขาทันที สูตรนี้ไม่ต้องใช้คณิตศาสตร์ความสามารถนอกเหนือจากโรงเรียนชั้นกลางและสามารถตรวจสอบได้ด้วยความช่วยเหลือของกระดานเรขาคณิต .ทฤษฎีบทของรับให้ p เป็นตาข่ายรูปหลายเหลี่ยม สมมติว่า มี ผม ( P ) จุดขัดแตะในการตกแต่งภายในของ P และ B ( P ) ขัดแตะจุดบนขอบ ปล่อยให้ ( P ) แสดงพื้นที่ของหน้าแล้ว( P ) = ( P ) + B ( P ) / 2 - 1มากที่สุดที่ให้หลักฐานมาจาก [ 15 ]แอพเพล็ตด้านล่างเป็นออนไลน์แตกต่างจากกระดานเรขาคณิตทั่วไป เพื่อสร้างยอดคลิกถัดไปเพื่อตาข่ายโหนด มันไม่ได้สำคัญที่โหนดที่คุณเลือก คุณจะสามารถลากเพื่อความอยู่รอดเพื่ออื่นใดโหนดในภายหลัง ขอบจะถูกเพิ่มโดยอัตโนมัติ โหนดใหม่อยู่เสมอที่แทรกอยู่ระหว่างแรกและสุดท้ายจุด . ตัดขอบจะแสดงในสีแดง( แทนของแอพเพล็ต คุณสามารถดาวน์โหลดและเรียกใช้ในโปรแกรมที่ มี ประสิทธิภาพ เหมือนกันงาน )( แอพเพล็ตใช้การปรับตัวของการสแกนขั้นตอนวิธีการแปลงจาก [ 13 ] หนังสือที่เต็มไปด้วยความคิด มันก็ปรากฏว่าตัวนี้ไม่ทำงานออกอย่างสมบูรณ์ แอพเพล็ตยังปรากฏในหน้าแยกต่างหากจากที่สามารถยกเพื่อใช้โดยครูผู้สอนในหน้าเว็บของพวกเขาเอง )กับรับเป็นทฤษฎีบทหนึ่งอาจกำหนดพื้นที่ ( เหลี่ยม ) ส่วนของแผนที่ วาดบนกระดาษโปร่งใสตารางมาตราส่วนและใส่ตารางบนแผนที่ การนับจำนวนโหนดภายในและขอบเขตของเขตแผนที่ ใช้สูตรรับกับระดับคัดสรร