วัว. AUSTRAL คณิตศาสตร์. SOC I6A76
VOL 9 (1973), 33-42.
ฝังอยู่ใกล้กับโดเมน
J.A. เกรฟส์และเจเจมาโลน
ชั้นซึ่งอยู่ใกล้กับแหวนซึ่ง generalizes ระดับของการหนึ่ง
โดเมนถูกกำหนด ความหมายของโดเมนที่อยู่ใกล้กับที่ได้มา
จากความปรารถนาของการฝังใกล้กับโดเมนในเขตใกล้.
ใกล้โดเมนที่นำเสนอในที่นี้จะแสดงให้เห็นว่ามี D-แหวน
ของ Berman และ Siverman.
1 ซึ่งอยู่ใกล้กับโดเมนที่
เราใช้โดเมนหนึ่งหมายถึงการสับเปลี่ยนแหวนที่มีตัวหารไม่
เป็นศูนย์ ซึ่งอยู่ใกล้กับแหวนที่ไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ได้รับการพิจารณาโดย Ligh และ
มาโลน [8] ดิน [3] และ Ferrero [4] Ligh และมาโลนศึกษา
คุณสมบัติของแหวนที่อยู่ใกล้ จำกัด มีในกรณีหนึ่งไม่มีตัวหารศูนย์และใน
อีกจำนวน จำกัด ของศูนย์หาร งานของพวกเขาก็ไม่ได้เป็นความพยายามที่จะ
คุยแนวคิดของโดเมนการหนึ่ง ดิน [3] ที่เรียกว่าแหวนที่อยู่ใกล้
โดยไม่ต้องหารของศูนย์โดเมนหนึ่งที่อยู่ใกล้ แต่ในขณะที่เขากล่าวของเขา
ความหมายก็เพื่อต้องการชื่อที่ดีกว่า วัตถุหลักของบันทึกของเขา
เป็นคำสั่งของการคาดเดาที่ยกเว้นสำหรับกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆ บางอย่าง
เช่นระบบที่มีลักษณะ จำกัด จะต้องมีลักษณะที่สำคัญ.
การคาดเดานี้ได้รับการพิสูจน์ในภายหลังโดย Ferrero [4] ดังนั้นกรณีที่ไม่มี
ศูนย์หารไม่ได้เสริมสร้างโครงสร้างของแหวนที่อยู่ใกล้ในขอบเขต
หนึ่งอาจคาดหวัง.
ทฤษฎีบท 1.1 ให้ R เป็นแหวนที่อยู่ใกล้กับความพึงพอใจที่ถูกต้อง
พายเรือแคนูฉันกฎหมายการลา.
(i) สำหรับทุก£ R, Oa = AO = 0.
(ii) R ไม่มี (ที่เหมาะสม) ศูนย์หาร,
(iii) กฎหมายยกเลิกซ้ายถือ ใน R.
รับ 12 กุมภาพันธ์ 1973-
33
34 JA เกรฟส์และเจ J Ma ฉันหนึ่ง
หลักฐาน ถ้า # 0 และ OA = b * 0, B = BB แล้วหรืออบ = Obb เพื่อ
ที่ 0 = Ob และ 0 = OCZ หาก AB = 0 บาท 0 แล้ว AB = Ob และ
A = 0 หาก AB = AA, ที่ 0 แล้ว (FC-E) = 0 และ B = a //
แร่ได้แสดงให้เห็นใน [7 2] ว่าได้รับแหวนที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยนไม่มี
ตัวหารที่เหมาะสมของศูนย์เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับแหวน
ที่จะมีส่วนแหวนของ constructible บวกลบคูณหารคือแต่ละคู่ของ
องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ มีซ้าย (หรือขวา) ร่วมกันหลาย.
นิยาม 1.2 ใกแหวน 'R บอกว่าจะตอบสนองความซ้าย (ขวา)
สภาพแร่ถ้าทั้งหมดที่ 0, H 0 (S มีอยู่ ST 0,
T # 0 € R ดังกล่าวว่า SA = TB (เป็น = BT).
นิยาม 1.3 ก. (ซ้าย) ใกล้โดเมนเป็น (ซ้าย) ใกล้วงแหวน D
พอใจสภาพแร่ซ้ายและกฎหมายยกเลิกขวา.
หลักฐานปกติว่าโดเมนหนึ่ง จำกัด มีเขตข้อมูลขึ้นอยู่กับ
หลักเพียงเกี่ยวกับการยกเลิกที่เหมาะสมและอาจถูกใช้เพื่อ สร้าง:
ทฤษฎีบท 1.4 ถ้า R เป็นแหวนที่อยู่ใกล้ จำกัด ซึ่งถูกต้อง.
กฎหมายยกเลิกถือ * แล้ว R เป็นข้อมูลที่อยู่ใกล้.
ก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่าแน่นอนไม่สามารถตัดออกจากสมมติฐานของ
ทฤษฎีบท Lu ให้ g เป็นลายลักษณ์อักษร additively กลุ่มฟรี สองเครื่องปั่นไฟ
x และ y และสำหรับแต่ละจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n กำหนด T: G • * • G โดย
h (x, y) T = H {NX, NY) สำหรับ Allh (x, y) € G ให้ R เป็นแหวนที่อยู่ใกล้
ที่เกิด additively โดย T McQuarrie [9] แสดงให้เห็นว่า R คือ
สร้าง distributively ใกล้วงแหวนกับตัวตนและเกรฟส์ [5] แสดงให้เห็นว่า
R มีสิทธิในทรัพย์สินยกเลิก แต่ตอบสนองทั้งทางขวาหรือ
สภาพแร่ซ้าย.
โดยทฤษฎีบท Lu, การยกเลิกสิทธิหมายถึงสภาพแร่ซ้าย
(เมื่อ R คือ จำกัด ) แหวนที่อยู่ใกล้ได้รับเป็น 2.5, 26) ใน [2] แสดงให้เห็นว่า
การสนทนาไม่ได้ถือ.
ทฤษฎีบท 1 5 R โดเมนซึ่งอยู่ใกล้กับความพึงพอใจของห่วงโซ่ Descending
สภาพเงินต้น R-กลุ่มย่อยเป็นเขตที่อยู่ใกล้.
หลักฐาน GH ลี่ [7] ได้แสดงให้เห็นว่าแหวนอยู่ใกล้กับความพึงพอใจของการ Descending
สภาพโซ่เงินต้น I? -subgroups และไม่มีตัวหารเป็นศูนย์ต้อง
มีตัวตนด้านซ้ายและนอกจากนี้หากตัวตนด้านซ้ายเป็นที่ไม่ซ้ำกันแล้ว
ถ้าเป็นข้อมูลที่อยู่ใกล้ เราได้แสดงให้เห็นการยกเลิกสิทธิหมายถึงไม่มีศูนย์
ฝังอยู่ใกล้กับโดเมน 35
ตัวหาร ด้วยเหตุนี้การประยุกต์ใช้ Ligh ของผลอัตราผลตอบแทน E € R ดังกล่าวว่า
เอ้อ = R สำหรับ R ทั้งหมด (. r. ถ้า * 0 € I? เรามีสำหรับแต่ละ x € R,
xea = XA ซึ่งหมายถึง XE = x. ดังนั้น E เป็นเอกลักษณ์และโดย
ผล Ligh ของ R เป็นข้อมูลที่อยู่ใกล้. //
2. ใกล้วงแหวนของบวกลบคูณหาร
ในส่วนนี้เราแสดงให้เห็นว่าโดเมนที่อยู่ใกล้อาจจะฝังตัวอยู่ในที่อยู่ใกล้กับ
สนามและได้ข้อสรุปบางส่วนของผลกระทบของการฝังนี้ Maxson [h]
ได้กำหนดที่อยู่ใกล้วงแหวนของบวกลบคูณหารและระบุเงื่อนไขสำหรับแหวนที่อยู่ใกล้
ที่จะมีการเรียกเข้าใกล้บวกลบคูณหาร. เราคุยกับกรณีของแหวนใกล้
ของบวกลบคูณหารด้วยความเคารพต่อชุดคูณ.
นิยาม 2.1. ให้ R เป็นที่อยู่ใกล้ แหวนและ S ชุดคูณ
ในฟลอริด้า. เรากล่าว R ตอบสนองสภาพแร่ซ้ายที่เกี่ยวกับ S ถ้า
สำหรับแต่ละ (S, R) € S x R มีอยู่ (เอส., R) € S x R ดังกล่าวว่า
SR = อาร์เอส .
นิยาม 2.2. ให้ S เป็นชุดคูณในแหวนที่อยู่ใกล้กับ r.
แหวนใกล้ R ^ เรียกว่าแหวนใกล้บวกลบคูณหารด้านซ้ายของ R กับ
ความเคารพ S ถ้า
(i) Rg มีตัวตนที่ 1,
(ii) มีอยู่ ฝัง (monomorphism) $: R "* RQ,
(iii) สำหรับแต่ละ s ( S, $ (s) เป็นหน่วยงานใน Rg ที่
(iv) ทุก QT R ^ สามารถแสดงเป็น q = [4> (s)] ~ [^ Cr)]
{8 R) € S x r.
ทฤษฎีบท 2.3 Let S T P จะเป็นชุดของการคูณ (ทั้งด้านซ้ายและ
ขวา) องค์ประกอบที่ยกเลิกใน (ซ้าย) ใกล้วงแหวน R แล้วแหวนใกล้
บวกลบคูณหารด้านซ้ายของ R ด้วยความเคารพ s อยู่และถ้าหาก R
ตอบสนองสภาพแร่ซ้ายที่เกี่ยวกับ S.
หลักฐาน สมมติว่า Ro 'อยู่ แล้วตามด้วยคำนิยามของ Rc มี
อยู่ $: R • * อาร์เอสฝังเข้าไปในอาร์เอสอาร์ สำหรับแต่ละ (S, R) € S x R,
สินค้า [$ (R)] [$ (s)] ~ ในอาร์เอสเป็นแสดงออกเป็น
36 JA เกรฟส์และเจ .J มาโลน
[• (RON-MS)] "1 = [* (S1)] ~ 1 [* (R1)] สำหรับบาง [A ^ RJ IS * r. แต่แล้ว
[$ (s)] [* (R) ] = [$ (R)] [* (s)] หมายถึง SR = RS ตั้งแต่ $ เป็น monomorphism ได้.
เพื่อแสดงการสนทนาที่เราสร้าง R <โดยการกำหนดความเท่าเทียม
ความสัมพันธ์ "V1 เมื่อ S * R และการดำเนินงานไบนารีบวกและการคูณ
OO ชุดชั้นเรียนเท่าเทียมกัน (S * /?) / ^ ในการพิสูจน์ส่วนหนึ่งของนี้
ทฤษฎีบทมีรายละเอียดมากได้รับการยืนยันและไม่ทั้งหมดของเหล่านี้
การตรวจสอบจะได้รับ อย่างไรก็ตามหลายภาพประกอบของทั่วไป
เทคนิคการพิสูจน์จะนำเสนอ.
หาก [a, x), (d, y) T S * R เรากำหนด (C, X) ^ {d, y) ถ้ามี
อยู่ (S, R) S € x R ดังกล่าวว่าดังนั้น = RD นัย SX = Ry Hote ว่า
แม้ว่า R อาจไม่อยู่ใน S ดังนั้น = RD ที่ S, A และ D มี
องค์ประกอบของ S หมายถึงผลิตภัณฑ์ RD £ S r และกองกำลังที่จะ
บอกเลิก จากนิยามก็สามารถจะตั้งข้อสังเกตว่าถ้า
(E, X) ^ {d, y) แล้วทุก [A ^ ไข้หวัด) € R x R, AA = โฆษณาหมายถึง
ตั้งแต่ความสัมพันธ์ ^ คือเท่าเทียมกันความสัมพันธ์เรา สามารถพิจารณา
ชุดชั้นสมมูล (SXI?) / ^ = R s ที่เราแสดงชั้นเรียน
ที่มี (A, x) โดย x / และความเท่าเทียมกันของการเรียนจะถูกกำหนดโดย
x / A = Y / D และถ้าหาก {หนึ่ง x) ^ (D, y).
กำหนด + (เพิ่มเติม) ในอาร์เอสโดย / RD x / A + Y / D = {SX + Ry) / SC = (SX + Ry)
ที่ (E, R) € 5 x R = ความพึงพอใจดังนั้น RD 6 S.
เราสังเกตความหมายมีความเป็นอิสระในการเลือกของ (S, R) โดย
สมมติ (s ,, RO ตอบสนอง SE = RD และแสดงให้เห็นว่า
[s x + Ry) / S1A = (SX + Ry) / EA, ที่อยู่, [s ^ o, s ^ ^ R) ^ (SE, SX + Ry) Let
(S_, R_) เป็นเช่นนั้น SOS ° ~ RP8 C "T nen S2S i = r2S andsince
8 o = R ^ d ดังนั้น = Rd, เรามี s ^ RD s =
2
s - IC = r
2
SC = R2R ^ ซึ่งหมายถึง
s2rx = R2R. ดังนั้น, s ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2
หมายความเท่าเทียมที่จำเป็น.
ตอนนี้นอกจากนี้ยังกำหนดไว้อย่างดีในความรู้สึกของการเป็นอิสระจาก
การฝังใกล้กับโดเมนที่ 37
ทางเลือกของผู้แทนเพื่อความเท่าเทียมกัน เรียน. สำหรับอนุญาต
(C, x) "*> (E 1 x ') และ (d, y) ^ ID' Y ') เราแสดง
X / O + Y / D x = '/ E' + Y 'ฉัน D' bychoosing (S, R) และ (s 1, R ') suchthat
ดังนั้น = RD และ s'c' = r'd 'เพื่อ เขียน x / A + Y / D = {SX + Ry) / ดังนั้น = (SX + Ry) / RD
และ s '/ E1 + Y' Id '= (s' x '+ r' Y ') / s' a . ' = (s'x '+ r'y') / r'd ' แล้วหา
(s ^ r.) เช่นที่ s ^ c = r.s'c '= s RD = R r'd' s ไหน SX = R s'x '
และ s.ry = R ^' Y ', เพื่อให้เรามี s (SX + IY) = R (s 'i' + R 'I /') ซึ่ง
ผลตอบแทนถัวเฉลี่ย (SE, SX + Ry) ^ (s'e1, s'x '+ r'j /').
สำหรับท่านใด E ZS, 0 / E เป็นสารเติมแต่ง ตัวตนที่เหมาะสมสำหรับ /? "และ
-x / C เป็นตรงกันข้ามที่เหมาะสมสำหรับ x / o € I? c.
ตั้งแต่นอกจากนี้สามารถแสดงให้เห็นถึงการเชื่อมโยงตอนนี้เรามี (/? E> + J
เป็นกลุ่มและตั้งแต่ นอกจากนี้บน Ra ถูกกำหนดไว้ในแง่ของการเพิ่ม
ของ R, [อาร์เอส, +) เป็นศาสนาคริสต์และถ้าหาก (i ?, +) เป็นศาสนาคริสต์.
ให้ x / o, y / D £ F? < •กําหนด (คูณ) บน R ~ โดย
x / C • Y / D = Ry / เพื่อที่ (S, R) £ S Xi? ตอบสนองความ EX = ถ.
คูณนี้มีความเป็นอิสระในการเลือกของ (S, R) และ
ยังมีอิสระในการเลือกผู้แทนของความเท่าเทียมกันใน
ชั้นเรียน.
สำหรับท่านใด E £ S, E / E = 1 €? _.
ตอนนี้คูณ เชื่อมโยง; สำหรับให้ X / C, Y / D, Z / E € I? <และ
คำนวณ {x / o'y / D) • z / E = Ry / เพื่อ• z / E = RZ / s เพื่อที่ SX = RD และ
s ^ = Ry อีกครั้ง นอกจากนี้ X / O • (y / d 'z / E) = x / C • R ^ z / s = ^ ^ rj- z / เพื่อที่
Spjy = r- E และ SX = r-> S2D จะเห็นว่าผลิตภัณฑ์เหล่านี้มีค่าเท่ากันเรา
พบ (s ^ ^ R) เช่นที่ s ^ s.so = R s ที่มาจากไหน B ฉัน
s ^ s = RLT
R> 3 และ '
ใช้ equalities ข้างต้น, S, s ^ RD = E, S = Si * s_x = R, RSD ซึ่ง
หมายถึง Su S LR = R ^ ^ R นอกจาก s ^ E = s ^ ^ s = R ^ ^ = 8 RL * r3r2e
ซึ่งหมายถึง s ^ R = R, RR ~ ดังนั้น S, RS = R, RR 2 ที่บอกว่าที่ต้องการ
ความเสมอภาคถือ.
38 เกรฟส์และเจเจ J Ma ฉันหนึ่ง
ความจริงที่ว่าคูณที่เหลือจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้ใน Ro
ดังนี้จากซ้ายจำหน่ายทรัพย์สินใน R.
ณ จุดนี้เราได้แสดงให้เห็น (/? "+ •} เป็นซ้ายใกล้กับแหวนที่มี
ตัวตน. ในการแสดง Rc คือ แหวนใกล้บวกลบคูณหารด้านซ้ายของ R กับ
ความเคารพ S เราจะต้องตรวจสอบที่เหลืออีกสามการกำหนดคุณสมบัติของ
แหวนใกล้บวกลบคูณหารซ้าย.
ให้: R • * Rg ถูกกำหนดโดย R • * ER / E ที่ 3 6 S แล้ว * มีการ
กำหนดไว้อย่างดีเพราะ ER / E = DV / D สำหรับทุก E, D £ S สำหรับ R, R € R,
§ [RJ + * (R2) = ev- ^ L & + ER2 / E = [ER ^ ER) le = E [r + R ^ le = $ (R + R) และ
^ ( R ^) • $ (R "2J = er./e • ER ^ = Le rerJse = ser R / SE = ^ เอ้อ CJE = $ (R R2)
ที่ (s, R) ตอบสนองความ ser = อีกครั้ง. ดังนั้น $ เป็น ใกล้ฟิซึ่มส์แหวน.
นอกจากเคอร์เนล 4> = 0 ถ้า V € R, $ (R) = ER / E = 0 / E - EO / E หมายถึง
. เอ้อ = EO และอื่น r = 0 ดังนั้น 4> เป็น monomorphism ฝัง I? เข้า
* 5 •
สำหรับทุกอย่าง. (S, $ (
การแปล กรุณารอสักครู่..