Central Limit TheoremThe central li

Central Limit Theorem

The central limit theorem is one of the most significant conclusions of statistics.
The central limit theorem gives us opportunity to use the normal distribution theory in order to create confidence interval of the population mean.
With a confidence interval we can with a certain assurance determine the population mean.
According to the central limit theorem, for a large sample size, the sampling distribution of the sample mean is approximately normal, irrespective of the shape of the population distribution. The sample size is usually considered to be large if the sample size is over 30.
Note that when the population does not have a normal distribution, the shape of the sampling distribution is not exactly normal but approximately normal for a large sample size. The approximation becomes more accurate as the sample size increases.
Thus, if the sample size is 30 or more, the sample mean can be regarded to follow a normal distribution irrespective of the shape of the population. This is a result of a very practical importance.





Confidence interval
A confidence interval is an interval of values made by a sample where the population parameter belongs with a certain probability. The probability is called the confidence level. A confidence interval is made by the standardized normal distribution, using the central limit theorem.
Example. A 95% confidence interval means an interval where the population parameter will be found with 95% certainty, we have 95% confidence that the interval contains the true population parameter.
Formulas for confidence interval for large samples:
Confidence interval for the population mean µ :

where x ̅ = sample mean
n = sample size ( > 30)
s = standard deviation of the sample
z = value of the confidence level
Confidence interval for population proportion p:


where = sample proportion
n = sample size
z = value of the confidence level


Confidence level 95% 99% 99,9%
Value 1,96 2,58 3,30



The width of the confidence interval is the difference between the upper limit and the lower limit of the interval. The width is determined by

1. The confidence level, or the value of z
2. The sample size, n

If you increase the confidence level, the width of the interval increases. The higher probability for the population parameter to belong to the interval leads to a wider interval. The result will be less information about the population parameter. Instead you can decrease the width of the interval by taking a larger sample. A quadrupling of the sample size will lead to a divide into half of the interval.

Thus, if you want to decrease the width of a confidence interval, you have two choices:

1. Lower the confidence level
2. Increase the sample size

However, lowering the confidence level is not a good choice because a lower confidence level may give less reliable results. Therefore, you should always prefer to increase the sample size if you want to decrease the width of a confidence interval.

Sampling error
The difference between the value of a sample statistic obtained from a sample and the value of a corresponding population parameter obtained from the population is called the sampling error.
(Note that this difference represents the sampling error only if the sample is random and no nonsampling error has been made. Otherwise only a part of this difference will be due to the sampling error.)
The errors that occur in the collection, recording and tabulation of data, errors occur because of human mistakes, are called nonsampling errors.

Maximum error of estimate , the margin error e

For the population mean µ :


For the population proportion p:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางเป็นบทสรุปที่สำคัญสถิติอย่างใดอย่างหนึ่ง ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางให้เราโอกาสที่จะใช้ทฤษฎีการแจกแจงปกติเพื่อสร้างช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยประชากรมีช่วงความเชื่อมั่นเราสามารถ มีประกันบางกำหนดค่าเฉลี่ยประชากร ตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง สำหรับขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ การกระจายการสุ่มตัวอย่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือปกติประมาณ โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของการกระจายประชากร ขนาดตัวอย่างเป็นปกติถือว่ามีขนาดใหญ่ถ้าขนาดตัวอย่าง มากกว่า 30โปรดสังเกตว่า เมื่อประชากรมีการแจกแจงปกติ รูปร่างของการกระจายการสุ่มตัวอย่างจะไม่เหมือนปกติ แต่ปกติประมาณการขนาดตัวอย่างขนาดใหญ่ ประมาณที่จะถูกต้องมากขึ้นเป็นการเพิ่มขนาดตัวอย่างดังนั้น ถ้าขนาดตัวอย่าง น้อย 30 หมายความว่าตัวอย่างอาจถือตามการแจกแจงปกติโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของประชากร นี่คือผลของความสำคัญมากในทางปฏิบัติช่วงความเชื่อมั่น ช่วงความเชื่อมั่นคือ ช่วงของค่าตัวอย่างโดยที่พารามิเตอร์ของประชากรที่อยู่กับความน่าเป็นบาง น่าจะเรียกว่าระดับความเชื่อมั่น ช่วงความเชื่อมั่นจะทำตามที่มาตรฐานการแจกแจงปกติ โดยใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางตัวอย่างการ ช่วงความเชื่อมั่น 95% หมายถึง ช่วงที่พารามิเตอร์ประชากรจะพบกับความเชื่อมั่น 95% เรามีความมั่นใจ 95% ว่า ช่วงที่ประกอบด้วยพารามิเตอร์ประชากรจริงสูตรสำหรับช่วงความเชื่อมั่นในตัวอย่างขนาดใหญ่:ช่วงความเชื่อมั่นในเขตหมายถึงประชากร: ที่ x ̅ =ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง n =ขนาดตัวอย่าง (> 30) s =ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง z =ค่าระดับความเชื่อมั่น ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ p:สัดส่วนประชากร ที่ =สัดส่วนตัวอย่างn =ขนาดตัวอย่าง z =ค่าระดับความเชื่อมั่น ความเชื่อมั่นระดับ 95% 99% 99,9% ค่า 1,96 2,58 3,30 ความกว้างของช่วงความเชื่อมั่นมีความแตกต่างระหว่างขีดจำกัดบนและขีดจำกัดล่างของช่วง เป็นไปตามความกว้าง1. ระดับความเชื่อมั่น หรือค่าของ z2.ขนาดตัวอย่าง nถ้าคุณเพิ่มระดับความเชื่อมั่น ความกว้างของช่วงเพิ่มขึ้น ความเป็นไปได้สูงสำหรับพารามิเตอร์ประชากรจะอยู่ในช่วงนำไปสู่ช่วงกว้าง ผลจะเป็นข้อมูลเกี่ยวกับพารามิเตอร์ประชากรน้อยลง แต่ คุณสามารถลดความกว้างของช่วงเวลา โดยการใช้ตัวอย่างขนาดใหญ่ แบบ quadrupling ขนาดตัวอย่างจะนำไปสู่การแบ่งเป็นครึ่งหนึ่งของช่วงเวลาดังนั้น ถ้าคุณต้องการลดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น คุณมีสองตัวเลือก:1. ลดระดับความเชื่อมั่น2. เพิ่มขนาดตัวอย่างอย่างไรก็ตาม การลดระดับความเชื่อมั่นได้ดีเนื่องจากระดับความเชื่อมั่นต่ำกว่าอาจให้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้น้อย ดังนั้น คุณควรเสมอต้องการเพิ่มขนาดตัวอย่างถ้าคุณต้องการลดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง ความแตกต่างระหว่างค่าของสถิติตัวอย่างที่ได้จากตัวอย่างและค่าพารามิเตอร์ประชากรที่สอดคล้องกันที่ได้จากประชากรจะเรียกว่าข้อผิดพลาดสุ่มตัวอย่าง(โปรดสังเกตว่า ความแตกต่างนี้แสดงข้อผิดพลาดสุ่มตัวอย่างเท่านั้นถ้าตัวอย่างสุ่ม และข้อผิดพลาด nonsampling ไม่ได้ หรือ เพียงส่วนหนึ่งของความแตกต่างนี้จะได้เนื่องจากข้อผิดพลาดสุ่มตัวอย่าง)ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในคอลเลกชัน บันทึก และ tabulation ข้อมูล ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเนื่องจากความผิดพลาดมนุษย์ จะเรียกว่าข้อผิดพลาด nonsamplingข้อผิดพลาดสูงสุดของการประเมิน อีข้อผิดพลาดกำไรสำหรับประชากรหมายถึง เขต: สำหรับ p:สัดส่วนประชากร

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีขีด จำกัด กลางทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางเป็นหนึ่งในข้อสรุปที่สำคัญที่สุดของสถิติ. ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางให้โอกาสเราใช้ทฤษฎีการกระจายปกติเพื่อที่จะสร้างความเชื่อมั่นของประชาชนหมายถึง. ด้วยช่วงความเชื่อมั่นที่เราสามารถทำได้กับบางอย่าง การประกันการกำหนดประชากรหมายถึง. ตามทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางสำหรับขนาดของกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่กระจายตัวอย่างของตัวอย่างหมายความว่าเป็นเรื่องปกติประมาณโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของการกระจายของประชากร ขนาดของกลุ่มตัวอย่างมีการพิจารณามักจะมีขนาดใหญ่ถ้าขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่มีมากกว่า 30. ทราบว่าเมื่อประชากรที่ไม่ได้มีการแจกแจงปกติรูปร่างของการกระจายการสุ่มตัวอย่างไม่ว่าปกติ แต่ประมาณปกติสำหรับขนาดของกลุ่มตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่ ประมาณกลายเป็นที่ถูกต้องมากขึ้นตามการเพิ่มขึ้นของขนาดตัวอย่าง. ดังนั้นหากขนาดของกลุ่มตัวอย่างเป็น 30 หรือมากกว่าค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างสามารถได้รับการยกย่องในการปฏิบัติตามการแจกแจงแบบปกติโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของประชากร นี้เป็นผลมาจากความสำคัญมากในทางปฏิบัติ. ความเชื่อมั่นช่วงช่วงความเชื่อมั่นเป็นช่วงของค่าทำโดยกลุ่มตัวอย่างที่มีประชากรเป็นพารามิเตอร์ที่มีความน่าจะเป็นบางอย่าง น่าจะเรียกว่าระดับความเชื่อมั่น ช่วงความเชื่อมั่นจะทำโดยการกระจายปกติมาตรฐานโดยใช้ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง. ตัวอย่าง ช่วงความเชื่อมั่น 95% หมายความว่าช่วงเวลาที่พารามิเตอร์ของประชากรจะพบด้วยความเชื่อมั่น 95% เรามีความมั่นใจ 95% ว่าช่วงเวลาที่มีค่าพารามิเตอร์ของประชากรที่แท้จริง. สูตรสำหรับช่วงความเชื่อมั่นสำหรับกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่: ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับประชากรหมายถึงμ: ที่ x ̅ = ค่าเฉลี่ยตัวอย่างn = ขนาดของกลุ่มตัวอย่าง (> 30) s = เบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างค่า = Z ของระดับความเชื่อมั่นช่วงความเชื่อมั่นสำหรับสัดส่วนประชากร P: ที่ = สัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างขนาด n ตัวอย่าง = Z = ค่าของระดับความเชื่อมั่นระดับความเชื่อมั่น 95% 99% 99.9% มูลค่า 1,96 2,58 3,30 ความกว้างของช่วงความเชื่อมั่นคือความแตกต่างระหว่างขีด จำกัด บนและขีด จำกัด ล่างของช่วงเวลา ความกว้างจะถูกกำหนดโดย1 ระดับความเชื่อมั่นหรือมูลค่าของ Z 2 ขนาดตัวอย่าง n ถ้าคุณเพิ่มระดับความเชื่อมั่น, ความกว้างของช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น ความน่าจะเป็นที่สูงขึ้นสำหรับประชากรพารามิเตอร์จะเป็นช่วงเวลาที่จะนำไปสู่ช่วงเวลาที่กว้างขึ้น ผลที่ได้จะเป็นข้อมูลน้อยเกี่ยวกับพารามิเตอร์ของประชากร แต่คุณสามารถลดความกว้างของช่วงเวลาโดยการตัวอย่างขนาดใหญ่ quadrupling ขนาดตัวอย่างที่จะนำไปสู่การแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่งของช่วงเวลา. ดังนั้นหากคุณต้องการที่จะลดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่นคุณมีสองตัวเลือก: 1 ลดระดับความเชื่อมั่นที่ 2 เพิ่มขนาดของกลุ่มตัวอย่างอย่างไรก็ตามการลดระดับความเชื่อมั่นไม่ได้เป็นทางเลือกที่ดีเพราะระดับความเชื่อมั่นที่ลดลงอาจให้ผลลัพธ์ที่น่าเชื่อถือน้อย ดังนั้นคุณควรจะชอบที่จะเพิ่มขนาดของกลุ่มตัวอย่างถ้าคุณต้องการที่จะลดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น. สุ่มตัวอย่างข้อผิดพลาดความแตกต่างระหว่างค่าของสถิติตัวอย่างที่ได้จากตัวอย่างและค่าของพารามิเตอร์ของประชากรที่สอดคล้องกันที่ได้จากประชากร ที่เรียกว่าข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่าง. (โปรดสังเกตว่าความแตกต่างนี้แสดงให้เห็นถึงความผิดพลาดของการเก็บตัวอย่างเฉพาะในกรณีที่กลุ่มตัวอย่างเป็นแบบสุ่มและไม่มีข้อผิดพลาด nonsampling ได้รับการทำ. มิฉะนั้นเพียงส่วนหนึ่งของความแตกต่างนี้จะเป็นเนื่องจากข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่าง.) ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นใน . การเก็บรวบรวมการบันทึกและจัดระเบียบของข้อมูลข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเพราะความผิดพลาดของมนุษย์ที่เรียกว่า nonsampling ข้อผิดพลาดข้อผิดพลาดสูงสุดประมาณการอัตรากำไรข้อผิดพลาด E สำหรับประชากรหมายถึงμ: สำหรับสัดส่วนประชากรต่อไปนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เซ็นทรัลจำกัดทฤษฎีบทลิมิตกลาง

ทฤษฎีบทเป็นหนึ่งในข้อสรุปที่สำคัญที่สุดของสถิติ ทฤษฎีบทลิมิตกลาง
จะช่วยให้เรามีโอกาสที่จะใช้ทฤษฎีการแจกแจงปกติ เพื่อสร้างช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยประชากร .
กับความเชื่อมั่นที่เราสามารถกับบางประกันตรวจสอบประชากรหมายถึง
ตามทฤษฎีขีดจำกัดกลางสำหรับขนาดตัวอย่างใหญ่ กลุ่มตัวอย่าง กลุ่มตัวอย่าง หมายถึง การประมาณปกติ โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของประชากรการกระจาย ขนาดตัวอย่างมีการพิจารณามักจะเป็นขนาดใหญ่ถ้าขนาดตัวอย่าง 30 .
หมายเหตุ เมื่อประชากรมีการแจกแจงแบบปกติรูปร่างของตัวอย่างการประมาณปกติ ไม่ปกติแน่นอน แต่สำหรับขนาดตัวอย่างใหญ่ การประมาณจะถูกต้องมากขึ้นเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น .
ดังนั้นถ้าขนาดตัวอย่าง 30 หรือมากกว่า ตัวอย่างว่า สามารถถือว่าทำตามปกติโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของประชากร นี้คือผลของความ





ในทางปฏิบัติมากความเชื่อมั่น : ความเชื่อมั่นเป็นช่วงของค่าโดยตัวอย่างที่ประชากรพารามิเตอร์เป็นของความน่าจะเป็นที่แน่นอน ความน่าจะเป็นเรียกว่าระดับความมั่นใจ มีความเชื่อมั่นที่สร้างขึ้นจากการแจกแจงปกติมาตรฐาน โดยใช้ทฤษฎีขีดจำกัดกลาง .
ตัวอย่างความเชื่อมั่น 95% หมายถึงช่วงเวลาที่ประชากรพารามิเตอร์จะพบ 95% แน่นอน เรามีความเชื่อมั่น 95% ว่า ช่วงเวลาที่มีค่าจริง
สูตรสำหรับช่วงความเชื่อมั่นสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่ :
ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับประชากรหมายถึงµ :

เมื่อ x = ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง̅
n = ขนาด ตัวอย่าง ( 30 )
s
= ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างZ = ค่าของระดับความเชื่อมั่น
ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับสัดส่วนประชากร p :



n = = ตัวอย่างที่สัดส่วนขนาดตัวอย่าง
Z = ค่าของระดับความเชื่อมั่นที่ระดับความเชื่อมั่น 95 %

%
% 99,9 99 มูลค่า 1 , 96 2,58 3,30



ขนาดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่นคือความแตกต่าง ระหว่างส่วนบนและล่างขีด จำกัด ขีด จำกัด ของช่วง ความกว้างจะถูกกำหนดโดย

1 ระดับความมั่นใจหรือค่า z
2 ขนาดตัวอย่าง n

ถ้าคุณเพิ่มระดับความมั่นใจ ความกว้างของช่วงที่เพิ่มขึ้น สูงกว่าค่าความน่าจะเป็นสำหรับประชากรเป็นของช่วงเวลา ไปสู่ช่วงที่กว้างขึ้น ผลที่ได้จะเป็นข้อมูลน้อยเกี่ยวกับประชากรพารามิเตอร์ แต่คุณสามารถลดความกว้างของช่วงโดยการเก็บตัวอย่างขนาดใหญ่เป็น quadrupling ของขนาดตัวอย่างจะนำไปสู่การแบ่งครึ่งของช่วง

ดังนั้นหากคุณต้องการลดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น คุณมีสองตัวเลือก :

1 ลดระดับความมั่นใจ
2 เพิ่มขนาดตัวอย่าง

แต่ลดระดับความเชื่อมั่นไม่ใช่ทางเลือกที่ดี เพราะระดับความเชื่อมั่นต่ำอาจจะให้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้น้อยกว่า ดังนั้นคุณควรเลือกที่จะเพิ่มขนาดตัวอย่างถ้าคุณต้องการลดความกว้างของช่วงความเชื่อมั่น .

ผิดพลาด
ความแตกต่างระหว่างค่าของตัวอย่างสถิติที่ได้จากตัวอย่างและค่าพารามิเตอร์ของประชากรที่ได้จากประชากรเรียกว่า
ข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่างการสุ่มตัวอย่าง( หมายเหตุว่า ความแตกต่างนี้เป็นข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่าง ถ้าตัวอย่างที่สุ่มและไม่ nonsampling ข้อผิดพลาดได้ . มิฉะนั้นเพียงส่วนหนึ่งของความแตกต่างนี้จะเกิดจากข้อผิดพลาดการสุ่มตัวอย่าง )
ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการเก็บรวบรวม , บันทึกและจัดระเบียบข้อมูล ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเพราะความผิดพลาดของมนุษย์ เรียกว่า nonsampling ข้อผิดพลาด .

ผิดพลาดสูงสุดของประมาณการกำไรข้อผิดพลาด E

,สำหรับประชากรหมายถึงµ :


สำหรับสัดส่วนประชากร p :