generates are phase locked. Correla

generates are phase locked. Correlatively, the drop starts
moving at a velocity V of the order of 9 mm=s. We call a
walker the resulting wave-particle association. Of particular
relevance is the structure of the wave field that drives the
drop motion. At each impact, the drop excites a Bessel-like
Faraday wave of period TF ¼ 2=f0 and wavelength
λF ¼ 4.75 mm, centered at the impact point. Since
γ0 < γF, the waves are damped with a typical nondimensional
time: Me ¼ τ=TF. The global wave field that pilots
the drop is the linear superposition of all the waves
generated by the successive impacts located along a
memory length SMe ¼ Vτ=λF of the past trajectory. It thus
contains in its interference pattern a path memory of the
particle motion [6,15]. Since Me ≈ γF=ðγF − γ0Þ [15], its
value can be chosen by tuning γ0 in the vicinity of γF.
Previous works have shown that the memory has major
effects on the drop motion whenever the walker is confined:
in cavities [16], due to a Coriolis force [17,18], or in a
potential well [11].
Here, we investigate the latter situation obtained by
applying a central force to the drop. The setup, schematized
in Fig. 1(a), is described in detail in Ref. [11]. The bouncing
drop is loaded with a ferrofluid and polarized by a
homogeneous magnetic field B0. It thus forms a magnetic
dipole perpendicular to the bath surface. A magnet, placed
on the cell’s axis provides a second spatially varying
magnetic field BdðrÞ, where r is the distance to the axis.
The drop is thus trapped by a magnetic force:
FðdÞ ¼ −κðdÞr. The spring constant κ can be tuned by
changing the distance d of the magnet to the liquid surface.
The walker confinement is controlled by the nondimensional
half-width of the potential well Λ ¼ V ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mW=κ
p =λF,
where mW is the drop effective mass. The nature of the
PRL 113, 104101 (2014) PHYSICAL REVIEW LETTERS week ending
5 SEPTEMBER 2014
0031-9007=14=113(10)=104101(4) 104101-1 © 2014 American Physical Society
motion changes when the walker revisits regions where
Faraday wave sources created in the past are still active. For
orbital motions, this occurs when the memory length SMe ¼ Vτ=λF is of the order of the nondimensional orbital
perimeter 2πΛ.
In the high memory regime (SMe > 2πΛ), the trapping
leads to the appearance of states, as described previously
[11]. Each of them associates a stable periodic orbit with a
specific global wave field. The orbits have different shapes
(circles, ovals, lemniscates, trefoils, etc.) and two observables
are needed to characterize them. Figure 1(b), adapted
from Ref. [11], shows the mean nondimensional radius
R¯ ¼ h
ffiffiffiffiffiffi
pR2=λFi as a function of the mean nondimensional
angular momentum ¯L ¼ hLi=mWλFhVi. The experimental
data are located at the nodes (n, m) of a lattice as both
observables can only take discrete values. They correspond
for R¯ to the successive zeros of the Bessel function J0ð2πrÞ:
fr1 ¼ 0.37; r2 ¼ 0.87; r3 ¼ 1.87g. For each given level n
the mean angular momentum ¯L is also quantized:
L¯ m ∈ f−rn;−rn−2;…; 0;…; rn−2; rng. These states are
only observed in narrow ranges Λ−
n;m < Λ < Λþn;m centered
around a set of discrete values Λn;m [Fig. 1(c)].
The present article deals with the complex trajectories
observed when Λ is tuned outside the stability ranges of the
periodic orbits. Figure 1(d) shows a typical example for
Me ≈ 200 and SMe=2πΛ ¼ 1.6. While the complexity
increases with memory, it is remarkable that the regular
orbits (n,m) still show up during short time intervals. In
Fig. 1(d) seven of them are present: circles (1, 1),
lemniscates (2,0), ovals (2, 2), and loops (3, 1).
In order to put this coexistence of modes on a
quantitative basis, we study the chaotic motion in the
first two regions of instability (Λþ1
;1 < Λ < Λ−2;0 and
Λþ2
;0 < Λ < Λ−2;2), for intermediate values of the memory
for which SMe=2πΛ is close to 1. Figure 2(a) shows an
example of a complex trajectory obtained for Λ ¼ 0.49 at a
memory (Me ≈ 63 and SMe=2πΛ ≈ 1). Only three unstable
states, the small orbits (1, 1), and the lemniscate (2,0)
coexist. Figure 2(b) shows a typical scenario of a circular
orbit destabilization. It originates in a mismatch of the
classical orbiting radius (due to the central force) and the
orbiting radius induced by the wave field. The transition
from a circle to a lemniscate, occurs when the wobbling
brings the trajectory close to the center. A topological
change then leads to a lemniscate. This multilooped motion
appears unstable and mediates a return to orbiting motion
with a possible flip of the angular momentum [19,20] [21].
Figure 2(c) shows the time recording of nondimensional L
associated to the trajectory of Fig. 2(a). The transitions are
typical of low-dimensional chaos in dissipative systems
[22–24].
The multistability can be characterized using a map of
first return relating the nondimensional distance R to the
center at time t þ TI to its value at time t. The discretization
is obtained by considering the evolution of the successive
maxima. The time interval TI is then self-determined. The
resulting iterative map of Rkþ1 as a function of Rk is
shown in Fig. 2(d). The dynamics is described by the
application of first return. The two fixed points A and B
correspond to circles and lemniscates, respectively. Here,
the tuning value of Λ sets the system in a regime where
both these attractors are unstable. Starting from A, the
wobbling grows corresponding to a drift from A to B along
the upper branch. In the neighborhood of B, the motion is
a lemniscate. After a few loops, its instability triggers a
return to A. The route back depends on the memory. For
Me ≈ 40 with SMe=2πΛ ≈ 0.8, the iterative points drift
directly from C to the upper branch in the vicinity of A.
B (r)
F
d
V
m
(a)
d
−1 0
0
1
L
(1,1)
(2,-2)
(1,-1)
(2,0)
(3,3)
(2,2)
(3,-3)
(b)
R
1
(3,-1) (3,1)
0 2.5
1
R
0.5
0
(c)
1.1 2.0 2.2 3.3
−2
0
x/λF
y/λF (d)
2
−2 0 2
FIG. 1 (color online). (a) Sketch of the experiment. The droplet
loaded with ferrofluid is located in an axisymmetric spatially
varying magnetic field BdðrÞ and thus trapped in a twodimensional
attractive harmonic potential well. (b) The eigenmodes
defined by a plot of their mean nondimensional spatial
extension R¯ versus their mean nondimensional angular momentum
L¯ . (c) When the control parameter Λ changes, the stable
modes (n, m) are observed in narrow ranges of Λ shown in grey.
(d) A highly intermittent trajectory of a drop of velocity< V >¼ 8.1 mms−1 at Me ≈ 200 for Λ ¼ 0.83 and SMe=2πΛ ¼ 1.6.
The selected sections show the coexistence of orbits (1, 1),
ovals (2, 2), lemniscates (2,0), and loops (3, 1).
PRL 113, 104101 (2014) PHYSICAL REVIEW LETTERS

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สร้างเป็นเฟสล็อก Correlatively การเริ่มต้นของฝากเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว V ลำดับ 9 มม. = s เราเรียกการการเชื่อมโยงวอล์คเกอร์คลื่นอนุภาคได้ ของเฉพาะเกี่ยวข้องเป็นโครงสร้างของฟิลด์คลื่นที่ไดรฟ์นี้ปล่อยเคลื่อนไหว ในแต่ละผลกระทบ การหล่นตื่นเต้น Bessel-เหมือนฟาราเดย์คลื่นของรหัสรอบระยะเวลา¼ 2 = f0 และความยาวคลื่นΛF ¼มม. 4.75 จุดผลกระทบ ตั้งแต่Γ0 < γF คลื่นจะทำให้ชื้น ด้วยโดยทั่วไป nondimensionalเวลา: ฉัน¼τ = TF เขตคลื่นสากลที่นักบินการคือ superposition เชิงเส้นของคลื่นทั้งหมดสร้างผลกระทบต่อเนื่องที่ตั้งอยู่ตามหน่วยความจำยาว SMe ¼ Vτ = λF วิถีผ่านมา มันดังประกอบด้วยหน่วยความจำเส้นทางของในรูปแบบสัญญาณอนุภาคเคลื่อนไหว [6,15] ตั้งแต่ฉัน≈ γF = ðγF − γ0Þ [15], ของสามารถเลือกค่า โดยการปรับแต่ง γ0 แห่ง γFงานก่อนหน้านี้ได้แสดงให้เห็นว่า หน่วยความจำที่มีความสำคัญผลการเคลื่อนไหวหล่นเมื่อขังวอล์คเกอร์ที่:ฟันผุ [16], จากแรง Coriolis [17,18], หรือในการทั้งที่ศักยภาพ [11]ที่นี่ เราตรวจสอบสถานการณ์หลังได้ด้วยใช้กองกลางหล่น การตั้งค่า schematizedใน Fig. 1(a) จะอธิบายในรายละเอียดในอ้างอิง [11] การตีกลับปล่อยโหลด ด้วยการ ferrofluid และขั้วโดยการB0 สนามแม่เหล็กเหมือนกัน ดังแบบมีแม่เหล็กdipole ที่ตั้งฉากกับผิวน้ำ แม่เหล็ก วางบนแกนของเซลล์ให้เป็นสอง spatially แตกต่างกันสนามแม่เหล็ก BdðrÞ ซึ่งจะอยู่ห่างกับแกนแบบหล่นจึงติด ด้วยแรงแม่เหล็ก:FðdÞ ¼ −κðdÞr Κคงของสปริงที่สามารถปรับด้วยการเปลี่ยนระยะห่าง d ของแม่เหล็กผิวของเหลวเข้าวอล์คเกอร์จะควบคุม โดยการ nondimensionalครึ่งความกว้างของΛดีเป็น¼ V ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mW =κp = λFแบบหล่น mW โดยรวมมีประสิทธิภาพ ลักษณะของการPRL 113, 104101 สิ้นสุดสัปดาห์กายภาพตรวจทานอักษร (2014)5 2014 กันยายน0031-9007=14=113(10)=104101(4) 104101 1 © 2014 อเมริกันทางกายภาพสังคมเคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงเมื่อวอล์คเกอร์ที่ revisits ภูมิภาคที่แหล่งคลื่นฟาราเดย์สร้างในอดีตจะยังคงทำงาน สำหรับเคลื่อนไหวโคจร ที่นี้เกิดขึ้นเมื่อความยาวจำ SMe ¼ Vτ = λF เป็นลำดับออร์บิทอล nondimensional2πΛ ในขอบเขตในระบอบการปกครองหน่วยความจำสูง (SMe > 2πΛ), ที่ดักนำไปสู่ลักษณะที่ปรากฏของอเมริกา ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้[11] . แต่ละของพวกเขาร่วมวงโคจรเป็นครั้งคราวมั่นคงด้วยการคลื่นโลกเฉพาะฟิลด์ วงโคจรมีรูปร่างแตกต่างกัน(วงกลม วงรี lemniscates, trefoils ฯลฯ) และ observables สองมีความจำเป็นต้องกำหนดลักษณะเหล่านั้น รูป 1(b) ดัดแปลงจากอิง [11], แสดงรัศมี nondimensional หมายถึงR¯ ¼ hffiffiffiffiffiffipR2 = λFi เป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ย nondimensionalโมเมนตัมเชิงมุม ¯L ¼ hLi = mWλFhVi การทดลองข้อมูลอยู่ที่โหน (n, m) ของโครงตาข่ายประกอบเป็นทั้งobservables สามารถรองรับค่าที่ไม่ต่อเนื่อง พวกเขาตรงสำหรับ R¯ ไปศูนย์ต่อเนื่องของฟังก์ชัน Bessel ที่ J0ð2πrÞ:fr1 ¼ 0.37 r2 ¼ 0.87 r3 ¼ 1.87 กรัม สำหรับ n แต่ละระดับกำหนดนอกจากนี้ยังมี quantized: ¯L โมเมนตัมเชิงมุมหมายถึงL¯ m ∈ f−rn; −rn−2;...; 0; ...; rn−2 rng รัฐเหล่านี้เป็นพบเฉพาะ ในช่วงแคบΛ−n; m < Λ < Λþn; m แปลกรอบชุดของค่าที่ไม่ต่อเนื่อง Λn; m [Fig. 1(c)]นำเสนอบทความที่เกี่ยวข้องกับ trajectories ซับซ้อนสังเกตเมื่อปรับΛนอกช่วงความมั่นคงของการวงโคจรเป็นครั้งคราว 1(d) รูปแสดงตัวอย่างทั่วไปในฉัน≈ 200 และ SMe = 2πΛ ¼ 1.6 ขณะที่ความซับซ้อนเพิ่มความจำ มันเป็นความโดดเด่นที่ประจำการวงโคจร (n, m) ยังคงแสดงขึ้นในระหว่างช่วงเวลาสั้น ๆ ในFig. 1(d) เจ็ดของพวกเขาทำงานอยู่: วงกลม (1, 1),lemniscates (2.0), วงรี (2, 2), แล้วลูป (3, 1)เพื่อใส่นี้มีอยู่ร่วมกันของวิธีการเกณฑ์เชิงปริมาณ เราศึกษาการเคลื่อนไหววุ่นวายในการความไม่มีเสถียรภาพ (Λþ1 แรกสองภูมิภาค; 1 < Λ < Λ−2; 0 และΛþ2; 0 < Λ < Λ−2; 2), ค่ากลางของหน่วยความจำสำหรับ SMe ที่ = 2πΛ มี 1 รูปที่ 2(a) แสดงการตัวอย่างของวิถีที่ซับซ้อนได้Λ 0.49 ¼ที่เป็นหน่วยความจำ (ฉัน≈ 63 และ SMe = 2πΛ ≈ 1) 3 เสถียรเท่านั้นอเมริกา วงโคจรเล็ก (1, 1), และ lemniscate (2.0)มีอยู่ 2(b) รูปแสดงสถานการณ์ของวงการโคจร destabilization มันมีต้นกำเนิดในไม่ตรงกันของการรัศมีโคจรคลาสสิก (เพราะกองกลาง) และรัศมีการโคจรที่เหนี่ยวนำ โดยคลื่นฟิลด์ การเปลี่ยนแปลงจากวงกลมจะเป็น lemniscate เกิดขึ้นเมื่อการ wobblingนำวิถีใกล้กับศูนย์กลาง ที่ topologicalเปลี่ยนแปลงนำไปสู่การ lemniscate แล้ว นี้เคลื่อนไหว multiloopedปรากฏไม่เสถียร และ mediates กลับไปโคจรเคลื่อนไหวมีพลิกได้ของโมเมนตัมเชิงมุม [19,20] [21]2(c) รูปแสดงการบันทึกเวลาของ nondimensional Lเกี่ยวข้องกับวิถีของ Fig. 2(a) มีการเปลี่ยนโดยทั่วไปของ chaos มิติต่ำในระบบ dissipative[22-24]สามารถลักษณะ multistability ที่ใช้แผนที่ของก่อน กลับที่เกี่ยวข้องระยะทาง nondimensional R ไปศูนย์ที่เวลา t þตี้ไปเป็นค่าที่เวลา t การ discretizationโดยพิจารณาวิวัฒนาการของการต่อเนื่องวอเตอร์ปาร์ค แล้วตนเองกำหนดช่วงเวลาตี้ ที่แผนที่ผลลัพธ์ซ้ำของ Rkþ1 เป็นฟังก์ชันของ Rk เป็นแสดงใน Fig. 2(d) อธิบายการเปลี่ยนแปลงโดยการใช้คืนแรก ทั้งสองคงที่จุด A และ Bตรงวงกลมและ lemniscates ตามลำดับ ที่นี่Λค่าปรับแต่งตั้งค่าระบบในระบอบการปกครองแบบที่ทั้ง attractors เหล่านี้จะไม่เสถียร เริ่มจาก A การwobbling เติบโตสอดคล้องกับการดริฟท์จาก A ไป B ตามสาขาด้านบน ในย่านของ B มีการเคลื่อนไหวlemniscate หลังจากวนรอบกี่ ความไม่แน่นอนของทริกเกอร์การกลับไปยังอ. เส้นทางกลับขึ้นอยู่กับหน่วยความจำ สำหรับฉัน≈ 40 กับ SMe = 2πΛ ≈ 0.8 ดริฟท์จุดซ้ำจาก C ถึงสาขาด้านบนดีอ.B (r)FdVm(a)d−1 001L(1.1)(2, -2)(1, -1)(2.0)(3,3)(2,2)(3, -3)(b)R1(3, -1) (3,1)0 2.51R0.50(c)1.1 2.0 2.2 3.3−20x / λFλF y (d)2−2 0 2FIG. 1 (สีออนไลน์) (ก) ร่างทดลอง การหยดมี ferrofluid อยู่ axisymmetric spatiallyสนามแม่เหล็ก BdðrÞ ที่แตกต่างกัน และจึง ติดอยู่ในตัว twodimensionalน่าสนใจมีค่าศักยภาพดีขึ้น (บี eigenmodes)กำหนด โดยแปลงของค่าเฉลี่ยตัว nondimensional ปริภูมินามสกุล R¯ เมื่อเทียบกับเมนตัมเชิงมุม nondimensional ของพวกเขาหมายถึงL¯ (ค) เมื่อเปลี่ยนแปลงการควบคุมพารามิเตอร์Λ คอกโหมด (n, m) จะพบในช่วงแคบของΛที่แสดงเป็นสีเทาวิถีลูกสูงไม่ต่อเนื่อง (d) A ของหยดเร็ว < V > ¼ mms−1 8.1 ที≈ 200 Λ¼ 0.83 และ SMe = 2πΛ ¼ 1.6ส่วนที่เลือกแสดงมีอยู่ร่วมกันของวงโคจร (1, 1),วงรี (2, 2), lemniscates (2.0), แล้วลูป (3, 1)PRL 113, 104101 อักษรตรวจสอบทางกายภาพ (2014)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จะสร้างเฟสล็อค มามีอัตราที่ลดลงเริ่มต้นที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว V ของคำสั่งของ 9 มม s = ที่เราเรียกว่าวอล์คเกอร์สมาคมคลื่นอนุภาคที่เกิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งของความเกี่ยวข้องเป็นโครงสร้างของสนามคลื่นที่ไดรฟ์การเคลื่อนไหวลดลง ที่ส่งผลกระทบต่อแต่ละหยดตื่นเต้น Bessel เหมือนคลื่นฟาราเดย์ของรอบระยะเวลาTF ¼ 2 = F0 และความยาวคลื่นλF¼ 4.75 มมศูนย์กลางที่จุดผลกระทบ ตั้งแต่γ0 <γFคลื่นกำลังหดหู่กับ nondimensional ทั่วไปเวลา: Me ¼τ = TF สนามคลื่นระดับโลกที่นักบินวางซ้อนเป็นเชิงเส้นของคลื่นทั้งหมดที่เกิดจากผลกระทบต่อเนื่องอยู่ไปตามความยาวของหน่วยความจำSME ¼Vτ = λFของวิถีที่ผ่านมา มันจึงมีรูปแบบในการแทรกแซงของหน่วยความจำเส้นทางของการเคลื่อนไหวของอนุภาค[6,15] ตั้งแต่ฉัน≈γF = ðγF - γ0Þ [15] มันคุ้มค่าสามารถเลือกโดยγ0การปรับแต่งในบริเวณใกล้เคียงγFได้. ผลงานก่อนหน้านี้ได้แสดงให้เห็นว่าหน่วยความจำมีที่สำคัญมีผลต่อการเคลื่อนไหวลดลงเมื่อใดก็ตามที่วอล์คเกอร์ถูกกักขังอยู่: ในโพรง [16 ] เนื่องจากแรงโคริโอลิ [17,18] หรือในที่ดีที่อาจเกิดขึ้น[11]. ที่นี่เราจะตรวจสอบสถานการณ์หลังที่ได้รับจากการใช้แรงกลางที่จะลดลง การติดตั้ง, schematized ในรูป 1 (ก), มีการอธิบายในรายละเอียดในการอ้างอิง [11] ใหญ่ลดลงจะเต็มไปด้วย Ferrofluid และขั้วโดยสนามแม่เหล็กเป็นเนื้อเดียวกันB0 มันจึงรูปแบบแม่เหล็กขั้วตั้งฉากกับผิวอาบน้ำ แม่เหล็กที่วางอยู่บนแกนของเซลล์ให้เป็นครั้งที่สองตำแหน่งที่แตกต่างกันสนามแม่เหล็กBdðrÞที่r คือระยะทางไปยังแกน. ลดลงจึงถูกขังอยู่โดยแรงแม่เหล็ก: FðdÞ¼-κðdÞr ฤดูใบไม้ผลิκคงสามารถปรับโดยการเปลี่ยนระยะทาง d ของแม่เหล็กกับพื้นผิวของเหลว. คุมขังวอล์คเกอร์จะถูกควบคุมโดย nondimensional ครึ่งความกว้างของΛดีที่มีศักยภาพ¼ V ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mW = κ p = λF, ที่ mW เป็น มวลที่มีประสิทธิภาพลดลง ธรรมชาติของPRL 113, 104,101 (2014) ทางกายภาพการสอบทานตัวอักษรสัปดาห์สิ้นสุดวันที่5 กันยายน 2014 0031-9007 = 14 = 113 (10) = 104,101 (4) 104101-1 © 2014 กายภาพสังคมอเมริกันเคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงเมื่อวอล์คเกอร์ทบทวนภูมิภาคที่แหล่งที่มาของฟาราเดย์คลื่นสร้างขึ้นในอดีตที่ผ่านมายังคงทำงานอยู่ สำหรับการเคลื่อนไหวของวงนี้เกิดขึ้นเมื่อระยะเวลาในหน่วยความจำของสินเชื่อ SME ¼Vτ = λFเป็นคำสั่งของการโคจร nondimensional ปริมณฑล2πΛ. ในระบอบการปกครองของหน่วยความจำสูง (SME> 2πΛ) ดักจะนำไปสู่การปรากฏตัวของรัฐตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้[ 11] แต่ละของพวกเขาร่วมวงโคจรระยะที่มั่นคงกับสนามคลื่นส่วนกลางที่เฉพาะเจาะจง วงโคจรที่มีรูปร่างที่แตกต่าง(วงกลมวงรี lemniscates, trefoils ฯลฯ ) และสอง observables มีความจำเป็นที่จะอธิบายลักษณะพวกเขา รูปที่ 1 (ข) ดัดแปลงมาจากการอ้างอิง [11] แสดงให้เห็นถึงความหมาย nondimensional รัศมีR ¼ชั่วโมงffiffiffiffiffiffi PR2 = λFiเป็นหน้าที่ของค่าเฉลี่ย nondimensional เชิงมุมโมเมนตัม l ¼ HLI = mWλFhVi ทดลองข้อมูลจะอยู่ที่โหนด (n, m) ตาข่ายขณะที่ทั้งสอง observables สามารถใช้ค่าที่ไม่ต่อเนื่อง พวกเขาตรงสำหรับการวิจัยกับศูนย์ต่อเนื่องของฟังก์ชัน Bessel J0ð2πrÞ: FR1 ¼ 0.37; r2 ¼ 0.87; r3 ¼ 1.87g สำหรับแต่ละระดับที่กำหนด n เดอะแอหมายถึงโมเมนตัมเชิงมุมยังเป็นไท: L เมตร∈ F-rn; -rn-2; ... ; 0; ... ; rn-2; RNG รัฐเหล่านี้จะพบเฉพาะในช่วงแคบΛ- n; ม <Λ <Λþn; m ศูนย์กลางรอบชุดของค่าที่ไม่ต่อเนื่องΛnหนึ่งเมตร[รูป 1 (ค)]. ข้อเสนอบทความปัจจุบันที่มีลูกทีมที่ซับซ้อนสังเกตเมื่อΛปรับนอกช่วงความมั่นคงของวงโคจรเป็นระยะๆ รูปที่ 1 (ง) แสดงให้เห็นเป็นตัวอย่างทั่วไปสำหรับฉัน≈ 200 และ SME = 2πΛ¼ 1.6 ในขณะที่ความซับซ้อนเพิ่มขึ้นกับหน่วยความจำก็เป็นที่น่าสังเกตว่าปกติวงโคจร(n, ม.) ยังคงแสดงขึ้นมาในช่วงระยะเวลาสั้น ๆ ในรูป 1 (ง) เจ็ดของพวกเขาที่มีอยู่: (1, 1) วงกลม. lemniscates (2,0) วงรี (? 2, 2) และลูป (? 3, 1) เพื่อที่จะนำการอยู่ร่วมกันของโหมดนี้ บนพื้นฐานเชิงปริมาณที่เราศึกษาการเคลื่อนไหววุ่นวายในครั้งแรกที่ทั้งสองภูมิภาคของความไม่แน่นอน(Λþ1 1 <Λ <Λ-2; 0 Λþ2; 0 <Λ <Λ-2 2) สำหรับค่ากลางของหน่วยความจำสำหรับซึ่ง SME = 2πΛอยู่ใกล้กับที่ 1 รูปที่ 2 (ก) แสดงให้เห็นถึงตัวอย่างของวิถีที่ซับซ้อนได้รับสำหรับΛ¼ 0.49 ในหน่วยความจำ(Me ≈ 63 และ SME = 2πΛ≈ 1) เพียงสามเสถียรรัฐโคจรขนาดเล็ก (1, 1) และ lemniscate เหรอ (2,0) อยู่ร่วมกัน รูปที่ 2 (ข) แสดงให้เห็นถึงสถานการณ์โดยทั่วไปของวงกลมdestabilization วงโคจร มันมาในไม่ตรงกันของที่รัศมีโคจรคลาสสิก (เนื่องจากแรงกลาง) และรัศมีโคจรที่เกิดจากสนามคลื่น การเปลี่ยนแปลงจากวงกลม lemniscate เหรอที่เกิดขึ้นเมื่อโยกเยกนำวิถีใกล้กับศูนย์ ทอพอโลยีการเปลี่ยนแปลงแล้วนำไปสู่ ​​lemniscate เหรอ การเคลื่อนไหวนี้ multilooped ปรากฏไม่แน่นอนและไกล่เกลี่ยกลับไปโคจรรอบการเคลื่อนไหวที่มีการพลิกเป็นไปได้ของโมเมนตัมเชิงมุม [19,20] [21]. รูปที่ 2 (ค) แสดงให้เห็นถึงการบันทึกช่วงเวลาของ L nondimensional ที่เกี่ยวข้องกับวิถีของรูป 2 (ก) เปลี่ยนเป็นแบบฉบับของความสับสนวุ่นวายต่ำมิติในระบบ dissipative [22-24]. multistability สามารถโดดเด่นโดยใช้แผนที่การกลับมาครั้งแรกที่เกี่ยวข้องกับการวิจัยระยะnondimensional ไปยังศูนย์ที่เวลาt þ TI เป็นค่าที่เวลา t ต่อเนื่องจะได้รับโดยพิจารณาวิวัฒนาการของต่อเนื่องสูงสุด ช่วงเวลา TI แล้วกำหนดตัวเอง แผนที่ซ้ำที่เกิดจากRkþ1เป็นหน้าที่ของ Rk จะแสดงในรูป 2 (ง) พลวัตอธิบายไว้โดยแอพลิเคชันของการกลับมาครั้งแรก ทั้งสองจุดคงที่ A และ B สอดคล้องกับวงการและ lemniscates ตามลำดับ ที่นี่ค่าปรับΛตั้งระบบในระบอบการปกครองที่attractors ทั้งสองนี้จะไม่แน่นอน เริ่มต้นจากการเดินโซเซเติบโตสอดคล้องกับการดริฟท์จาก A ถึง B พร้อมสาขาบน ในเขตของขเคลื่อนไหวเป็นlemniscate เหรอ หลังจากที่ลูปไม่กี่ความไม่แน่นอนของมันก่อให้เกิดผลตอบแทนให้กับเอเส้นทางกลับขึ้นอยู่กับหน่วยความจำ สำหรับฉัน≈ 40 SME = 2πΛ≈ 0.8 จุดซ้ำลอยโดยตรงจากC ถึงสาขาบนในบริเวณใกล้เคียงของเอบี(R) F d V เมตร(ก) d -1 0 0 1 ลิตร(1,1 ) (2, -2) (1, -1) (2,0) (3,3) (2,2) (3, -3) (ข) R 1 (3, -1) (3,1) 0 2.5 1 R 0.5 0 (ค) 1.1 2.0 2.2 3.3 -2 0 x / λF Y / λF (ง) 2 -2 0 2 มะเดื่อ 1 (สีออนไลน์) (ก) ร่างของการทดลอง หยดเต็มไปด้วย Ferrofluid ตั้งอยู่ใน axisymmetric ตำแหน่งที่แตกต่างกันสนามแม่เหล็กBdðrÞและติดอยู่ดังนั้นในtwodimensional ที่น่าสนใจที่มีศักยภาพฮาร์โมนิดี (ข) eigenmodes กำหนดโดยพล็อตของพวกเขาหมายถึงอวกาศ nondimensional ขยาย R เมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยของพวกเขาโมเมนตัมเชิงมุม nondimensional L (ค) เมื่อการควบคุมพารามิเตอร์การเปลี่ยนแปลงΛที่มั่นคงโหมด(n, ม.) จะสังเกตได้ในช่วงแคบ ๆ ของΛแสดงในสีเทา. (ง) วิถีเนื่องสูงของการลดลงของความเร็ว <V> ¼ 8.1 MMS-1 ที่ ฉัน≈ 200 Λ¼ 0.83 และ SME = 2πΛ¼ 1.6. ส่วนที่เลือกแสดงร่วมกันของวงโคจร (1, 1) วงรี (2, 2) lemniscates (2,0) และลูป (3? 1). PRL 113, 104,101 (2014) ตัวอักษรทานทางกายภาพ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สร้างเป็นเฟสล็อค ที่สัมพันธ์กัน หล่นเริ่ม
ย้ายที่ความเร็ว v ลำดับที่ 9 มม. = S . เราเรียก
วอล์คเกอร์ส่งผลคลื่นอนุภาคความสัมพันธ์ โดยเฉพาะ
Ltd คือ โครงสร้างของคลื่นที่สนามไดรฟ์
ลดลงการเคลื่อนไหว ในแต่ละผลกระทบลดลงตื่นเต้นเป็นเบสเซลชอบ
ฟาราเดย์คลื่นช่วง TF ¼ 2 = ละและความยาวคลื่น
λ F ¼ 4.75 มิลลิเมตร ตรงกลางที่จุดกระทบ ตั้งแต่
γ 0 < γ F , คลื่นหดหู่ด้วยโดยทั่วไป nondimensional
เวลา : ฉัน¼τ = TF . โลกคลื่นสนามนักบิน
ลดลงคือการเชิงเส้นของคลื่นทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยผลกระทบต่อเนื่อง

ซึ่งตั้งอยู่ตามความยาวของหน่วยความจำ¼ V τ = λ F ของเส้นทางที่ผ่านมา ดังนั้นจึงมีรูปแบบของการแทรกแซงใน

เส้นทางความจำของอนุภาคเคลื่อนไหว [ 6,15 ] ตั้งแต่ฉัน≈γ F = ðγ F −γ 0 Þ [ 15 ]ค่าของมัน
สามารถเลือกปรับγ 0 ในบริเวณγ F .
ก่อนหน้างานได้แสดงให้เห็นว่าหน่วยความจำได้ผลใหญ่
บนปล่อยเคลื่อนไหวเมื่อใดก็ตามที่วอล์คเกอร์ถูกกักขังอยู่ในโพรง :
[ 16 ] เนื่องจากเป็นโคริโอลิสบังคับ [ 17,18 ] หรือใน
ศักยภาพดี [ 11 ]
นี่เราศึกษาหลังสถานการณ์ได้โดยการบังคับ
กลางกับลดลง การติดตั้ง schematized
ในรูปที่ 1 ( a )อธิบายในรายละเอียดในอังกฤษ [ 11 ] โหลดเพลง
ลดลงด้วยและ ferrofluid ขั้วโดย
B0 สนามแม่เหล็กเป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้นรูปแบบแม่เหล็ก
ขั้วตั้งฉากกับผิวอ่าง แม่เหล็กที่วางไว้
บนแกนของเซลล์ให้เปลี่ยนสองแตกต่างกัน
สนามแม่เหล็ก BD ð R Þที่ r คือ ระยะห่างของแกน
ลดลง จึงติดอยู่ด้วยพลังแม่เหล็ก :
F ð D Þ¼−κð D Þ Rสปริงค่าคงที่κสามารถปรับโดย
เปลี่ยนระยะทาง D ของแม่เหล็กบนผิวของเหลว
วอล์คเกอร์จำกัดจะถูกควบคุมโดย nondimensional
ครึ่งความกว้างของศักยภาพดีΛ¼ V ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi MW = κ
p = λ F ,
ที่กำลังจะปล่อยมวลที่มีประสิทธิภาพ ธรรมชาติของ
PRL 113 , 104101 ( 2014 ) ทางกายภาพตรวจทานตัวอักษรสัปดาห์สิ้นสุดวันที่ 5 กันยายน 2014

0031-9007 = 14 = 113 ( 10 ) = 104101 ( 4 ) 104101-1 สงวนลิขสิทธิ์ 2014 สังคมอเมริกัน
การเคลื่อนไหวทางกายภาพเปลี่ยนแปลงเมื่อวอล์คเกอร์ revisits ภูมิภาคที่
ฟาราเดย์คลื่นแหล่งสร้างในอดีตยังใช้งานอยู่ สำหรับ
โคจรการเคลื่อนไหวนี้เกิดขึ้นเมื่อหน่วยความจำความยาว SME ¼ V τ = λ F ของ nondimensional โคจรรอบ 2 πΛ
.
ในระบอบการปกครองของหน่วยความจำสูง ( SME > 2 πΛดัก
)นำไปสู่ลักษณะที่ปรากฏของรัฐ ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้
[ 11 ] แต่ละของพวกเขาที่มีเสถียรภาพระยะวงโคจรกับ
สนามคลื่นสากลที่เฉพาะเจาะจง วงโคจรมีรูปร่างแตกต่างกัน
( วงกลม , วงรีเลมนิ คต trefoils , ฯลฯ ) และสองปฏิบัติ
เป็นลักษณะของพวกเขา รูปที่ 1 ( b )
) ดัดแปลงจาก [ 11 ] แสดงหมายถึง nondimensional รัศมี
r ¯¼ H

ffiffiffiffiffiffiPR2 = λ Fi เป็นหน้าที่ของ หมายถึง nondimensional
โมเมนตัมเชิงมุม¯ผม¼ไทย = MW λ fhvi . ข้อมูล
อยู่ที่โหนด ( n , m ) ของตารางที่เป็นทั้ง
ปฏิบัติเท่านั้นสามารถใช้ค่าไม่ต่อเนื่อง พวกเขาสอดคล้อง
R ¯ไปยังศูนย์ต่อเนื่องของฟังก์ชันเบสเซล j0 ð 2 π R Þ :
fr1 ¼ 0.37 ; R2 ¼ 0.87 ; R3 ¼ 1.87g เพื่อให้แต่ละระดับ N
หมายถึงโมเมนตัมเชิงมุม¯ l :
ที่แน่นอนยังผม¯ M F − rn rn ∈ ; −− 2 ; 0 ; ; ; . . . . . . . . . . . . . . rn − 2 ; แหวน . รัฐเหล่านี้จะพบในช่วงแคบ ๆΛ−เท่านั้น

n ; m < < ΛþΛ n ; M ตรงกลาง
รอบชุดต่อเนื่องค่าΛ n ; M [ รูปที่ 1 ( C ) ] .
บทความปัจจุบันที่เกี่ยวข้องกับวิถีที่ซับซ้อน
สังเกตเมื่อΛปรับเสถียรภาพนอกช่วงของ
วงโคจรตารางธาตุ รูปที่ 1 ( D ) แสดงให้เห็นตัวอย่างทั่วไป
ฉัน≈ 200 และ SME = 2 πΛ¼ 1.6 .ในขณะที่ความซับซ้อน
เพิ่มขึ้นด้วยหน่วยความจำ แต่เป็นที่น่าสังเกตว่าการโคจรปกติ
( n , m ) ยังคงแสดงขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ . ในรูปที่ 1 ( D )
7 ของพวกเขาเป็นปัจจุบัน : วงกลม ( 1  เลมนิ คต ( 1 )
0 l ) , วงรี ( 2 ,  2 ) และลูป ( 3 ,  1 ) .
เพื่อวางนี้การอยู่ร่วมกันของโหมดบน
พื้นฐานเชิงปริมาณ เราศึกษาเคลื่อนไหววุ่นวาย ใน
2 ภาคแรกของความไม่แน่นอน ( Λþ 1
;1 < Λ < Λ− 2 ; 0
Λþ 2
; 0 < Λ < Λ− 2 ; 2 ) สำหรับค่ากลางของความทรงจำ
ที่ 1 = 2 πΛใกล้ 1 รูปที่ 2 ( ก ) แสดงให้เห็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนได้

สำหรับΛ¼ 0.49 ที่หน่วยความจำ ( ผม≈ 63 และ SME = 2 πΛ≈ 1 ) เพียงสามเสถียร
รัฐวงโคจรเล็ก ( 1  1 ) และเลมนิสเคต (
0 l ) อยู่ร่วมกัน . รูปที่ 2 ( ข ) แสดงให้เห็นถึงสถานการณ์โดยทั่วไปของ destabilization วงโคจรกลม

มันมาในที่ไม่ตรงกันของ
คลาสสิกโคจรรัศมี ( เนื่องจากการบังคับกลาง ) และรัศมีของ
โคจรสนามคลื่น การเปลี่ยนแปลง
จากวงกลมไปเลมนิสเคตเกิดขึ้นเมื่อโยกเยก
นำวิถี ใกล้กับ ศูนย์ การเปลี่ยนแปลงรูปแบบ
แล้วนำไปสู่เลมนิสเคต . นี้จะไม่เสถียรและ multilooped เคลื่อนไหว

mediates กลับไปโคจรเคลื่อนไหวกับคำที่เป็นไปได้ของ [ โมเมนตัมเชิงมุม 19,20 ] [ 21 ] .
รูปที่ 2 ( c ) แสดงการบันทึกเวลาของ nondimensional L
เกี่ยวข้องกับวิถีของรูปที่ 2 ( ก ) การเปลี่ยนภาพเป็นปกติของความวุ่นวายในมิติต่ำ

[ dissipative ระบบ 22 24 – ] .
multistability สามารถลักษณะใช้แผนที่ของคืนแรกที่เกี่ยวกับ R

nondimensional เพื่อระยะทางณเวลา t þ Ti คุณค่าของมันในเวลาที ค่า
ได้พิจารณาวิวัฒนาการของ Maxima ต่อเนื่อง

เวลาตีช่วงแล้วตนเองมุ่งมั่น
ผลแผนที่ซ้ำของ RK þ 1 เป็นฟังก์ชันของ RK เป็น
แสดงในรูปที่ 2 ( D ) การเปลี่ยนแปลงคือการอธิบายโดย
การกลับไปก่อน 2 กำหนดจุด A และ B
สอดคล้องกับวงกลมและเลมนิ คต ,ตามลำดับ การปรับแต่งค่าของที่นี่
Λชุดระบบระบอบที่
ตัวทั้งสองนี้จะไม่เสถียร เริ่มจาก A ,
โซเซเติบโตสอดคล้องกับลอยจาก A ไป B
สาขาตอนบน ในบริเวณ B , เคลื่อนไหว : เลมนิสเคต . หลังจากไม่กี่รอบของเสถียรภาพก่อให้เกิด
กลับ . เส้นทางกลับขึ้นอยู่กับหน่วยความจำ สำหรับ
ฉัน≈ 40 กับ SME = 2 πΛ≈ 0.8 ,จุดซ้ำลอย
โดยตรงจาก C ไปสาขาบนบริเวณ A .
b ( R ) f
D
v

m
( )
D
− 1 0
0
1
L

( 1 , 1 ) ( 2 / 2 )
( 1 , - 1 )
(
0 l ) ( 3 , 3 )
( 2 , 2 )
( 3 , - 3 )
( b )
r
1
( 3 , - 1 ) ( 3 , 1 )
0
1
2 R
0
0
( C )
1.1 2.0 2.2 3.3
− 2
0
x λ f
/ Y / λ F ( d )
2
0
รูปที่ 1 − 2 2 ออนไลน์ ( สี ) ( ก ) ร่างของการทดลอง โหลด ferrofluid แสง

เปลี่ยนตั้งอยู่ในทางนั้นสนามแม่เหล็กที่มีการเปลี่ยนแปลงð BD R Þจึงติดอยู่ใน twodimensional
มีเสน่ห์ฮาร์มอนิกที่มีศักยภาพดี ( ข ) กำหนด โดย eigenmodes
พล็อตของพวกเขาหมายถึง nondimensional พื้นที่ส่วนขยายของ¯
r เมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ย nondimensional โมเมนตัมเชิงมุม
L ¯ . ( ค ) เมื่อควบคุมตัวแปรΛเปลี่ยนแปลง , โหมดมั่นคง
( n , m ) จะสังเกตได้ในช่วงแคบ ๆของΛ
แสดงในสีเทา( ง ) เป็นวงโคจรสูงต่อเนื่องของการลดลงของความเร็ว < V > ¼ 8.1 MMS − 1 ที่ผม≈ 200 Λ¼ 0.83 และ SME = 2 πΛ¼ 1.6
เลือกส่วนแสดงอยู่ร่วมวงโคจร ( 1 ,  วงรี ( 1 )
2  เลมนิ คต ( 2 ) 0 l , ) , และลูป ( 3 ,  1 ) .
PRL 113 , 104101 ( 2014 ) จดหมายตรวจสอบทางกายภาพ