Proof. We have seen that there exis

Proof. We have seen that there exists p(x) ∈ R such that D(g(x)) =p(x) d/dx (g(x)) for all g(x) ∈ R. If f(x) ∈ R
with f(x) ∈ R1 and D(f(x)) = 0,then 0 = D(f(x)) = p(x) d/dx(f(x)).
Since R is a domain, either p(x) = 0 or d/dx (f(x)) = 0. But if f ∈ R1, then d/dx (f(x)) = 0, so it follows that p(x) = 0.
This implies that D = 0.
Note. This is not true in general. As examples of nontrivial derivations with
kernels of dimension more than one,take the inner derivations of the associative
algebra of square matrices.
Another set of known facts about derivations follows.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานการ เราได้เห็นว่า มี p(x) ∈ R ดังกล่าวว่า D(g(x)) =p(x) d/dx (g(x)) สำหรับทุก g(x) ∈อาร์ ถ้า f(x) ∈ R มี f(x) ∈ R1 และ D(f(x)) = 0 แล้ว 0 = D(f(x)) = p(x) d/dx(f(x))เนื่องจาก R เป็นโดเมน การ p(x) = 0 หรือ d/dx (f(x)) = 0 แต่ถ้า f ∈ R1, dx แล้ว d (f(x)) = 0 = 0 เพื่อให้เป็นไปตามที่ p(x) นี้หมายถึงการที่ D = 0หมายเหตุ นี้ไม่เป็นความจริงทั่วไป เป็นตัวอย่างของรากศัพท์ nontrivial ด้วยเมล็ดของมิติมากกว่าหนึ่ง ใช้ภายในรากศัพท์ที่เกี่ยวข้องพีชคณิตของเมทริกซ์จัตุรัสชุดของข้อเท็จจริงที่ทราบเกี่ยวกับรากศัพท์อื่นดังต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐาน เราได้เห็นแล้วว่ามีพี (x) ∈ R เช่นที่ D (g (x)) = P (x) d / DX (g (x)) สำหรับกรัมทั้งหมด (x) ∈อาร์ถ้า f (x) ∈ R
กับ f (x)? ∈ R1 และ D (f (x)) = 0 แล้ว 0 = D (f (x)) = P (x) d / DX (f (x)).
ตั้งแต่ R คือโดเมน ทั้งพี (x) = 0 หรือ d / DX (f (x)) = 0 แต่ถ้า f? ∈ R1 แล้ว d / DX (f (x)) = 0 ดังนั้นมันตามที่พี (x) = 0
นี่ก็หมายความว่า D = 0
หมายเหตุ นี้ไม่เป็นความจริงโดยทั่วไป เป็นตัวอย่างของการพิสูจน์ขับเคลื่อนด้วยเมล็ดของมิติมากกว่าหนึ่งใช้ derivations ภายในของสมาคมพีชคณิตของตารางการฝึกอบรม. ชุดของข้อเท็จจริงที่รู้จักกันอีกเกี่ยวกับการพิสูจน์ต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ เราได้เห็นแล้วว่ามี P ( x ) ∈ R เช่น D ( g ( x ) = P ( x ) D / DX ( g ( x ) ) สำหรับทุก∈ g ( x ) R . ถ้า f ( x ) ∈ R
F ( x )  ∈ R1 D ( F ( x ) = 0 แล้ว 0 = D ( f ( x ) = P ( x ) D / DX ( f ( x ) ) .
เมื่อ r คือ โดเมน ให้ P ( x ) = 0 หรือ D / DX ( f ( x ) = 0 แต่ถ้า F  ∈ R1 แล้ว D / DX ( f ( x ) )  = 0 ดังนั้นมันดังต่อไปนี้ว่า P ( x ) = 0
แสดงว่า D = 0
หมายเหตุ ไม่เป็นความจริงทั่วไปเป็นตัวอย่างของแหล่งที่มากับนอนทริเวียล
เมล็ดที่มีมิติมากกว่าหนึ่ง เอาแหล่งที่มาภายในของเชื่อมโยงพีชคณิตของเมทริกซ์จัตุรัส
.
อีกชุดของทราบข้อเท็จจริงเกี่ยวกับแหล่งที่มาดังนี้