In linear algebra, a symmetric n ×

In linear algebra, a symmetric n × n real matrix M is said to be positive definite if zTMz is positive for every non-zero column vector z of n real numbers. Here zT denotes the transpose of z.

More generally, an n × n Hermitian matrix M is said to be positive definite if z*Mz is real and positive for all non-zero complex vectors z. Here z* denotes the conjugate transpose of z.

The negative definite, positive semi-definite, and negative semi-definite matrices are defined in the same way, except that the expression zTMz or z*Mz is required to be always negative, non-negative, and non-positive, respectively.

Positive definite matrices are closely related to positive-definite symmetric bilinear forms (or sesquilinear forms in the complex case), and to inner products of vector spaces.[1]

Some authors use more general definitions of "positive definite" that include some non-symmetric real matrices, or non-Hermitian complex ones.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในพีชคณิตเชิงเส้น สมมาตร n × n จริงเมทริกซ์ M กล่าวได้ว่า เป็นบวกแน่นอนถ้า zTMz เป็นค่าบวกสำหรับ z ทุกเวกเตอร์คอลัมน์ศูนย์ไม่ใช่จำนวนจริง n ที่นี่ zT หมายถึงเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ z.

มากโดยทั่วไป การ n × n เอร์มีเชียนเมตริกซ์ M ว่า เป็นค่าบวกแน่นอนถ้า z * Mz เป็นจริง และค่าบวกสำหรับทั้งหมดไม่ใช่ศูนย์คอมเพล็กซ์เวกเตอร์ z ที่นี่ z * หมายถึงเมทริกซ์สลับเปลี่ยน conjugate ของ z

ลบบวกแน่นอนกึ่ง และการลบเมทริกซ์แน่นอนกึ่งเดียว กำหนด แน่นอนยกเว้นว่านิพจน์ zTMz หรือ z * Mz ต้องเสมอลบ ไม่ลบ และไม่ใช่ บวก ตามลำดับ.

เมทริกซ์บวกแน่นอนสัมพันธ์กับฟอร์ม bilinear สมมาตรที่เป็นบวกแน่นอน (หรือแบบฟอร์ม sesquilinear ในกรณีซับซ้อน), และผลิตภัณฑ์ภายในช่องว่างแบบเวกเตอร์[1]

บางอย่างผู้เขียนใช้คำนิยามทั่วไปของ "บวกแน่นอน" ที่ประกอบด้วยเมทริกซ์จริงบางไม่สมมาตร หรือซับซ้อนไม่ใช่เอร์มีเชียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในพีชคณิตเชิงเส้นสมมาตร n × n จริงเมทริกซ์ M บอกว่าจะเป็นบวกแน่นอนถ้า zTMz เป็นบวกสำหรับทุกซีเวกเตอร์คอลัมน์ไม่ใช่ศูนย์ตัวเลขจริง n นี่หมายถึงการขนส่ง zT ของซีมากกว่าปกติ× n n เทียนเมทริกซ์ M บอกว่าจะเป็นบวกแน่นอนถ้า Z * Mz เป็นจริงและบวกสำหรับทุกไม่ใช่ศูนย์เวกเตอร์ที่ซับซ้อนซี นี่ซี * หมายถึงการขนส่งของซีคอนจูเกตลบแน่นอนบวกกึ่งแน่นอนและการฝึกอบรมเชิงลบกึ่งแน่นอนจะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันยกเว้นว่าการแสดงออก zTMz หรือ Z * Mz จะต้องลบเสมอ, ไม่ใช่ ลบและไม่ใช่ในเชิงบวกตามลำดับการฝึกอบรมที่ชัดเจนในเชิงบวกที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับบวกที่ชัดเจนในรูปแบบสมมาตรบิลิแนร์ (หรือรูปแบบ sesquilinear ในกรณีที่ซับซ้อน) และผลิตภัณฑ์ภายในของช่องว่างเวกเตอร์. [1] ผู้เขียนบางคนใช้คำนิยามทั่วไปของ "บวกแน่นอน" ที่มีการฝึกอบรมจริงบางอย่างที่ไม่สมมาตรหรือคนที่ซับซ้อนไม่เทียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในพีชคณิตเชิงเส้น , เมตริกซ์สมมาตร n × n m จริงเป็นบวกแน่นอน ถ้า ztmz เป็นบวกสำหรับทุกคอลัมน์เวกเตอร์ Z N ไม่ใช่ศูนย์จริงตัวเลข ที่นี่ ZT แสดงทศนิยมไขว้ของ Z .

โดยทั่วไปเป็น n × n เมทริกซ์เอร์มีเชียน M เป็นบวกแน่นอนถ้า Z * MZ เป็นจริงและบวกทั้งหมดที่ไม่เป็นพาหะ ซี มาแสดงทศนิยมเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ z * Z .

ลบแน่นอน บวกและลบ กึ่ง กึ่งชัดเจนแน่นอนเมทริกซ์จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นว่า การแสดงออก ztmz หรือ Z * MZ จะต้องถูกลบก็ไม่ลบ และไม่บวกตามลำดับ .

บวกแน่นอนเมตริกซ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับรูปแบบสมมาตรที่ใช้การบวกแน่นอน ( หรือ sesquilinear ในรูปแบบ คดีซับซ้อน )และผลิตภัณฑ์ภายในช่องว่างของเวกเตอร์ [ 1 ]

บางคนเขียนใช้คำนิยามทั่วไปของ " บวกแน่นอน " ที่มีบางส่วนไม่สมมาตรจริงหรือไม่ hermitian เมทริกซ์ที่ซับซ้อนที่