The shifted Gompertz distribution i

The shifted Gompertz distribution is very flexible. Fig. 1 shows the wide variety of shapes of the hazard rate function for some values of the shape parameter α.
Some statistical properties of the shifted Gompertz distribution are shown in Bemmaor [2]. More recently, Jiménez and Jodrá [3] have contributed to the study of this distribution, providing explicit expressions for the expectation and variance, deriving a closed-form expression for the quantile function and considering the limit distributions of extreme order statistics.
The least squares method has been used widely in the estimation of parameters of new products diffusion models. Ordinary least squares (OLS) was originally suggested by Bass [1]. Some problems in estimating the Bass diffusion model via OLS have been studied, for instance, in Putsis [4], Srinivasan and Mason [5], Mahajan et al. [6] or Schmittlein and Mahajan [7].
The nonlinear least squares (NLS) approach was suggested by Srinivasan and Mason [5] to overcome some problems inherent in the maximum likelihood estimation (MLE). The NLS procedure is also used in Mahajan et al. [6], Scitovski and Meler [8], Putsis [4,9] and Van den Bulte and Lilien [10] to estimate the parameters of the Bass model. Ramberg et al. [11] suggested that NLS could be used to estimate the parameters of a model, minimizing the squared distance between the quantile function and the empirical quantile function. Development and investigation of this method can be found in Öztürk and Dale [12] applied to the generalized lambda distribution. More recently, the NLS approach has been applied to estimate the parameters of some random models, for instance, hypergeometric distribution (Tohma et al. [13]), Weibull distribution (Lu et al. [14], Hung and Liu [15] or Markovic et al. [16]), Gompertz distribution (Wu et al. [17]), Pareto distribution (Lu and Tao [18]), Makeham distribution (Feng et al. [19]) or Wakeby distribution (Öztekin [20]).
The remainder of this note is organized as follows. In Section 2 the methodology used is presented: NLS methods, the maximum likelihood method and method of moments to estimate the parameters of the shifted Gompertz distribution. In Section 3, a numerical simulation is given to the proposed approaches and finally, the main conclusions are presented in Section 4.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แจก Gompertz ถูกเลื่อนมีความยืดหยุ่นมาก รูปที่ 1 แสดงรูปร่างของฟังก์ชันอัตราอันตรายสำหรับบางค่าของαพารามิเตอร์รูปร่างหลากหลายบางคุณสมบัติทางสถิติของการแจก Gompertz ถูกเลื่อนแสดงใน Bemmaor [2] เมื่อเร็ว ๆ นี้ Jiménez และ Jodrá [3] พัฒนาการศึกษาการกระจายนี้ ให้นิพจน์ชัดเจนสำหรับความคาดหวังและความแปรปรวน นิพจน์แบบฟอร์มปิดฟังก์ชัน quantile บริษัทฯ และพิจารณาจำกัดการกระจายของสถิติใบสั่งมากขึ้นวิธีกำลังสองน้อยสุดมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของรูปแบบการกระจายสินค้าใหม่ สี่เหลี่ยมอย่างน้อยธรรมดา (OLS) เดิมแนะนำ โดยเบส [1] ปัญหาในการประมาณแบบกระจายเสียงเบส ด้วย OLS มีการศึกษา เช่น Putsis [4], ตายของจริง และเมสัน [5], Mahajan et al. [6] หรือ Schmittlein และ Mahajan [7]วิธีกำลังสองน้อยสุดไม่เชิงเส้น (NLS) แนะนำ โดยการตายของจริงและเมสัน [5] เพื่อแก้ปัญหาบางอย่างในการประเมินความเป็นไปได้สูงสุด (MLE) นอกจากนี้ยังมีใช้กระบวนการ NLS ใน Mahajan et al. [6], Scitovski และ Meler [8], Putsis [4, 9] และ Bulte แวนเดน และ Lilien [10] การประเมินค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองเสียงเบส Ramberg et al. [11] แนะนำว่า NLS สามารถใช้ประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง ลดระยะทางกำลังสองระหว่างฟังก์ชัน quantile และเชิงประจักษ์ quantile การพัฒนาและการตรวจสอบวิธีนี้สามารถพบได้ใน Öztürk และหุบเขา [12] ใช้เพื่อกระจายแลมบ์ดาทั่วไป เมื่อเร็ว ๆ นี้ วิธี NLS ได้ถูกใช้ในการประเมินค่าพารามิเตอร์ของบางรุ่นแบบสุ่ม เช่น แจกจ่าย hypergeometric (Tohma et al. [13]), การกระจายแบบเวย์บูล (Lu et al. [14], ฮัง และหลิว [15] หรือ Markovic et al. [16]), แจก Gompertz (Wu et al. [17]), Pareto แจกจ่าย (Lu และเต่า [18]), Makeham กระจาย (Feng et al. [19]) หรือแจกจ่าย Wakeby (Öztekin [20])ส่วนที่เหลือของหมายเหตุนี้ได้มีการจัดระเบียบดังนี้ แสดงวิธีการที่ใช้ในส่วนที่ 2: วิธี NLS สูงสุดน่าเป็นวิธีการและวิธีการช่วงเวลาในการประเมินค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจง Gompertz ถูกเลื่อน ในส่วนที่ 3 การจำลองให้แนวทางที่เสนอ และในที่สุด การนำเสนอบทสรุปหลักใน 4 ส่วน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การกระจาย Gompertz ขยับมีความยืดหยุ่นมาก มะเดื่อ. 1 แสดงหลากหลายของรูปทรงของฟังก์ชั่นอัตราอันตรายสำหรับค่าของพารามิเตอร์αรูปร่างบาง.
บางคุณสมบัติทางสถิติของการกระจาย Gompertz ขยับจะแสดงใน Bemmaor [2] เมื่อเร็ว ๆ นี้JiménezและJodrá [3] มีส่วนร่วมในการศึกษาการกระจายนี้ให้การแสดงออกที่ชัดเจนสำหรับความคาดหวังและความแปรปรวนสืบมาแสดงออกปิดแบบฟอร์มสำหรับฟังก์ชัน quantile และเมื่อพิจารณาการกระจายขีด จำกัด ของสถิติการสั่งซื้อมาก.
สี่เหลี่ยมน้อย วิธีการได้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของผลิตภัณฑ์รุ่นใหม่แพร่ สามัญสองน้อยที่สุด (OLS) ได้รับการแนะนำโดยเดิมทีเบส [1] ปัญหาบางอย่างในการประมาณรูปแบบการแพร่กระจายผ่านทางเบส OLS ได้รับการศึกษาตัวอย่างเช่นใน Putsis [4], Srinivasan และเมสัน [5], จัน, et al [6] หรือ Schmittlein และจัน [7].
ไม่เชิงเส้นสองน้อยที่สุด (NLS) วิธีการที่ได้รับการแนะนำโดย Srinivasan และเมสัน [5] ที่จะเอาชนะปัญหาบางอย่างอยู่ในตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด (MLE) ขั้นตอน NLS ยังใช้ในจัน, et al [6], Scitovski และ Meler [8], Putsis [4,9] และรถบรรทุกสัตว์ Bulte และ Lilien [10] ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของรูปแบบเบส Ramberg et al, [11] บอกว่า NLS สามารถใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของรูปแบบการลดระยะยืดระหว่างฟังก์ชั่น quantile และฟังก์ชั่น quantile เชิงประจักษ์ การพัฒนาและการตรวจสอบของวิธีการนี้สามารถพบได้ในÖztürkและเดล [12] นำไปใช้กับการกระจายทั่วไปแลมบ์ดา เมื่อเร็ว ๆ นี้วิธี NLS ได้ถูกนำมาใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของบางรุ่นสุ่มเช่นการกระจาย hypergeometric (Tohma et al. [13]) การกระจาย Weibull (Lu et al. [14], ฮุงและหลิว [15] หรือ Markovic et al. [16]) การกระจาย Gompertz (Wu et al. [17]) การกระจาย Pareto (Lu และเต่า [18]) การกระจาย Makeham (ฮ et al. [19]) หรือการกระจาย Wakeby (Öztekin [ 20]).
ส่วนที่เหลือของบันทึกนี้มีการจัดระเบียบดังต่อไปนี้ ในส่วนที่ 2 วิธีการที่ใช้จะนำเสนอ: วิธีการ NLS วิธีโอกาสสูงสุดและวิธีการช่วงเวลาในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของการกระจาย Gompertz ขยับ ในส่วน 3 แบบจำลองเชิงตัวเลขจะได้รับการเสนอแนวทางและในที่สุดข้อสรุปหลักถูกแสดงไว้ในมาตรา 4

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วันเลื่อนๆกระจายคือ มีความยืดหยุ่นมาก รูปที่ 1 แสดงให้เห็นถึงความหลากหลายของรูปทรงของอัตราการทำงานอันตรายบางค่าของพารามิเตอร์αรูปร่าง .คุณสมบัติทางสถิติของการเลื่อนๆแสดงใน bemmaor [ 2 ] เมื่อเร็วๆ นี้ และ́เนซ jime jodra ́ [ 3 ] มีส่วนในการศึกษาการกระจายตัวของนี้ให้ชัดเจนเพื่อแสดงความคาดหวังและความแปรปรวนที่ได้รับการแสดงออกรูปแบบปิดสำหรับฟังก์ชันควอนไทล์และพิจารณาวงเงินการแจกแจงของสถิติลำดับมากและวิธีกำลังสองน้อยที่สุดถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองการแพร่กระจายสินค้าใหม่ วิธีกำลังสองน้อยที่สุด ( OLS ) ถูกเสนอโดยเบส [ 1 ] มีปัญหาในการกระจายแบบเบสผ่านและได้รับการศึกษา เช่น ใน putsis [ 4 ] , srinivasan เมสัน [ 5 ] , mahajan et al . [ 6 ] หรือ schmittlein และ mahajan [ 7 ]แบบเชิงเส้นกำลังสองน้อยที่สุด ( NLS ) แบบที่แนะนำโดย srinivasan เมสัน [ 5 ] เพื่อที่จะเอาชนะปัญหาโดยธรรมชาติในการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด ( mle ) ทาง NIS ขั้นตอนนอกจากนี้ยังใช้ใน mahajan et al . [ 6 ] และ scitovski เมเลอร์ [ 8 ] , putsis [ 4,9 ] และ bulte แวนเดนยลิเลียน [ 10 ] และค่าพารามิเตอร์ของเบสรุ่น Ramberg et al . [ 11 ] แนะนำว่า NIS สามารถใช้ประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองทางสถิติ ลดระยะห่างระหว่างควอนไทล์ฟังก์ชันและฟังก์ชันควอนไทล์เชิงประจักษ์ การพัฒนาและการตรวจสอบวิธีนี้สามารถพบได้ใน O ̈ ztu ̈ RK และเดล [ 12 ] ใช้ในการติดตามตัว . เมื่อเร็ว ๆ นี้ , NLS วิธีการได้รับนำมาใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลองสุ่มบางตัวอย่างเช่น ( tohma การแจกแจงไฮเปอร์จีออเมตริก et al . [ 13 ] ) การแจกแจงแบบไวบูลล์ ( Lu et al . [ 14 ] , แขวนและหลิว [ 15 ] หรือ markovic et al . [ 16 ] ) ๆกระจาย ( Wu et al . [ 17 ] ) , การแจกแจงพาเรโต ( Lu และเต่า [ 18 ] ) , makeham กระจาย ( ฟง et al . [ 19 ] ) หรือการกระจาย wakeby ( O ̈ ztekin [ 20 ] )ส่วนที่เหลือของหมายเหตุนี้คือการจัดดังนี้ ในส่วนที่ 2 วิธีการวิจัยใช้วิธีการนำเสนอ : NLS , ความเป็นไปได้สูงสุดและวิธีการประมาณค่าพารามิเตอร์ของช่วงเวลาของการเลื่อนๆกระจาย ในมาตรา 3 , การจำลองเชิงตัวเลขคือให้เสนอแนวทางและในที่สุด สรุปหลักจะนำเสนอในส่วนที่ 4