Algebra Errors_____________________

Algebra Errors
________________________________________
Sign errors are surely the most common errors of all. I generally deduct only one point for these errors, not because they are unimportant, but because deducting more would involve swimming against a tide that is just too strong for me. The great number of sign errors suggests that students are careless and unconcerned -- that students think sign errors do not matter. But sign errors certainly do matter, a great deal. Your trains will not run, your rockets will not fly, your bridges will fall down, if they are constructed with calculations that have sign errors.
Sign errors are just the symptom; there can be several different underlying causes. One cause is the "loss of invisible parentheses," discussed in a later section of this web page. Another cause is the belief thata minus sign means a negative number. I think that most students who harbor this belief do so only on an unconscious level; they would give it up if it were brought to their attention. [My thanks to Jon Jacobsen for identifying this error.]
Is –x a negative number? That depends on what x is.
• Yes, if x is a positive number.
• No, if x itself is a negative number. For instance, when x = –6, then –x = 6 (or, for emphasis, –x = +6).
That's something like a "double negative". We sometimes need double negatives in math, but they are unfamiliar to students because we generally try to avoid them in English; they are conceptually complicated. For instance, instead of saying "I do not have a lack of funds" (two negatives), it is simpler to say "I have sufficient funds" (one positive).
Another reason that some students get confused on this point is that we read "–x" aloud as "minus x" or as "negative x". The latter reading suggests to some students that the answer should be a negative number, but that's not right. [Suggested by Chris Phillips.]
Misunderstanding this point also causes some students to have difficulty understanding the definition of the absolute value function. Geometrically, we think of |x| as the distance between x and 0. Thus|–3| = 3 and |27.3| = 27.3, etc. A distance is always a positive quantity (or more precisely, a nonnegative quantity, since it could be zero). Informally and imprecisely, we might say that the absolute value function is the "make it positive" function.
Those definitions of absolute value are all geometric or verbal or algorithmic. It is useful to also have a formula that defines |x|, but to do that we must make use of the double negative, discussed a few sentences ago. Thus we obtain this formula:

which is a bit complicated and confuses many beginners. Perhaps it's better to start with the distance concept.
________________________________________
Many college students don't know how to add fractions. They don't know how to add (x/y)+(u/v), and some of them don't even know how to add (2/3)+(7/9). It is hard to classify the different kinds of mistakes they make, but in many cases their mistakes are related to this one:
Everything is additive. In advanced mathematics, a function or operation f is called additive if it satisfies f(x+y)=f(x)+f(y) for all numbers x and y. This is true for certain familiar operations -- for instance,
• the limit of a sum is the sum of the limits,
• the derivative of a sum is the sum of the derivatives,
• the integral of a sum is the sum of the integrals.
But it is not true for certain other kinds of operations. Nevertheless, students often apply this addition rule indiscriminately. For instance, contrary to the belief of many students,


We do get equality holding for a few unusual and coincidental choices of x and y, but we have inequality for most choices of x and y. (For instance, all four of those lines are inequalities when x = y = π/2. The student who is not sure about all this should work out that example in detail; he or she will see that that example is typical.)
One explanation for the error with sines is that some students, seeing the parentheses, feel that the sine operator is a multiplication operator -- i.e., just as 6(x+y)=6x+6y is correct, they think thatsin(x+y)=sin(x)+sin(y) is correct.
The "everything is additive" error is actually the most common occurrence of a more general class of errors:
Everything is commutative. In higher mathematics, we say that two operations commute if we can perform them in either order and get the same result. We've already looked at some examples with addition; here are some examples with other operations. Contrary to some students' beliefs,

etc. Another common error is to assume that multiplication commutes with differentiation or integration. But actually, in general (uv)′ does not equal (u′)(v′) and ∫ (uv) does not equal (∫ u)(∫ v).
However, to be completely honest about this, I must admit that there is one very special case where such a multiplication formula for integrals is correct. It is applicable only when the region of integration is a rectangle with sides parallel to the coordinate axes, and
u(x) is a function that depends only on x (not on y), and
v(y) is a function that depends only on y (not on x).
Under those conditions,

(I hope that I am doing more good than harm by mentioning this formula, but I'm not sure that that is so. I am afraid that a few students will write down an abbreviated form of this formula without the accompanying restrictive conditions, and will end up believing that I told them to equate ∫ (uv) and (∫ u)(∫ v) in general. Please don't do that.)
________________________________________
Undistributed cancellations. Here is an error that I have seen fairly often, but I don't have a very clear idea why students make it.
(3x+7)(2x–9) + (x2+1) (3x+7) (2x–9) + (x2+1) (2x–9) + (x2+1)
f(x) = ________________________________________ ________________________________________ = ________________________________________
(3x+7)(x3+6) (3x+7) (x3+6) (x3+6)
In a sense, this is the reverse of the "loss of invisible parentheses" mentioned earlier; you might call this error "insertion of invisible parentheses." To see why, compare the preceding computation (which is wrong) with the following computation (which is correct).
(3x+7) [ (2x–9) + (x2+1)] (3x+7) [ (2x–9) + (x2+1) ] (2x–9) + (x2+1)
g(x) = ________________________________________ = ________________________________________ = ________________________________________
(3x+7) (x3+6) (3x+7) (x3+6) (x3+6)
Apparently some students think that f(x) and g(x) are the same thing -- or perhaps they simply don't bother to look carefully enough at the top line of f(x), to discover that not everything in the top line of f(x) has a factor of (3x+7). If you still don't see what's going on, here is a correct computation involving that first function f :
x2+1
2x–9 + ________________________________________
(3x+7)(2x–9) + (x2+1) 3x+7
f(x) = ________________________________________ = ________________________________________
(3x+7)(x3+6) x3+6
Why would students make errors like these? Perhaps it is partly because they don't understand some of the basic concepts of fractions. Here are some things worth noting:
• Multiplication is commutative -- that is, xy = yx. Consequently, most rules about multiplication are symmetric. For instance, multiplication distributes over addition both on the left and on the right:
(x1+x2)y=(x1y)+(x2y) and x(y1+y2)=(xy1)+(xy2) .
• Division is not commutative -- in general, x/y is not equal to y/x. Consequently, rules about division are not symmetric (though perhaps some students expected them to be symmetric). For instance,
(x1+x2)/y = (x1/y)+(x2/y) but in general x/(y1+y2) ≠ (x/y1)+(x/y2) .
• Fractions represent division and grouping (i.e., parentheses). For instance, the fraction
a+b
c+d
• is the same thing as (a+b)/(c+d). If you omit either pair of parentheses from that last expression, you get something entirely different. (Thanks to Mark Meckes for pointing out this possible explanation of the origin of such errors.) Perhaps some of the students' errors stem from such an omission of parentheses? or a lack of understanding of how important those parentheses are? That would seem to be indicated by the prevalance of another type of error described elsewhere on this page, "loss of invisible parentheses".
________________________________________
Dimensional errors. Most of this web page is devoted to things that you should not do, but dimensional analysis is something that you should do. Dimensional analysis doesn't tell you the right answer, but it does enable you to instantly recognize the wrongness of some kinds of wrong answers. Just keep careful track of your dimensions, and then see whether your answer looks right. Here are some examples:
• If you're asked to find a volume, and your answer is some number of square inches, then you know you've made an error somewhere in your calculations. (If you find this kind of error in your answer,don't just change "square inches" to "cubic inches" in your answer and leave the numerical part unchanged. The step in your calculation where you got the wrong units may also be a step where you made a numerical error. Try to find that step,)
• If you're asked to find an area or a volume, and your answer is a negative number, then you know you've made an error somewhere. (Again, don't just change the sign in your answer -- there may be more to your error than that.)
• If the question is a word-problem, think about whether your answer makes sense. For instance, if you're given the dimensions of a coin and you're asked to find its surface area, and you come up with an answer of 3000 square miles, you should realize that you've probably made an error (even though your answer has the right units), and you should look for that error. (This is not really an example of dimensional analysis, but I didn't know where else to put it. Thanks to Sandeep Kanabar for this example.)
• Even if yo

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อผิดพลาดพีชคณิต________________________________________เครื่องหมายข้อผิดพลาดเป็นข้อผิดพลาดทั่วไปแน่นอนที่สุดของทั้งหมด โดยทั่วไปหักจุดเดียวสำหรับข้อผิดพลาด ไม่ได้ เพราะพวกเขามีความสำคัญ แต่เนื่อง จากหักมากจะเกี่ยวข้องกับว่ายน้ำกับน้ำที่แข็งแรงเพียงเกินไปสำหรับฉัน จำนวนข้อผิดพลาดเครื่องดีแนะนำเรียนสะเพร่า และ unconcerned - ที่นักเรียนคิดว่า ข้อผิดพลาดเครื่องไม่ได้เรื่อง แต่ข้อผิดพลาดของเครื่องแน่นอน ว่า โปรโมชั่น รถไฟของคุณจะไม่ทำงาน จะไม่มีบินของจรวด สะพานของคุณจะลดลง ถ้าพวกเขาถูกสร้าง ด้วยการคำนวณที่มีข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบเครื่องหมายข้อผิดพลาดเป็นเพียงอาการ มีได้หลายสาเหตุพื้นฐานแตกต่างกัน สาเหตุหนึ่งคือ การ "สูญเสียมองไม่เห็นวงเล็บ กล่าวถึงในส่วนหลังของเว็บเพจนี้ สาเหตุอื่นคือ thata เชื่อลบหมายความว่า ตัวเลขค่าลบ คิดว่า นักเรียนส่วนใหญ่ที่ harbor ความเชื่อนี้ทำดังนั้นในระดับการสติ พวกเขาจะแพ้มันถ้ามันถูกนำไปความสนใจ [ขอบคุณการจาบจอนสำหรับการระบุข้อผิดพลาดนี้]เป็น – x ตัวเลขค่าลบหรือ ขึ้นอยู่กับว่า x เป็น•ใช่ ถ้า x เป็นจำนวนบวก•ไม่มี ถ้า x ตัวเลขลบ ตัวอย่าง เมื่อ x = –6 แล้ว – x = 6 (หรือ เน้น, – x = + 6)นั่นคือสิ่งที่ชอบ "สองลบ" เราต้องการสองสิ่งในคณิตศาสตร์บางครั้ง แต่พวกเขาไม่คุ้นเคยนักเรียนเนื่องจากโดยทั่วไปเราพยายามที่จะหลีกเลี่ยงพวกเขาภาษาอังกฤษ พวกเขามีความซับซ้อนทางแนวคิด ตัวอย่าง แทนที่จะพูดว่า "ฉันไม่มีการขาดทุน" (สองสิ่ง), มันจะเรียบง่ายว่า "มีเงินเพียงพอ" (บวกหนึ่ง)อีกเหตุผลที่นักเรียนบางคนสับสนในจุดนี้คือ ว่า เราอ่าน " – x " ออกเสียง เป็น "ลบ x" หรือ "ลบ x" อ่านหลังแนะนำให้นักเรียนบางคน ที่คำตอบควรเป็นตัวเลขค่าลบ แต่ที่ไม่เหมาะสม [แนะนำ โดย Chris ไขควง]ยัง misunderstanding จุดนี้ทำให้นักเรียนบางคนมีปัญหาในการทำความเข้าใจนิยามของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ Geometrically เราคิดว่า |x| เป็นระยะห่างระหว่าง x และ 0 Thus| – 3| = 3 และ |27.3| = 27.3 ฯลฯ ระยะไกลได้เสมอปริมาณค่าบวก (หรือเพิ่มเติมแม่นยำ nonnegative ปริมาณ เนื่องจากเป็นศูนย์) บาง และ imprecisely เราอาจพูดได้ว่า ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชัน "ให้บวก"เหล่านั้นคำนิยามของค่าสัมบูรณ์ได้ทุกรูปทรงเรขาคณิต หรือด้วยวาจา หรือ algorithmic มันมีประโยชน์ยัง มีสูตรที่กำหนด |x| แต่ จะทำให้เราต้องทำให้ใช้ค่าลบ คู่สนทนาไม่กี่ประโยคที่ผ่านมา ดังนั้น เราขอรับสูตรนี้: ซึ่งเป็นบิตซับซ้อน และ confuses เริ่มต้นหลาย บางทีดีกว่าเริ่ม ด้วยแนวคิดระยะทาง________________________________________นักเรียนจำนวนมากไม่ทราบวิธีการเพิ่มเศษส่วน พวกเขาไม่ทราบวิธีการเพิ่ม (x/y)+(u/v) และบางส่วนของพวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม (2/3)+(7/9) จึงยากที่จะจำแนกชนิด ของข้อผิดพลาดที่พวกเขาทำ แต่ ในหลายกรณีความผิดพลาดของพวกเขาเกี่ยวข้องกับการนี้:จึงจะสามารถ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง f เป็นฟังก์ชันหรือการดำเนินงานคือการบวกถ้ามันตรง f(x+y)=f(x)+f(y) สำหรับตัวเลขทั้งหมด x และ y นี้เป็นจริงสำหรับการดำเนินการบางอย่างคุ้นเคย - เช่น•จำนวนผลรวมคือ ผลรวมของข้อจำกัด•อนุพันธ์ของผลเป็นผลรวมของตราสารอนุพันธ์•ทฤษฎีบูรณาการรวมคือ ผลรวมของการปริพันธ์แต่ก็ไม่จริงอื่น ๆ บางชนิดของการดำเนินงาน อย่างไรก็ตาม นักเรียนมักจะใช้กฎนี้เพิ่ม indiscriminately ขัดกับความเชื่อของนักเรียนหลายคน เช่น เราได้รับความเสมอภาคถือสำหรับบางผิดปกติ และบังเอิญเลือก x และ y แต่เรามีความไม่เท่าเทียมกันในตัวเลือกส่วนใหญ่ของ x และ y. (เช่น ทั้งหมด 4 สายนั้นมีความเหลื่อมล้ำทางเมื่อ x = y = π/2 นักเรียนที่ไม่แน่ใจว่าทั้งหมดนี้ควรทำงานจากนั้นตัวอย่างรายละเอียด เขาหรือเธอจะเห็นว่า ตัวอย่างนั้นเป็นปกติ)คำอธิบายหนึ่งข้อผิดพลาดกับไซน์เป็น ว่า นักเรียนบางคน ดูวงเล็บ รู้สึกว่า ตัวไซน์คือ ตัวดำเนินการคูณ - เช่น เพียงเป็น 6 (x + y) = 6 x + 6y ถูก พวกเขาคิดว่า thatsin(x+y)=sin(x)+sin(y) ถูกต้องการ "จึงจะสามารถ" ข้อผิดพลาดจะเกิดขึ้นจริงที่พบมากที่สุดระดับทั่วไปของข้อผิดพลาด:ทุกอย่างจะสลับ ในวิชาคณิตศาสตร์สูงขึ้น เรากล่าวว่า การดำเนินการที่สองเดินทางถ้าเราสามารถทำได้ในใบสั่ง และได้รับผลลัพธ์เดียวกัน เราได้แล้วมองอย่างบวก นี่เป็นตัวอย่างการดำเนินงานอื่น ๆ ตรงกันข้ามกับความเชื่อของนักเรียนบางคน ฯลฯ ข้อผิดพลาดทั่วไปที่อื่นจะคิดว่า คูณ commutes สร้างความแตกต่างหรือรวม แต่ที่จริง ใน′ (uv) ไม่เท่ากับ (u′)(v′) และ∫ (uv) ไม่เท่ากับ (∫ยู)(∫ v)อย่างไรก็ตาม ที่จะซื่อสัตย์อย่างสมบูรณ์เกี่ยวกับเรื่องนี้ บันทึว่า มีกรณีพิเศษอย่างหนึ่งที่ถูกต้องเช่นสูตรคูณสำหรับปริพันธ์ จะใช้เฉพาะ เมื่อแคว้นรวมเป็นสี่เหลี่ยม มีด้านที่ขนานกับแกนประสานงาน และu(x) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่เฉพาะบน x (ไม่เกี่ยวกับ y), และv(y) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่เฉพาะกับ y (ไม่บน x)ภายใต้เงื่อนไขเหล่านั้น (หวังว่า ฉันทำดีกว่าทำร้าย ด้วยการกล่าวถึงสูตรนี้ แต่ฉันไม่แน่ใจว่า จะให้ ฉันกลัวว่า นักเรียนกี่จะจดแบบย่อของสูตรนี้โดยไม่มีเงื่อนไขเข้มงวดมา และจะสิ้นสุดเชื่อว่า ฉันบอกว่า ให้ถือเอา∫ (uv) และ (∫)(∫ v) ยูในทั่วไป กรุณาอย่าทำอย่างนี้)________________________________________เลิกไม่ได้กระจาย นี่คือข้อผิดพลาดที่ฉันได้เห็นค่อนข้างบ่อย แต่ไม่มีเหตุนักเรียนให้ความคิดที่ชัดเจนมาก (3 x + 7) (2 x – 9) + (x 2 + 1) (3 x + 7) (2 x – 9) + (x 2 + 1) (2 x – 9) + (x 2 + 1)f(x) = ________________________________________ ________________________________________ = ________________________________________ (3 x + 7) (x 3 + 6) (3 x + 7) (x 3 + 6) (x 3 + 6)ในความรู้สึก เป็นการย้อนกลับของการสูญเสีย"ของวงเล็บที่มองไม่เห็น" กล่าวถึงก่อนหน้านี้ คุณอาจเรียกข้อผิดพลาดนี้ "แทรกวงเล็บที่มองไม่เห็น" ดูทำไม เปรียบเทียบการคำนวณก่อนหน้านี้ (ซึ่งไม่ถูกต้อง) มีการคำนวณต่อไปนี้ (ซึ่งถูกต้อง) (3 x + 7) [(2 x – 9) + (x 2 + 1)] (3 x + 7) [(2 x – 9) + (x 2 + 1)] (2 x – 9) + (x 2 + 1)g(x) = ________________________________________ = ________________________________________ = ________________________________________ (3 x + 7) (x 3 + 6) (3 x + 7) (x 3 + 6) (x 3 + 6)เห็นได้ชัดว่านักเรียนบางคนคิดว่า f(x) และ g(x) เป็นสิ่งเดียวกัน - หรือบางทีพวกเขาก็ไม่ต้องยุ่งดูอย่างพอที่บรรทัดบนสุดของ f(x) การค้นพบว่า ไม่ใช่ทุกอย่างในบรรทัดบนสุดของ f(x) มีปัจจัยของ (3 x + 7) ถ้าคุณยังคงไม่เห็นมีอะไรเกิดขึ้น ที่นี่คือ คำนวณถูกต้องที่เกี่ยวข้องกับ f ว่าฟังก์ชันแรก: x 2 + 1 2x–9 + ________________________________________ (3 x + 7) (2 x – 9) + (x 2 + 1) 3 x + 7f(x) = ________________________________________ = ________________________________________ (3 x + 7) (x 3 + 6) x 3 + 6นักเรียนจะทำข้อผิดพลาดเช่นนี้ทำไม บางทีมันเป็นบางส่วนเนื่องจากพวกเขาไม่เข้าใจแนวคิดพื้นฐานของเศษส่วน นี่คือบางสิ่งบางอย่างเร็ว ๆ นี้:•คูณจะสลับ - นั่นคือ xy = yx ดังนั้น ส่วนใหญ่กฎเกี่ยวกับการคูณได้สมมาตร ตัวอย่าง คูณกระจายกว่านี้ทั้ง ด้านซ้าย และ ด้านขวา:(x1+x2)y=(x1y)+(x2y) และ x(y1+y2)=(xy1)+(xy2)•ฝ่ายไม่สลับ - ในทั่วไป x / y ไม่เท่า กับ y / x ดังนั้น กฎเกี่ยวกับการหารได้ไม่สมมาตร (แม้ว่าบางทีนักเรียนบางคนคาดว่าพวกเขาจะสมมาตร) ตัวอย่าง(x 1 + x 2) /y = (x1/y)+(x2/y) แต่ ใน≠ x/(y1+y2) ทั่วไป (x/y1)+(x/y2)•เศษส่วนแสดงส่วนงานและการจัดกลุ่ม (เช่น วงเล็บ) ตัวอย่าง เศษส่วน+ บีc + d•เป็นเหมือน (a+b)/(c+d) ถ้าคุณไม่ใส่วงเล็บจากนิพจน์ที่ล่าสุดทั้งคู่ คุณได้รับสิ่งที่แตกต่าง (ขอขอบคุณ Meckes หมายสำหรับชี้ออกอธิบายนี้เป็นไปได้ของแหล่งมาของข้อผิดพลาดดังกล่าว) บางทีบางข้อผิดพลาดของนักเรียนเกิดจากเช่นการกระทำการอันวงเล็บหรือไม่ หรือขาดความเข้าใจความสำคัญวงเล็บนั้นเป็น ที่จะดูเหมือนจะตาม prevalance ชนิดอื่นของข้อผิดพลาดที่อธิบายอื่น ๆ ในหน้านี้ "สูญเสียของวงเล็บที่มองไม่เห็น"________________________________________ข้อผิดพลาดการมิติ ทุ่มเทเพื่อสิ่งที่คุณไม่ควรทำมากที่สุดของหน้าเว็บนี้ แต่วิเคราะห์มิติเป็นสิ่งที่คุณควรทำอย่างไร วิเคราะห์มิติไม่บอกคำตอบที่ถูกต้อง แต่มันช่วยให้คุณรู้จัก wrongness บางชนิดคำตอบผิดทันที เพียงติดตามระมัดระวังขนาดของคุณ แล้ว ดูว่า คำตอบของคุณดูขวา ตัวอย่างเช่น:• ถ้าคุณกำลังถามหาดิสก์ คำตอบคือ จำนวนตารางนิ้ว แล้วคุณรู้ว่าคุณได้ทำผิดพลาดอยู่ในการคำนวณของคุณ (ถ้าคุณพบข้อผิดพลาดชนิดนี้ในคำตอบของคุณ ไม่เพียงเปลี่ยน "ตารางนิ้ว" "นิ้วลูกบาศก์" ในคำตอบและปล่อยให้ส่วนเป็นตัวเลขเปลี่ยนแปลง ขั้นตอนในการคำนวณที่คุณได้หน่วยไม่ถูกต้องอาจเป็นขั้นตอนที่คุณทำผิดพลาดตัวเลข ลองหาขั้นตอน,)•หากคุณกำลังถามหาพื้นที่หรือปริมาตรเป็น และคำตอบของคุณคือ ตัวเลขค่าลบ แล้วคุณรู้ว่าคุณได้ทำผิดพลาดอยู่ (อีกครั้ง ไม่เพียงเปลี่ยนเครื่องหมายในคำตอบของคุณ — อาจมีมากกว่าการเกิดข้อผิดพลาดของคุณที่)•หาก คำปัญหา คำถามคิดว่า คำตอบของคุณทำให้รู้สึก เช่น ถ้าคุณกำลังกำหนดมิติของเหรียญ และ คุณจะถูกถามหาพื้นที่ผิวของ และ คุณมากับคำตอบของตารางไมล์ 3000 คุณควรตระหนักว่า คุณ อาจจะทำผิด (แม้คำตอบของคุณมีหน่วยขวา), และคุณควรมองหาข้อผิดพลาดที่ (นี้ไม่ได้จริง ๆ ตัวอย่างการวิเคราะห์มิติ แต่ไม่รู้อื่นจะ ขอบคุณ Sandeep Kanabar สำหรับตัวอย่างนี้)•แม้โย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เซ็น ________________________________________ พีชคณิตข้อผิดพลาดข้อผิดพลาดย่อมข้อผิดพลาดมากที่สุดของทั้งหมด ฉันมักจะหักเพียงจุดเดียวสำหรับข้อผิดพลาดเหล่านี้ไม่ได้เพราะพวกเขาจะไม่สำคัญ แต่เพราะหักมากจะเกี่ยวข้องกับการว่ายทวนกระแสน้ำมันแรงเกินไปสำหรับผมจำนวนมากของข้อผิดพลาดสัญญาณบ่งบอกว่านักเรียนจะประมาท และไม่สนใจว่านักเรียนคิดว่าข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบไม่ได้ แต่ข้อผิดพลาดเซ็นแน่นอน เรื่องการจัดการที่ดี รถไฟของคุณจะไม่วิ่ง จรวดของคุณจะไม่บิน สะพานของคุณจะลดลง ถ้าพวกเขาจะถูกสร้างขึ้นด้วยการคำนวณที่มีเครื่องหมายข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบเป็นเพียงอาการ
;สามารถมีได้หลายสาเหตุเป็นต้น สาเหตุหนึ่งคือ " การสูญเสียวงเล็บมองไม่เห็น " ที่กล่าวถึงในส่วนที่ต่อมาจากหน้าเว็บนี้ สาเหตุอีกประการหนึ่ง คือ ความเชื่อ สอนใจเครื่องหมายลบหมายถึง จํานวนลบ ฉันคิดว่านักเรียนส่วนใหญ่ที่ท่าเรือความเชื่อนี้ทำเพียงในระดับไม่ได้สติ เขาจะมอบมันถ้ามันมาถึงความสนใจของพวกเขา[ ขอบคุณจอนจาคอบส์เพื่อระบุข้อผิดพลาดนี้ . ]
( x คือเลขลบ ? มันขึ้นอยู่กับว่า X .
- ใช่ ถ้า x เป็นจำนวนบวก .
- ไม่ ถ้า x เองเป็นเลขลบ ตัวอย่าง เมื่อ X = ( X = 6 แล้ว– 6 ( หรือสำหรับการเน้น ( x = 6 ) .
มันเหมือนคู่ " เชิงลบ " บางครั้งเราต้องการคู่ เชิง ลบ ในทางคณิตศาสตร์แต่พวกเขาไม่คุ้นเคยกับนักเรียน เพราะโดยทั่วไปเราพยายามที่จะหลีกเลี่ยงพวกเขาในภาษาอังกฤษ เป็นแนวคิดที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่นแทนที่จะพูดว่า " ผมไม่ได้ขาดทุน " ( เชิงลบ ) , มันง่ายที่จะพูดว่า " ฉันมีเงินเพียงพอ " ( บวกหนึ่ง )
เหตุผลที่นักเรียนบางคนสับสนในจุดนี้คือเราอ่าน " - X " ออกเสียงเป็น " ลบ " X " หรือ " ลบ xอ่านหลังแนะนำให้นักเรียนที่ตอบเป็นเลขลบ แต่มันไม่ถูกต้อง [ แนะนำโดยคริสฟิลลิป ]
เข้าใจผิดในจุดนี้ยังทำให้นักเรียนบางคนมีปัญหาความเข้าใจความหมายของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ วิธีที่เราคิด | x | ตามระยะทางระหว่าง X และ 0 ดังนั้น | – 3 | = 3 และ | 27.3 | = เดือน ฯลฯระยะทางเป็นปริมาณบวก ( หรืออย่างแม่นยำมากขึ้น , ปริมาณ , nonnegative เนื่องจากมันอาจจะศูนย์ ) ทางการและคลับคล้ายคลับคลา เราอาจพูดได้ว่า ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์คือ " ให้มันฟังก์ชั่นบวก " .
ผู้นิยามของค่าสัมบูรณ์เป็นรูปทรงเรขาคณิต หรือวาจา หรือขั้นตอนวิธี มันเป็นประโยชน์ที่จะมีสูตรที่กำหนด | | x ,แต่การทำอย่างนั้น เราต้องใช้ประโยชน์จากคู่ลบ คุยกันไม่กี่ประโยคเอง ดังนั้นเราได้รับสูตรนี้ :

ซึ่งเป็นบิตที่ซับซ้อนและสับสนมากมาย ผู้เริ่มต้น บางทีมันอาจจะดีกว่าที่จะเริ่มต้นด้วยแนวคิดที่ไกล

________________________________________ นักเรียนหลายคนไม่ทราบวิธีการเพิ่มเศษส่วน พวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม ( X / Y ) ( U / V )และบางส่วนของพวกเขาไม่ได้รู้วิธีการเพิ่ม ( 2 / 3 ) ( 7 / 9 ) มันเป็นการยากที่จะจำแนกชนิดของข้อผิดพลาดที่พวกเขาให้ แต่ในหลายกรณีความผิดพลาดของพวกเขาเกี่ยวข้องกับนี้ :
ทุกอย่างเป็นสารเติมแต่ง ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงฟังก์ชันหรือผ่าตัด F เรียกว่าการบวกถ้ามันเข้าตา F ( X Y ) = f ( x ) f ( y ) สำหรับตัวเลขทั้งหมดที่ x และ y นี้เป็นจริงสำหรับการดำเนินงานที่คุ้นเคยบางอย่าง -- ตัวอย่างเช่น
- วงเงินรวมคือผลรวมของลิมิต
- อนุพันธ์ของผลรวมคือผลรวมของอนุพันธ์ ,
- หนึ่งของผลรวมคือผลรวมของ integrals .
แต่มันจะไม่เป็นจริงสำหรับบางชนิดอื่น ๆของการดำเนินงาน อย่างไรก็ตาม นักเรียนมักจะใช้กฎเพิ่มเติมดาย ตัวอย่าง ขัดกับความเชื่อของนักเรียนมากมาย

,เราไม่ได้รับความเสมอภาคถือไม่กี่ผิดปกติและบังเอิญเลือกของ X และ Y , แต่เรามีความไม่เท่าเทียมกันสำหรับตัวเลือกมากที่สุดของ x และ y ( ตัวอย่างเช่นทั้งหมดสี่สายนั้นเป็นอสมการเมื่อ x = y = π / 2 นักเรียนที่ไม่แน่ใจทั้งหมดนี้ควรจะทำงานออกว่าตัวอย่างในรายละเอียด เขาหรือเธอ จะเห็นได้ว่า ตัวอย่างที่เป็นปกติ )
.หนึ่งในคำอธิบายสำหรับข้อผิดพลาดกับด้านที่นักเรียนบางคน เห็นวงเล็บ รู้สึกว่าผู้ประกอบการเป็นผู้ดำเนินการไซน์การคูณคือ แค่ 6 ( X Y ) = 6x 16 ถูกต้องพวกเขาคิดว่า thatsin ( X Y ) = sin ( x ) บาป ( Y )
" ทุกอย่างถูกต้อง การบวก " ข้อผิดพลาดเป็นจริงที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดของชั้นเรียนทั่วไปมากขึ้นของข้อผิดพลาด :
ทุกอย่างที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยน . ในคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเราว่าสองปฏิบัติการเดินทาง ถ้าเราสามารถแสดงพวกเขาในการสั่งซื้อและได้รับผลลัพธ์เดียวกัน เราได้ดูแล้วที่ตัวอย่างบางส่วนด้วย นอกจากนี้ ที่นี่มีบางตัวอย่างการทำงานอื่น ๆ ขัดกับความเชื่อของนักเรียนบ้าง

ฯลฯ ข้อผิดพลาดทั่วไปอื่น สมมติว่าคูณด้วยการบูรณาการการแลกเปลี่ยนหรือ แต่ที่จริงในทั่วไป ( UV ) นั้นไม่เท่ากับ ( U School ) ( V School ) และ∫ ( UV ) ไม่เท่ากับ ( ∫ ( ∫ u ) V )
แต่จะซื่อสัตย์เกี่ยวกับเรื่องนี้ ผมต้องยอมรับว่ามันเป็นหนึ่งที่พิเศษมาก ในกรณีเช่นการคูณสูตรครบถ้วนถูกต้อง มันใช้ได้เฉพาะเมื่อขอบเขตของการบูรณาการเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกับแกนพิกัดและ
u ( x ) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ x ( Y ) และ
v ( Y ) เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ Y ( ไม่ใช่ X )
ภายใต้เงื่อนไขเหล่านั้น

( ฉันหวังว่าฉันทำดีกว่าทำร้ายโดยการกล่าวขวัญสูตรนี้ แต่ฉัน ไม่แน่ใจว่าเป็นเช่นนั้น ผมกลัวว่านักเรียนบางคนจะเขียนเป็นรูปแบบย่อของสูตรนี้โดยมาพร้อมกับเงื่อนไขเข้มงวดและจะสิ้นสุดขึ้นเชื่อที่ฉันบอกพวกเขาถือเอา∫ ( UV ) และ ( ∫ u ) ( ∫ V ) ทั่วไป ได้โปรดอย่าทำแบบนั้น ________________________________________ )

undistributed ยกเลิก . นี้เป็นข้อผิดพลาดที่ฉันได้เห็นค่อนข้างบ่อย แต่ผมไม่ได้ชัดเจนมาก ว่าทำไมนักเรียนทำ .
( 3 x 7 ) ( 2x ) 9 ) X ( , 1 ) ( ( 2x 3x 7 ) ( 9 ) X ( , 1 ) ( 2x ) 9 ) X ( , 1 )
f ( x ) = ________________________________________ ________________________________________ = ________________________________________
( 3 x 7 ( x3 ) ( 6 ) 3 x 7 ) ( x3 6 ) ( X3
6 ) ในความรู้สึก นี่คือการย้อนกลับของ " การสูญเสียวงเล็บมองไม่เห็น " ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ คุณอาจเรียกใช้ข้อผิดพลาดนี้ " แทรกวงเล็บมองไม่เห็น " เห็น ทำไมเปรียบเทียบการคำนวณก่อนหน้านี้ ( ซึ่งผิด ) ด้วยการคำนวณต่อไปนี้ ( ที่ถูกต้อง )
( [ ( 2x 3x 7 ) ( 9 ) X ( , 1 ) ] [ ( 2x 3x 7 ) ( 9 ) X ( , 1 ) ] ( 2x ) 9 ) X ( , 1 )
g ( x ) = = = ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________
( 3 x 7 ( x3 ) ( 6 ) 3 x 7 ) ( x3 6 ) ( X3
6 )เห็นได้ชัดว่านักเรียนบางคนคิดว่า f ( x ) และ g ( x ) เป็นสิ่งเดียวกัน . . . หรือบางทีพวกเขาเพียงแค่ไม่ต้องดูอย่างรอบคอบเพียงพอที่ด้านบนบรรทัดของ f ( x ) จะพบว่า ไม่ ทุกอย่างในด้านบนบรรทัดของ f ( x ) ได้ปัจจัย ( 3 x 7 ) ถ้าคุณยังไม่เห็นว่าเกิดอะไรขึ้น ที่นี่คือที่แรกที่ถูกต้องที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณฟังก์ชัน f :
1
2 x ( X2 ________________________________________
9( 3 x 7 ) ( 2x ) 9 ) X ( , 1 ) x 3
7 f ( x ) = =
________________________________________ ________________________________________ ( 3 x 7 ) ( x3 6 ) X3 6
ทำไมนักเรียนสร้างความผิดพลาดแบบนี้ ? บางทีอาจเป็นเพราะพวกเขาไม่เข้าใจแนวคิดพื้นฐานบางอย่างของเศษส่วน ที่นี่มีบางสิ่งที่มูลค่า noting :
- การคูณมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ XY = yx . จากนั้นส่วนใหญ่กฎเกี่ยวกับการคูณเป็นสมมาตร . ตัวอย่างการคูณกระจายมากกว่านอกจากนี้ทั้งด้านซ้ายและด้านขวา :
( X1 X2 ) y = ( x1y ) ( x2y ) และ X ( y1 y2 ) = ( xy1 ) ( xy2 ) กอง
- ไม่ใช่การสับเปลี่ยน -- ทั่วไป , x / y ไม่เท่ากับ y / X . จากนั้น กฎเกี่ยวกับกองไม่สมมาตร ( แม้ว่าบางทีนักเรียนคาดว่าจะสมมาตร )
สำหรับอินสแตนซ์