IntroductionInfinite series, that i

Introduction
Infinite series, that is an infinite sum of the form


occupy a central and important place in modern mathematics. Much of this topic was developed during the seventeenth century. Leonhard Euler continued this study and in the process
solved many important problems.
The purposes of this lecture are (i) to collect together some interesting and intriguing results
connected with in¯nite series, (ii) to present these results in a simple way, perhaps sacri¯cing
absolute standards of mathematical rigour to show sensitivity to the historical origin of the
results, (iii) to give examples of genuinely interesting extended arguments and, (iv) to demon-
strate the possibilities of elementary arguments { that is to say arguments not involving any
advanced theory.
In particular we will review Euler's argument involving one of the most surprising series. I
am not claiming this is a proof by modern standards { Euler certainly took many audacious
steps. However his boldness is refreshing, although the reader may feel uneasy during the
course of the supposed proofs. Identifying these false steps and ¯lling in the gaps is a task I
believe well worth the e®ort. Perhaps I might claim that this is an argument a good A-level
student could follow.
2 Before

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การแนะนำ
อนุกรมอนันต์ที่เป็นผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดของฟอร์ม


ครอบครองสถานที่กลางและมีความสำคัญในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มากของหัวข้อนี้ได้รับการพัฒนาในช่วงศตวรรษที่สิบเจ็ด Leonhard ออยเลอร์ยังคงการศึกษาครั้งนี้และในกระบวนการแก้ไขปัญหา
ที่สำคัญมาก.
วัตถุประสงค์ในการบรรยายนี้เป็น (i) เพื่อรวบรวมเข้าด้วยกันผลลัพธ์ที่น่าสนใจและน่าสนใจบาง
เชื่อมต่อกับใน¯ชุดไนท์, (ii) การที่จะนำเสนอผลลัพธ์เหล่านี้ในวิธีที่ง่ายอาจ sacri ¯ Cing
มาตรฐานแน่นอนของความรุนแรงทางคณิตศาสตร์ที่จะแสดงความไวต่อมาทางประวัติศาสตร์ของ
ผล (iii) เพื่อให้เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจอย่างแท้จริง ขยายการขัดแย้งและ (iv) การปีศาจ
Strate เป็นไปได้ของข้อโต้แย้งประถม {กล่าวคือข้อโต้แย้งใด ๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีขั้นสูง
.
โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราจะตรวจสอบเรื่องที่เกี่ยวข้องกับออยเลอร์เป็นหนึ่งในชุดที่น่าแปลกใจมากที่สุด i
ผมไม่ได้อ้างว่านี้เป็นหลักฐานตามมาตรฐานที่ทันสมัย​​ {ออยเลอร์แน่นอนเอาขั้นตอนกล้า
หลาย แต่ความกล้าหาญของเขาจะสดชื่นแม้ว่าผู้อ่านอาจจะรู้สึกไม่สบายใจในช่วง
หลักสูตรของหลักฐานอันควร ระบุขั้นตอนที่ผิดพลาดเหล่านี้และ¯ lling ในช่องว่างเป็นงาน i
เชื่อว่าคุ้มค่าดี​​อี®ดื่มเกลือแร่บางทีฉันอาจอ้างว่านี่คือเหตุผลที่ดีในระดับ
นักเรียนสามารถปฏิบัติตาม.
2 ก่อนที่จะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แนะนำ
ชุดอนันต์ ที่มีผลบวกอนันต์ของแบบ


ครอบครองสำคัญ และศูนย์กลางในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ของหัวข้อนี้ถูกพัฒนาขึ้นในช่วงศตวรรษ seventeenth Leonhard ออยเลอร์ยังคงศึกษาและ
แก้ไขหลายสิ่งสำคัญปัญหา.
วัตถุประสงค์ในการบรรยายนี้จะ (i) การประมวลผลบางอย่างที่น่าสนใจ และน่า
เชื่อมต่อกับชุด in¯nite, (ii) นำเสนอเหล่านี้ผลทาง ที sacri¯cing
มาตรฐานสัมบูรณ์ของนิตย์คณิตศาสตร์เพื่อแสดงระดับความสำคัญที่มาประวัติศาสตร์ของการ
ผล (iii) ให้อย่างจริงใจสนใจขยายอาร์กิวเมนต์และ, (iv) กับปีศาจ-
strate จบประถมอาร์กิวเมนต์ {กล่าวคืออาร์กิวเมนต์ที่ไม่เกี่ยวข้องใด ๆ
ขั้นสูงทฤษฎีการ
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะตรวจสอบอาร์กิวเมนต์ของออยเลอร์ที่เกี่ยวข้องกับหนึ่งชุดน่าประหลาดใจ ฉัน
มาอ้างเป็นหลักฐาน โดยทันสมัยมาตรฐาน {ออยเลอร์แน่นอนเอาหลาย audacious
ขั้นตอน แต่ boldness เขาจะสดชื่น ถึงแม้ว่าผู้อ่านอาจรู้สึกไม่สบายใจในระหว่าง
การปรู๊ฟควร ระบุขั้นตอนผิดและ ¯lling ในช่องว่างเหล่านี้คือ ภารกิจฉัน
เชื่อคุ้มอี ® ort บางทีฉันอาจอ้างว่า เป็นอาร์กิวเมนต์ระดับ A ดี
นักเรียนสามารถทำตามได้
2 ก่อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Series
แบบไม่มีขอบเขตการแนะนำว่าเป็นจำนวนเงินแบบไม่มีขอบเขตของแบบฟอร์ม ที่


ครอบคลุมเป็นศูนย์กลางและที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ที่ทันสมัย ในหัวข้อนี้ได้รับการพัฒนาขึ้นในระหว่างช่วงศตวรรษที่สิบเจ็ด ค่าคงที่ของออยเลอร์ leonhard อย่างต่อเนื่องการศึกษานี้และในการดำเนินการดังกล่าว
ซึ่งจะช่วยแก้ไขปัญหาสำคัญหลายประการ.
วัตถุประสงค์ของการบรรยายนี้มี( i )เพื่อไปรับด้วยกันผลการน่าสนใจและน่ามหัศจรรย์ใจบางคน
เชื่อมต่อกับอุปกรณ์ที่อยู่ ใน ¯ nite series ,( ii )เพื่อแสดงเหล่านี้ส่งผลในทางเรียบง่ายว่าอาจ sacri ¯ cing
ไม่ว่าในกรณีใดๆตามมาตรฐานของทางคณิตศาสตร์ความรุนแรงในการแสดงระดับความไวในการนี้ทางประวัติศาสตร์ที่มาของ
ผล( iii )เพื่อทำให้ตัวอย่างของอย่างแท้จริงน่าสนใจขยายและอาร์กิวเมนต์,( IV )เพื่อมา -
strate ความเป็นไปได้ของโรงเรียนประถม{อาร์กิวเมนต์ที่จะพูดว่าอาร์กิวเมนต์ไม่เกี่ยวข้อง
ขั้นสูงทฤษฎี.
ในเฉพาะเราจะมีการทบทวนค่าคงที่ของออยเลอร์อาร์กิวเมนต์เกี่ยวข้องกับหนึ่งในรุ่นที่น่าประหลาดใจที่สุด
ซึ่งจะช่วยผมไม่ใช่อ้างว่าโรงแรมแห่งนี้คือการตรวจสอบความถูกต้องที่ได้มาตรฐานที่ทันสมัย{ค่าคงที่ของออยเลอร์แน่นอนว่ามาตามขั้นตอนอุกอาจ
จำนวนมาก แต่ถึงอย่างไรก็ตามครูอาจารย์ของเขาก็คือการรีเฟรชแม้ว่าตัวอ่านจะรู้สึกไม่สบายใจในระหว่าง
ซึ่งจะช่วยให้เห็นว่า การระบุถึงการผิดพลาด N ห้ามทำตามขั้นตอนและ lling เหล่านี้ในช่องว่างนั้นเป็นงานที่ผม
เชื่อว่าน่าอี®เ&รียงได้บางทีผมอาจจะอ้างว่าที่แห่งนี้คืออาร์กิวเมนต์ที่ดีที่ระดับ
นักศึกษาไม่สามารถปฏิบัติตาม.
2 ก่อน