There is still another point, which

There is still another point, which would require a long and technical discussion once it was introduced, without substantially changing the outcome. Speaking of pure (not applied) mathematics, one might say:

6 "Arithmetical propositions are not analytic by themselves: they are analytic only in the context of an arithmetical system. If you accept Peano's postulates, you can generate all of arithmetic as a logical consequence of these postulates; but you must first accept the postulates.

Using three undefined terms- number "0," and "successor"-he was able to generate an infinite series of numbers from these axioms. The axioms yield the entire system of integers. Are the axioms themselves analytic? If they are taken as definitions and statements of defining characteristics, they are; and since any propositions deduced from analytic propositions are also analytic,the propositions of arithmetic are as analytic as before.

For the sake of accuracy, however, we must remind ourselves that the postulates can be construed (and were intended to be construed) not as propositions but as propositional forms, like the p,q and r of our tautologies (pp 164-65). Peano left the terms "number," "0," and "successor" uninterpreted. We might then give the postulates an entirely non-arithmetical interpretation: for example, we could take "successor" to mean offspring, and "number" to mean chicken, and then by Axiom 2 we could derive the conclusion that the offspring of a chicken is a chicken-which is a synthetic statement about the world, and although it happens to be true, it is a contingent truth, not a necessary truth. The axioms become arithmetical only when the terms number. "0," and "successor" are interpreted in accordance with customary arithmetical usage (as is done for example in Bertrand Russell and Alfred Whitehead's Principia Mathematica and Gottlob Frege's Foundations of Arithmetic). The only point that concerns us here is that when this is done, the axioms become analytic, and in consequence all arithmetical propositions deducible from these axioms are also analytic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มีจุดอื่นยังคง ซึ่งจะต้องมีการสนทนาที่ยาวนาน และทางเทคนิคเมื่อมันถูกนำมาใช้ ผลที่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ พูดคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (ไม่ใช้) หนึ่งอาจพูดว่า: 6 " arithmetical propositions จะไม่วิเคราะห์ ด้วยตัวเอง: จะวิเคราะห์ในบริบทของระบบ arithmetical เท่านั้น ถ้าคุณยอมรับของ Peano postulates คุณสามารถสร้างทั้งหมดของเลขคณิตเป็นผลเป็นตรรกะของ postulates เหล่านี้ แต่คุณต้องยอมรับการ postulatesใช้สามไม่ได้กำหนดเงื่อนไขหมายเลข "0" และ "สืบ" -สามารถสร้างชุดหมายเลขไม่สิ้นสุดจากหลักการเหล่านี้ หลักผลิตทั้งระบบจำนวนเต็ม มีหลักการวิเคราะห์ตนเอง ถ้าพวกเขานำมาเป็นข้อกำหนดและคำสั่งการกำหนดลักษณะ พวกเขากำลัง และเนื่องจากยังมีข้อเสนอใด ๆ ซึ่งสามารถกล่าวได้จากข้อเสนอวิเคราะห์วิเคราะห์ propositions ของเลขคณิตจะเป็นวิเคราะห์เป็นก่อน For the sake of accuracy, however, we must remind ourselves that the postulates can be construed (and were intended to be construed) not as propositions but as propositional forms, like the p,q and r of our tautologies (pp 164-65). Peano left the terms "number," "0," and "successor" uninterpreted. We might then give the postulates an entirely non-arithmetical interpretation: for example, we could take "successor" to mean offspring, and "number" to mean chicken, and then by Axiom 2 we could derive the conclusion that the offspring of a chicken is a chicken-which is a synthetic statement about the world, and although it happens to be true, it is a contingent truth, not a necessary truth. The axioms become arithmetical only when the terms number. "0," and "successor" are interpreted in accordance with customary arithmetical usage (as is done for example in Bertrand Russell and Alfred Whitehead's Principia Mathematica and Gottlob Frege's Foundations of Arithmetic). The only point that concerns us here is that when this is done, the axioms become analytic, and in consequence all arithmetical propositions deducible from these axioms are also analytic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ยังมีอีกจุดหนึ่ง ซึ่งจะต้องใช้เทคนิคและการอภิปรายยาวเมื่อมันถูกเปิดตัวโดยมากการเปลี่ยนผล การพูดของบริสุทธิ์ ( ยังไม่ใช้ ) คณิตศาสตร์ หนึ่งอาจพูดว่า6 " ข้อเสนอเลขคณิตไม่วิเคราะห์ด้วยตนเอง : พวกเขาจะวิเคราะห์เฉพาะในบริบทของระบบเลขคณิต ถ้าคุณยอมรับเปอาโนสมมติฐานของ คุณสามารถสร้างทั้งหมดของคณิตศาสตร์ที่เป็นผลมาจากตรรกะของสมมติฐานเหล่านี้ แต่คุณจะต้องยอมรับสมมุติฐาน .ใช้สาม undefined แง่ - เลข " 0 " และ " ทายาท " -- เขาสามารถสร้างชุดอนันต์ของตัวเลขจากสัจพจน์เหล่านี้ สัจพจน์ผลผลิตระบบทั้งหมดของจำนวนเต็ม . เป็นหลักการวิเคราะห์ตัวเอง ? ถ้าจะเอาความหมายและข้อความของลักษณะเฉพาะ พวกเขา และเนื่องจากข้อเสนอ deduced จากการวิเคราะห์ยังวิเคราะห์ข้อเสนอ , ข้อเสนอของคณิตศาสตร์เป็นแบบก่อนเพื่อความถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เราต้องเตือนตัวเองว่า สมมุติฐานสามารถตีความ ( และตั้งใจจะตีความ ) ไม่ได้เป็นข้อเสนอแต่เป็นรูปแบบเชิงประพจน์ เช่น P , Q และ R ของ tautologies ของเรา ( PP 164-65 ) เปอาโนซ้ายเงื่อนไข " เลข " 0 " และ " ทายาท " uninterpreted . เราอาจจะให้สมมุติฐานทั้งหมดไม่ใช่เลขคณิตแปล : ตัวอย่างเช่น เราอาจจะใช้ " ทายาท " หมายถึงลูกหลาน และ " จำนวน " หมายถึง ไก่ แล้ว โดยเราสามารถสร้างสัจพจน์ 2 สรุปได้ว่าลูกหลานของไก่เป็นไก่ซึ่งเป็นงบสังเคราะห์เกี่ยวกับโลก และแม้ว่ามัน เกิดขึ้นจริง มันเป็นความจริงที่ไม่เป็นความจริง สัจพจน์เป็นเลขคณิตเฉพาะเมื่อเงื่อนไขหมายเลข " . 0 " และ " ทายาท " จะถูกตีความให้สอดคล้องกับการใช้จารีตประเพณีเลขคณิต ( เสร็จตัวอย่างเช่นในเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ และอัลเฟรดไวท์เฮด principia Mathematica และ gottlob frege พื้นฐานคณิตศาสตร์ ) เฉพาะจุดที่เรากังวลคือว่า เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น สัจพจน์เป็นเชิงวิเคราะห์ และผลทั้งหมดเลขคณิตข้อเสนออนุมานจากสัจพจน์เหล่านี้ยังได้วิเคราะห์