3.5.1 Testing Model Goodness of Fit

3.5.1 Testing Model Goodness of Fit for Contingency Tables
For nonsparse contingency tables, it is possible to conduct a goodness-of-fit test of the null hypothesis that the model holds against the alternative hypothesis that it does not. The alternative is equivalent to the saturated model, which fits the data perfectly. The test statistics compare the observed counts in the cells of the contingency table to expected frequency estimates based on the model fit.
​At a particular setting of the explanatory variables for which the observed multinomial sample has observations, let denote the observed cell counts for the response categories. Under the null hypothesis that the model holds, the corresponding expected frequency estimates based on the model estimates of equal

The Pearson statistic for testing goodness of fit is

The corresponding likelihood-ratio (deviance) statistic is

Under the null hypothesis that the model holds, and have large-sample chisquared distributions. Their degree of freedom equal the number of cumulative logits modeled minus the number of model parameters. The number of cumulative logits modeled equals the number of multinomial parameters in the saturated model: namely, c-1 times the number of settings of the explanatory variables.
​For example, contingency table has c-1 multinomial parameters in each row, for a total of parameters. This is the number of parameters in the saturated model, for which the expected frequency estimates are merely the cell counts. The model (3.9) that treats the explanatory variable as quantitative,

Has a single association parameter and intercept parameters for the logits, a total of parameters. So the residual df for testing goodness of fit are This is one less than the for the independence model, which is the special case of this model with Model (3.14), which treats the explanatory variable as qualitative with row effects,

Has parameters. Its residual as noted by Simon (1974).
​When the data are sparse or the model contains at least one continuous predictor, these global goodness-of-fit tests are not valid. Lipsitz et. al. (1996) proposed an alternative goodness-of-fit test for such cases. It generalizes the Hosmer-Lemeshow test for binary logistic regression, which constructs a Pearson statistic comparing observed and fitted counts for a partition of such values according to the estimated probabilities of “success” using the original ungrouped data. This method does not seem to be available in current software. Pulkstenis and Robinson (2004) suggested an alternative approach. This is an area that still deserves serious research attention, to evaluate proposed methods and possibly develop others, such as normal approximations for chi-squared statistics when the data are very sparse.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.5.1 ทดสอบความดีแบบของพอดีฉุกเฉินตารางสำหรับตาราง nonsparse ฉุกเฉิน จำเป็นต้องทดสอบของสมมติฐานว่างที่รูปแบบจากสมมติฐานทางเลือกที่ไม่ ดีพอ แทนที่จะเทียบเท่ากับรุ่นอิ่มตัว ซึ่งเหมาะกับข้อมูล สถิติทดสอบเปรียบเทียบนับสังเกตในเซลล์ของตารางฉุกเฉินประมาณความถี่ที่คาดหวังตามแบบพอดีในการตั้งค่าตัวแปรอธิบายซึ่งตัวอย่างก็ตามจากการสังเกตมีการสังเกตเฉพาะ ให้แสดงเซลล์สังเกตนับสำหรับประเภทการตอบสนอง ภายใต้สมมติฐานว่างว่าแบบถือ สอดคล้องกันที่คาดประมาณความถี่ตามการประเมินแบบจำลองเท่ากับ สถิติ Pearson ทดสอบความดีของพอดีคือ สถิติโอกาสสม (deviance) ที่สอดคล้องกันคือ ภายใต้สมมติฐานว่างว่าแบบถือ และมีการกระจายตัวอย่างขนาดใหญ่ chisquared ขององศาอิสระเท่ากับจำนวนแพ logits จำลองลบหมายเลขของพารามิเตอร์ของแบบจำลอง จำนวนสะสม logits จำลองเท่ากับจำนวนก็ตามพารามิเตอร์ในตัวแบบอิ่มตัว: คือ c-1 ครั้งหมายเลขของการตั้งค่าของตัวแปรที่อธิบายเช่น ตารางฉุกเฉินมีพารามิเตอร์ c-1 ก็ตามในแต่ละแถว สำหรับผลรวมของพารามิเตอร์ นี้เป็นหมายเลขของพารามิเตอร์ในตัวแบบอิ่มตัว สำหรับการประมาณความถี่ที่คาดไว้เพียงเซลล์นับ รูปแบบ (3.9) ที่ถือว่าตัวแปรอธิบายเป็นเชิงปริมาณ Has a single association parameter and intercept parameters for the logits, a total of parameters. So the residual df for testing goodness of fit are This is one less than the for the independence model, which is the special case of this model with Model (3.14), which treats the explanatory variable as qualitative with row effects, Has parameters. Its residual as noted by Simon (1974).​When the data are sparse or the model contains at least one continuous predictor, these global goodness-of-fit tests are not valid. Lipsitz et. al. (1996) proposed an alternative goodness-of-fit test for such cases. It generalizes the Hosmer-Lemeshow test for binary logistic regression, which constructs a Pearson statistic comparing observed and fitted counts for a partition of such values according to the estimated probabilities of “success” using the original ungrouped data. This method does not seem to be available in current software. Pulkstenis and Robinson (2004) suggested an alternative approach. This is an area that still deserves serious research attention, to evaluate proposed methods and possibly develop others, such as normal approximations for chi-squared statistics when the data are very sparse.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.5.1 การทดสอบความดีของรุ่น Fit สำหรับตารางฉุกเฉิน
สำหรับตารางฉุกเฉิน nonsparse มันเป็นไปได้ที่จะดำเนินการทดสอบความดีของความเหมาะสมของสมมติฐานว่ารูปแบบการถือกับสมมติฐานทางเลือกที่ว่ามันไม่ได้ ทางเลือกคือเทียบเท่ากับรุ่นอิ่มตัวซึ่งเหมาะกับข้อมูลได้อย่างสมบูรณ์แบบ สถิติการทดสอบเปรียบเทียบจำนวนการตั้งข้อสังเกตในเซลล์ของตารางฉุกเฉินในการประมาณการคาดว่าความถี่ตามรูปแบบพอดี.
ในการตั้งค่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งของการอธิบายตัวแปรที่ตัวอย่างพหุนามข้อสังเกตมีข้อสังเกตให้แสดงว่าจำนวนเซลล์ที่สังเกตสำหรับ ประเภทการตอบสนอง ภายใต้สมมติฐานว่ารูปแบบการถือหุ้นที่สอดคล้องกันประมาณการความถี่คาดว่าอยู่บนพื้นฐานของการประมาณการรูปแบบของเท่ากับสถิติเพียร์สันสำหรับการทดสอบความดีของพอดีเป็นที่สอดคล้องความน่าจะเป็นอัตราส่วน (อันซ์) สถิติเป็นภายใต้สมมติฐานว่ารูปแบบถือและ ได้กลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ chisquared กระจาย ระดับของเสรีภาพเท่ากับจำนวนของ logits สะสมถ่ายแบบลบด้วยจำนวนของพารามิเตอร์รูปแบบ จำนวน logits สะสมย่อมเท่ากับจำนวนของตัวแปรพหุนามในรูปแบบอิ่มตัวที่:. คือ C-1 เท่าของจำนวนการตั้งค่าของตัวแปรอธิบายตัวอย่างเช่นตารางฉุกเฉินมีพารามิเตอร์พหุนาม C-1 ในแต่ละแถวสำหรับ รวมของพารามิเตอร์ ในจำนวนนี้เป็นพารามิเตอร์ในรูปแบบอิ่มตัวซึ่งประมาณการความถี่คาดว่าเป็นเพียงการนับจำนวนเซลล์ รูปแบบ (3.9) ที่ถือว่าตัวแปรอธิบายเป็นเชิงปริมาณมีความสัมพันธ์เพียงครั้งเดียวพารามิเตอร์และตัดพารามิเตอร์สำหรับการ logits ที่รวมของพารามิเตอร์ ดังนั้น DF ที่เหลือสำหรับการทดสอบความดีของพอดีเป็นนี้เป็นหนึ่งในน้อยกว่าสำหรับรูปแบบอิสระซึ่งเป็นกรณีพิเศษของรุ่นนี้มีรูปแบบ (3.14) ซึ่งถือว่าเป็นตัวแปรอธิบายเชิงคุณภาพที่มีผลกระทบแถวมีพารามิเตอร์ ใช้ที่เหลือตามที่ระบุไว้โดยไซมอน (1974). เมื่อมีข้อมูลที่มีความเบาบางหรือแบบมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างต่อเนื่องทำนายเหล่านี้ทดสอบความดีของโลกพอดีไม่ถูกต้อง Lipsitz et อัล (1996) ได้เสนอการทดสอบความดีของพอดีทางเลือกสำหรับกรณีดังกล่าว มัน generalizes ทดสอบฮอสเมอร์-Lemeshow สำหรับการถดถอยโลจิสติกไบนารีซึ่งสร้างสถิติเพียร์สันเปรียบเทียบจำนวนการสังเกตและการติดตั้งสำหรับพาร์ทิชันของค่าดังกล่าวเป็นไปตามความน่าจะเป็นประมาณของ "ความสำเร็จ" โดยใช้ข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่มเดิม วิธีการนี้ไม่ได้ดูเหมือนจะมีอยู่ในซอฟแวร์ในปัจจุบัน Pulkstenis และโรบินสัน (2004) แนะนำวิธีทางเลือก นี้คือพื้นที่ที่ยังคงสมควรให้ความสนใจการวิจัยอย่างจริงจังในการประเมินวิธีการที่นำเสนอและอาจจะพัฒนาคนอื่น ๆ เช่นการประมาณปกติสำหรับสถิติไคสแควร์เมื่อข้อมูลที่เป็นเบาบางมาก