Linear Algebra and its Applications

Linear Algebra and its Applications 387 (2004) 277–286
www.elsevier.com/locate/laa
An involutory Pascal matrix
Ashkan Ashrafi a, Peter M. Gibson b,∗
aDepartment of Electrical and Computer Engineering, University of Alabama in Huntsville,
Huntsville, AL 35899, USA
bDepartment of Mathematical Sciences, University of Alabama in Huntsville, 204 Madison Hall,
Huntsville, AL 35899, USA
Received 21 October 2003; accepted 17 February 2004
Submitted by R.A. Brualdi
Abstract
An involutory upper triangular Pascal matrix Un is investigated. Eigenvectors of Un and
of UT
n are considered. A characterization of Un is obtained, and it is shown how the results
can be extended to matrices over a commutative ring with unity.
© 2004 Elsevier Inc. All rights reserved.
Keywords: Pascal matrices; Involutory matrices; Eigenvectors; Matrices over a ring
1. Introduction
Let Un = (uij ) be the real upper triangular matrix of order n with
uij = (−1)
i−1


j − 1
i − 1

for 1
i
j
n.
For example,
U5 =






11 1 1 1
0 −1 −2 −3 −4
00 1 3 6
00 0 −1 −4
00 0 0 1






.
∗ Corresponding author.
E-mail address: [e-mail] (P.M. Gibson).
0024-3795/$ - see front matter
2004 Elsevier Inc. All rights reserved.
doi:10.1016/j.laa.2004.02.027
278 A. Ashrafi, P.M. Gibson / Linear Algebra and its Applications 387 (2004) 277–286
Such Pascal matrices are found in the book by Klein [2]. Moreover, the MATLAB
command pascal(n, 1) yields the lower triangular matrix UT
n .
Klein mentioned that U−1 n = Un (that is, Un is involutory). In fact a somewhat
more general result holds. Let p and q be integers with 1
p
q
n. Using the
identity
δnk = n
j=k
(−1)
j+k


n
j

j
k

,
which can be found on page 44 of [3], it is not difficult to see that the principal
submatrix of Un that lies in rows and column p, p + 1,...,q is involutory.
The matrix Un is closely related to two other “Pascal matrices”. Let Pn = (pij )
be the real lower triangular matrix of order n with
pij =


j − 1
i − 1

for 1
i
j
n,
and let Sn = (sij ) be the real symmetric matrix of order n with
sij =


i + j − 2
j − 1

for i, j = 1, 2, . . . , n.
Clearly Pn = UT
n Dn for the n × n diagonal matrix Dn = ((−1)i−1δij ). Hence, it follows
from the Cholesky factorization Sn = PnPT
n obtained by Brawer and Pirovino
[1] that Sn = (UT
n Dn)(UT
n Dn)T = UT
n Un. Thus, the involutory matrices UT
n and Un
can be used to obtain an LU factorization for Sn.
Other properties of Un are investigated in this paper. Eigenvectors of Un and of
UT
n are considered in Section 2. A characterization of Un is presented next, and then
it is shown how the results can be extended to matrices over a commutative ring with
unity.
2. Eigenvectors
It is easy to see that Un is similar to the diagonal matrix Dn = ((−1)i−1δij ). We
now consider eigenvectors of Un. For each positive integer k, let
xk =













k
0

−


k
1

.
.
.
(−1)k−1

k
k − 1












.
Lemma 2.1. For each positive integer k, xk is an eigenvector of Uk corresponding
to the eigenvalue (−1)k−1.
A. Ashrafi, P.M. Gibson / Linear Algebra and its Applications 387 (2004) 277–286 279
Proof. Since
Uk+1 =


Uk xk
0 (−1)k

,
we have
I = U2
k+1 =


I Ukxk + (−1)kxk
0 1 
and thus Ukxk = (−1)k−1xk.
For integers 1
k
n we define the vector ynk ∈ Rn by letting
ynk =


xk
0

.
Let Yn1 = {ynk : k is odd} and Yn2 = {ynk : k is even}.
Theorem 2.2. The set Yn1 is a basis for the eigenspace of Un corresponding to
the eigenvalue 1, and Yn2 is a basis for the eigenspace of Un corresponding to the
eigenvalue −1 (when n 2).
Proof. Lemma 2.1 implies that ynn = xn is an eigenvector of Un corresponding to
the eigenvalue (−1)n−1. Let 1
k

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พีชคณิตเชิงเส้นและ 387 ของโปรแกรมประยุกต์ (2004) 277-286www.elsevier.com/locate/laaเมทริกซ์การปาสกาล involutoryAshkan Ashrafi a, b ปีเตอร์เมตรกิบสัน ∗aDepartment ไฟฟ้าและวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยของอลาบามาในฮันต์สวิลล์ฮันต์สวิลล์ อัล 35899 สหรัฐอเมริกาbDepartment วิทยาการทางคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยของอลาบามาในฮันต์สวิลล์ 204 เมดิสันฮอลล์ฮันต์สวิลล์ อัล 35899 สหรัฐอเมริกาได้รับ 21 2003 ตุลาคม ยอมรับ 17 2004 กุมภาพันธ์เขียน โดย R.A. Brualdiบทคัดย่อInvolutory บนสามเหลี่ยมปาสกาลเมทริกซ์การสหประชาชาติเป็นการตรวจสอบ ลักษณะเฉพาะของสหประชาชาติ และของ UTn จะถือว่า คุณสมบัติของสหประชาชาติได้รับ และมันแสดงให้เห็นว่าผลสามารถขยายให้เมทริกซ์ผ่านแหวนสลับกับความสามัคคี© 2004 Elsevier อิงค์ สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมดคำสำคัญ: ปาสกาลเมทริกซ์ เมทริกซ์ involutory ลักษณะเฉพาะ เมทริกซ์ผ่านแหวน1. บทนำให้สหประชาชาติ = (uij) เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนจริงของลำดับ n ด้วยuij = (−1)i−1
เจ− 1ฉัน− 11 ฉัน j nตัวอย่างU5 =11 1 1 1−4 −3 −2 0 −100 1 3 600 0 −1 −400 0 0 1.ผู้ Corresponding ∗ที่อยู่อีเมล: (กิบสันน.) ใน [e-mail]0024-3795 / $ - เรื่องหน้าดู 2004 Elsevier อิงค์ สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมดdoi:10.1016/j.laa.2004.02.027278 A. Ashrafi กิบสันน. / พีชคณิตเชิงเส้นและ 387 ของโปรแกรมประยุกต์ (2004) 277-286ปาสกาลเมทริกซ์ดังกล่าวอยู่ในหนังสือ โดย Klein [2] นอกจากนี้ ใน MATLABคำสั่งปาสกาล (n, 1) ทำให้เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง UTnN U−1 ที่กล่าวถึง Klein =สหประชาชาติ (นั่นคือ สหประชาชาติคือ involutory) ในความเป็นจริงที่ค่อนข้างผลทั่วไปเก็บ ให้ p และ q เป็นจำนวนเต็มกับ 1 p q ใช้ตอนเหนือรหัสประจำตัวΔnk = nj = k(−1)j + k
nเจ เจk,ซึ่งสามารถพบได้ในหน้า 44 [3], ไม่ยากที่จะเห็นว่าหลักการsubmatrix ของสหประชาชาติที่อยู่ในแถวและคอลัมน์ p, p + 1,..., q คือ involutoryเมตริกซ์สหประชาชาติมีสัมพันธ์ใกล้ชิดกับสองอื่น ๆ "ปาสกาลเมทริกซ์" ให้ Pn = (pij)เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างจริงของลำดับ n ด้วยpij =
เจ− 1ฉัน− 11 ฉันเจ nให้ Sn = (sij) เป็นเมตริกซ์สมมาตรจริงของลำดับ n ด้วยsij =
i + j − 2เจ− 1สำหรับ i, j = 1, 2,..., nชัดเจน Pn = UTDn n สำหรับ n × n เส้นทแยงมุม Dn = (i−1δij (−1)) ดังนั้น เป็นไปตามจากการแยกตัวประกอบ Cholesky Sn = PnPTn ที่ได้รับ โดย Brawer และ Pirovino[1] ที่ Sn = (UTn Dn) (UTT n Dn) = UTn Un ดังนั้น involutory เมทริกซ์ UTn และสหประชาชาติสามารถใช้เพื่อขอรับการแยกตัวประกอบของลูสำหรับ Snคุณสมบัติอื่น ๆ ของสหประชาชาติจะตรวจสอบในเอกสารนี้ ลักษณะเฉพาะ ของสหประชาชาติ และUTn จะพิจารณาใน 2 ส่วน แสดงคุณสมบัติของสหประชาชาติ แล้วมันแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์สามารถขยายให้เมทริกซ์ผ่านแหวนสลับกับความสามัคคี2. ลักษณะเฉพาะง่ายต่อการดูว่าสหประชาชาติกับเมทริกซ์ทแยงมุม Dn = (i−1δij (−1)) เราตอนนี้ พิจารณาลักษณะเฉพาะของสหประชาชาติ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k ให้xk =
k0−
k1...K−1 (−1)kk − 1.จับมือ 2.1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k, xk เป็น eigenvector เป็นของสหราชอาณาจักรที่เกี่ยวข้องการ k−1 eigenvalue (−1)A. Ashrafi กิบสันน. / พีชคณิตเชิงเส้นและ 387 ของโปรแกรมประยุกต์ (2004) 277-286 279หลักฐานการ ตั้งแต่อังกฤษ + 1 =Xk สหราชอาณาจักรเค (−1) 0,เรามีฉัน = U2k + 1 =ฉัน Ukxk + kxk (−1)0 1 และดังนั้น Ukxk = k−1xk (−1)สำหรับ n เป็นจำนวนเต็ม 1 k เรากำหนดเวกเตอร์ ynk ∈ Rn โดยให้ynk =xk0.ให้ Yn1 = { ynk: k เป็นคี่} และ Yn2 = { ynk: k คือแม้}ทฤษฎีบทที่ 2.2 ชุด Yn1 เป็นราคาพื้นฐานสำหรับ eigenspace ของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับeigenvalue 1 และ Yn2 เป็นพื้นฐานสำหรับ eigenspace ของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับการeigenvalue −1 (เมื่อ n 2)หลักฐานการ 2.1 การจับมือหมายถึงการที่ ynn = xn เป็น eigenvector การของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับn−1 eigenvalue (−1) ให้ 1 kสหประชาชาติ =สหราชอาณาจักร A0 B.เราใช้ 2.1 จับมือ เห็นว่าUnynk =สหราชอาณาจักร A0 B xk0=K−1xk (−1)0= (−1)k−1ynkดังนั้น แต่ละ n k 1, ynk เป็น eigenvector การของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับ eigenvalueK−1 (−1) นอกจากนี้ ซึ่งง่ายต่อการดูว่า Yn1 และ Yn2 เป็นอิสระเชิงเส้นตั้งค่าให้ Hn = (hij) เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนด้วยhij = (−1)ฉัน + เจ
เจ− 1ฉัน− 12i−1 1 ผม j nและให้ Mn = (mij) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างด้วยmij =
ฉัน− 1เจ− 12n−j 1 เจฉัน nAshrafi A. 280 น.กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและ 387 ของโปรแกรมประยุกต์ (2004) 277-286ตัวอย่างH6 =1 −1 1 −1 1 −10 2 −4 6 −8 10−40 24 −12 00 400 0 8 −32 800 0 0 0 16 −800 0 0 0 0 32,M6 =32 0 0 0 0 016 16 0 0 0 08 16 8 0 0 04 12 12 4 0 02 8 12 8 2 01 5 10 10 5 1.จะแสดงคอลัมน์ของ Hn ใช้ลักษณะเฉพาะของสหประชาชาติ และที่คอลัมน์Mn เป็นลักษณะเฉพาะของ UTnจับมือ 2.3 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n, UnHn = HnDnหลักฐานการ UnHn ชัดเจน = (aij) และ HnDn = (bij) อยู่บนสามเหลี่ยม 1 ฉันj n เราเห็นว่าaij = เจk =ฉัน(−1)i−1
k − 1ฉัน− 1(−1)k + j
เจ− 1k − 12k−1= (−1)ผม + 1 j−1k = i−1(−1)k + j−1kฉัน− 1 เจ− 1k2k= (−1)ผม + 2j−1
เจ− 1ฉัน− 12i−1= bijที่เราใช้ข้อมูลประจำตัว nk = m(−1)n + k
nk km2k−m =
nm,ซึ่งสามารถพบหน้า 32 [3]คอลัมน์ของ Hn ผลผลิตฐานที่แตกต่างกันสำหรับ eigenspaces ของสหประชาชาติกว่ากำหนดใน 2.2 ทฤษฎีบท ให้ Vn1 = { vnk: k เป็นคี่} และ Vn2 = { vnk: k คือแม้}, ที่vnk เป็นคอลัมน์ kth HnA. Ashrafi กิบสันน. / พีชคณิตเชิงเส้นและ 387 ของโปรแกรมประยุกต์ (2004) 277-286 281ทฤษฎีบทที่ 2.4 ชุด Vn1 เป็นราคาพื้นฐานสำหรับ eigenspace ของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับthe eigenvalue 1, and Vn2 is a basis for the eigenspace of Un corresponding to theeigenvalue −1.Proof. Lemma 2.3 implies that vnk is an eigenvector of Un corresponding to theeigenvalue (−1)k−1. Moreover, Vn1 and Vn2 are linearly independent sets.We now consider eigenvectors of UTn . Let Wn1 = {wnk : k is odd} and Wn2 ={wnk : k is even}, where wnk is the kth column of Mn. Define the diagonal matricesQn and Rn of order n by letting Qn = (2i−1δij ) and Rn = (2n−iδij ).Lemma 2.5. For each positive integer n, Mn = 2n−1(HTn )−1.Proof. We see that Hn = QnUnDn and Mn = RnUTn Dn. Hence, using D2n = I =U2n , it follows thatMnHTn = (RnUTn Dn)(DnUTn Qn) = RnQn = 2n−1I,and thus Mn = 2n−1(HTn )−1.Lemma 2.6. For each positive integer n, UTn Mn = MnDn.Proof. Using Lemma 2.3, we see thatUTn (HTn )−1 = ((UnHn)T)−1 = ((HnDn)T)−1 = (HTn )−1Dn,and it follows from Lemma 2.5 that UTn Mn = MnDn.Theorem 2.7. The set Wn1 is a basis for the eigenspace of UTn corresponding tothe eigenvalue 1, and Wn2 is a basis for the eigenspace of UTn corresponding to theeigenvalue −1.Proof. Lemma 2.6 implies that wnk is an eigenvector of UTn corresponding to theeigenvalue (−1)k−1. Moreover, Wn1 and Wn2 are linearly independent.3. A characterization of UnLet Kn = (kij ) be the (0,1)-matrix of order n with kij = 1 if and only if j = i + 1,and let Gn = (gij ) = Un + (KTn Un − Un)Kn. An easy computation shows that Gnis a (0,1)-matrix with gij = 1 if and only if i = j = 1. Thus Gn is a symmetricmatrix. We will show that such symmetry and the property that each leading principalsubmatrix is involutory characterizes ±Un for n 4. The following lemmas will beused.282 A. Ashrafi, P.M. Gibson / Linear Algebra and its Applications 387 (2004) 277–286Lemma 3.1. Let X = (xij ) be an involutory matrix of order 2 such that x11 = 1,X + (KT2 X − X)K2 is symmetric and X /= U2. ThenX = 1 0−1 −1.Proof. We see thatX + (KT2 X − X)K2 = 1 x12 − 1x21 1 − x21 + x22 .Since this matrix is symmetric and X2 = I , it follows thatX = 1 x12x12 − 1 −1,where x12 = 1 or x12 = 0.Lemma 3.2. Let X be a matrix of order n 3 and let Y be the leading principalsubmatrix of X of order n − 1. If X + (KTn X − X)Kn is symmetric then Y +(KTn−1Y − Y )Kn−1 is symmetric.Proof. Partition Kn and X asKn =Kn−1 L0 0 , X =Y CR d .We see thatX + (KTn X − X)Kn =Y + (KTn−1Y − Y )Kn−1 C + (KTn−1Y − Y )LR + (LTY − R)Kn−1 d + (LTY − R)L .Lemma 3.3. Let X = (xij ) be a matrix of order 3 such that each leading principalsubmatrix of X is involutory, x11 = 1, X + (KT3 X − X)K3 is symmetric andX /= U3. ThenX =100−1 −1 −2001 .Proof. It follows from Lemmas 3.1 and 3.2 that X = X1 or X = X2 whereX1 =1 1 x130 −1 x23x31 x32 x33 , X2 =1 0 x13−1 −1 x23x31 x32 x33 .In both cases, since X2 = I , we see that either x13 = x23 = 0 or x31 = x32 = 0. Firstsuppose that X = X1. It then follows that
A. Ashrafi, P.M. Gibson / Linear Algebra and its Applications 387 (2004) 277–286 283
G = X + (KT
3 X − X)K3 =


1 0 x13 − 1
0 0 x23 + 2
x31 x32 − x31 x33 − 1 − x32

 .
Since G is symmetric, if x13 = x23 = 0, then x31 = −1 and x32 = 1. However, this
would imply that X2 =/ I . Hence, we must have x31 = x32 = 0. Therefore, since G
is symmetric, we see that x13 = 1 and x23 = −2. It now follows that X = U3. Thus
we assume that X = X2, and it follows that
G = X + (KT
3 X − X)K3 =


1 −1 x13
−1 1 x23 + 1
x31 x32 − 1 − x31 x33 − 1 − x32

 .
Since G is symmetric, if x13 = x23 = 0, then x31 = 0 and x32 = 2. However, this
would imply that X2 =/ I . Hence, we must have x31 = x32 = 0. Therefore, since G
is symmetric, we see that x13 = 0 and x23 = −2. It now follows that
X =


100
−1 −1 −2
001

 .
Lemma 3.4. Let X = (xij ) be a matrix of order 4 such that each leading principal
submatrix of X is involutory, x11 = 1, and X + (KT
4 X − X)K4 is symmetric. Then
X = U4.
Proof. It follows from Lemmas 3.2 and 3.3 that X = X1 or X = X2 where
X1 =




100 x14
−1 −1 −2 x24
001 x34
x41 x42 x43 x44




, X2 =




111 x14
0 −1 −2 x24
001 x34
x41 x42 x43 x44



 .
In both cases, since X2 = I , we see that either x14 = x24 = x34 = 0 or x41 = x42 =
x43 = 0. First suppose that X = X1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286
www.elsevier.com/locate/laa~~V
involutory
ปาสกาลเมทริกซ์อัสAshrafi ปีเตอร์เอ็มกิบสันข *
ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและวิศวกรรมคอมพิวเตอร์มหาวิทยาลัยอลาบามาในฮันต์ส,
ฮันต์ , AL 35899 สหรัฐอเมริกา
bDepartment คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยอลาบามาในฮันต์ 204
เมดิสันฮอลล์สวิลล์, AL 35899
สหรัฐอเมริกาที่ได้รับ21 ตุลาคม 2003; ยอมรับ 17 กุมภาพันธ์ 2004
ส่งโดย RA ​​Brualdi
บทคัดย่อ
involutory เมทริกซ์สามเหลี่ยมปาสกาลบน Un ถูกตรวจสอบ eigenvectors
ของสหประชาชาติและของยูทาห์
n ได้รับการพิจารณา
ลักษณะของสหประชาชาติได้และมันก็แสดงให้เห็นว่าผลที่ได้สามารถขยายการฝึกอบรมกว่าสับเปลี่ยนแหวนที่มีความสามัคคี.
© 2004 เอลส์อิงค์สงวนลิขสิทธิ์.
คำสำคัญ: การฝึกอบรมปาสคาล; การฝึกอบรม Involutory; eigenvectors; การฝึกอบรมมากกว่าแหวน
1 การแนะนำให้ Un = (Uij) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมจริงบนของคำสั่ง n กับ Uij = (-1) ฉัน-1? ญ - 1 ฉัน - 1 1? ผม ? เจ? n. ตัวอย่างเช่นU5 =  11 1 1 1 0 -1 -2 -3 -4 00 1 3 6 00 0 -1 -4 00 0 0 1 . * ผู้รับผิดชอบ . ที่อยู่ E-mail: [e-mail] (PM กิบสัน). 0024-3795 / $ - เห็นว่าหน้า? . 2004 เอลส์อิงค์สงวนลิขสิทธิ์ดอย: 10.1016 / j.laa.2004.02.027 278 เอ Ashrafi, PM กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286 การฝึกอบรมปาสกาลดังกล่าวจะพบในหนังสือโดยไคลน์ [ 2] นอกจากนี้ MATLAB ปาสคาลคำสั่ง (n, 1) อัตราผลตอบแทนเมทริกซ์สามเหลี่ยมต่ำ UT n. ไคลน์บอกว่า U-1 n = ไม่ (นั่นคืออูเป็น involutory) ในความเป็นจริงค่อนข้างผลทั่วไปมากขึ้นถือ ให้ p และ q เป็นจำนวนเต็ม 1? พี? คิว? n การใช้ตัวตนδnk = n ญ = k (-1) เจ + k? n ญ? ญ k, ซึ่งสามารถพบได้ในหน้า 44 [3] มันไม่ได้เป็นเรื่องยากที่จะเห็นว่าหลักsubmatrix ของสหประชาชาติที่ตั้งอยู่ใน แถวและคอลัมน์พีพี + 1, ... , คิวเป็น involutory. เมทริกซ์อูจะต้องเกี่ยวข้องกับอีกสองคน "เมทริกซ์ปาสกาล" ให้ Pn = (PIJ) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมต่ำที่แท้จริงของการสั่งซื้อกับ n PIJ =? ญ - 1 ฉัน - 1 1? ผม ? เจ? n, และให้ Sn = (SIJ) เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่แท้จริงของคำสั่ง n กับSIJ =? i + เจ - 2 เจ - 1 สำหรับผม j = 1, 2, . . , n. เห็นได้ชัด Pn = UT n Dn สำหรับ× n n เมทริกซ์ทแยงมุม Dn = ((-1) I-1δij) ดังนั้นมันดังต่อไปนี้จาก Cholesky ตีนเป็ด Sn = PnPT n ที่ได้รับจาก Brawer และ Pirovino [1] ที่ Sn = (UT n DN) (UT n DN) T = UT n อู ดังนั้น involutory เมทริกซ์ยูทาห์n และ Un สามารถนำมาใช้เพื่อให้ได้ตัวประกอบ LU สำหรับ Sn. คุณสมบัติอื่น ๆ ของสหประชาชาติจะถูกตรวจสอบในเอกสารนี้ eigenvectors ของอูและยูทาห์n มีการพิจารณาในมาตรา 2 ลักษณะของสหประชาชาติที่จะนำเสนอต่อไปแล้วมันจะแสดงให้เห็นว่าผลที่สามารถขยายไปถึงการฝึกอบรมกว่าสับเปลี่ยนแหวนที่มีความสามัคคี. 2 eigenvectors มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า Un คล้ายกับเมทริกซ์ทแยงมุม Dn = ((-1) I-1δij) เราพิจารณา eigenvectors ของสหประชาชาติ สำหรับ k แต่ละจำนวนเต็มบวกให้XK = ? k 0 -? k 1... (-1) k-1? k k - 1 . บทแทรก 2.1 สำหรับ k แต่ละจำนวนเต็มบวก XK เป็นวิคเตอร์ของสหราชอาณาจักรที่สอดคล้องกันเพื่อeigenvalue นี้ (-1) k-1. เอ Ashrafi, PM กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286 279 หลักฐาน ตั้งแต่สหราชอาณาจักร + 1 = Uk XK 0 (-1) k, เรามีI = U2 k + 1 = ฉัน Ukxk + (-1) kxk 0 1  จึง Ukxk = (-1) k-1xk. สำหรับจำนวนเต็ม 1 K? n เรากำหนดเวกเตอร์ ynk ∈ Rn โดยให้ynk = XK 0. ให้ Yn1 = {ynk: k เป็นเลขคี่} และ Yn2 =. {ynk: k คือแม้} ทฤษฎีบท 2.2 ชุด Yn1 เป็นพื้นฐานสำหรับการ eigenspace ของอูสอดคล้องกับที่eigenvalue 1 และ Yn2 เป็นพื้นฐานสำหรับการ eigenspace ของอูสอดคล้องกับที่eigenvalue -1 (เมื่อ n. 2) หลักฐาน บทแทรก 2.1 แสดงให้เห็นว่า YNN = xn เป็นวิคเตอร์ของอูสอดคล้องกับeigenvalue นี้ (-1) n-1 ให้ 1? k





























































































































































Un = สหราชอาณาจักร0 B. การใช้บทแทรก 2.1 เราจะเห็นว่าUnynk = สหราชอาณาจักร0 B XK 0 = (-1) k-1xk 0 = (-1) k-1ynk. ดังนั้นสำหรับแต่ละ 1 K? n, ynk เป็นวิคเตอร์ของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะ(-1) k-1 นอกจากนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า Yn1 และ Yn2 เป็นเส้นตรงอิสระชุด. ให้ Hn = (hij) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนที่มีhij = (-1) i + เจ? ญ - 1 ฉัน - 1 2i-1 1? ผม ? เจ? n, และให้ Mn = (mij) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่ต่ำกว่าด้วยmij =? ฉัน - 1 เจ - 1 2n-J 1? เจ? ผม ? n. 280 A. Ashrafi, PM กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286 ตัวอย่างเช่นH6 =  1 -1 1 -1 1 -1 0 2 -4 6 - 10 8 00 4 24 -12 -40 00 0 8 -32 80 0 0 0 0 16 -80 0 0 0 0 0 32 , M6 =  32 0 0 0 0 0 16 16 0 0 0 0 8 16 8 0 0 0 4 12 12 4 0 0 2 8 12 8 2 0 1 5 10 10 5 1 . ก็จะมีการแสดงให้เห็นว่าคอลัมน์ของ hn มี eigenvectors ของสหประชาชาติและคอลัมน์ของMn มี eigenvectors ของยูทาห์n. บทแทรก 2.3 n สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก UnHn = HnDn. หลักฐาน เห็นได้ชัดว่า UnHn = (AIJ) และ HnDn = (bij) เป็นรูปสามเหลี่ยมบน 1? ฉัน? เจ? n เราจะเห็นว่าAIJ = ญk = ฉัน(-1) ฉัน-1? k - 1 ฉัน - 1 (-1) k + เจ? ญ - 1 k - 1 2k-1 = (-1) i + 1 J-1 k = ฉัน-1 (-1) k + J-1? k ฉัน - 1 เจ - 1 k 2k = (-1) i + 2j-1? ญ - 1 ฉัน - 1 2i-1 = bij, ที่เราใช้ตัวตนn k = เมตร(-1) + n k? n k? k ม2k-m =? n เมตร, ซึ่งสามารถพบได้ในหน้า 32 [3]. คอลัมน์ของ Hn ผลผลิตฐานที่แตกต่างกันสำหรับ eigenspaces ของอูกว่าที่ได้รับในทฤษฎีบท2.2 ให้ Vn1 = {vnk: k เป็นเลขคี่และ Vn2} = {vnk: k คือแม้} ที่. vnk เป็นคอลัมน์ KTH ของเอ็นเอชเอ Ashrafi, PM กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286 281 ทฤษฎีบท 2.4 ชุด Vn1 เป็นพื้นฐานสำหรับการ eigenspace ของอูสอดคล้องกับที่eigenvalue 1 และ Vn2 เป็นพื้นฐานสำหรับการ eigenspace ของอูสอดคล้องกับที่eigenvalue -1. หลักฐาน บทแทรก 2.3 แสดงให้เห็นว่า vnk เป็นวิคเตอร์ของอูสอดคล้องกับeigenvalue (-1) k-1 นอกจากนี้ Vn1 Vn2 และเป็นชุดที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรง. ตอนนี้เราพิจารณา eigenvectors ของยูทาห์n ให้ Wn1 = {wnk: k เป็นเลขคี่และ Wn2} = {wnk: k คือแม้} ที่ wnk เป็นคอลัมน์ KTH ของ Mn กําหนดการฝึกอบรมในแนวทแยงQn และ Rn ของ n เพื่อโดยให้ Qn = (2i-1δij) และ Rn = (2n ฉันδij). บทแทรก 2.5 n สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก Mn = 2n-1 (HT n) -1. หลักฐาน เราจะเห็นว่า Hn = QnUnDn และแมงกานีส RnUT = n Dn ดังนั้นการใช้ D2 n = I = U2 n มันตามที่MnHT n = (RnUT n Dn) (DnUT n Qn) = RnQn = 2n-1I, และทำให้ Mn = 2n-1 (HT n) -1. บทแทรก 2.6 . n สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก UT n = Mn MnDn. หลักฐาน ใช้บทแทรก 2.3 เราจะเห็นว่ายูทาห์n (HT n) -1 = ((UnHn) T) -1 = ((HnDn) T) -1 = (HT n) -1Dn, และมันดังมาจากบทแทรก 2.5 ที่ยูทาห์n Mn = MnDn. ทฤษฎีบท 2.7 Wn1 ชุดเป็นพื้นฐานสำหรับการ eigenspace ของยูทาห์ที่n ที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะ1 และ Wn2 เป็นพื้นฐานสำหรับการ eigenspace ของยูทาห์n สอดคล้องกับeigenvalue -1. หลักฐาน บทแทรก 2.6 แสดงให้เห็นว่า wnk เป็นวิคเตอร์ยูทาห์ของn ที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะ(-1) k-1 นอกจากนี้ Wn1 Wn2 และมีความเป็นอิสระเป็นเส้นตรง. 3 ลักษณะของสหประชาชาติให้ Kn = (กิจ) เป็น (0,1) -matrix ของการสั่งซื้อที่มีกิจ n = 1 ถ้าหากเจ = i + 1, และให้ Gn = (gij) = ไม่ + (KT n อู - Un) Kn คำนวณง่ายแสดงให้เห็นว่า Gn เป็น (0,1) -matrix กับ gij = 1 ถ้าหากเจ i = = 1 ดังนั้น Gn เป็นสมมาตรเมทริกซ์ เราจะแสดงให้เห็นว่าสัดส่วนดังกล่าวและทรัพย์สินที่แต่ละหลักชั้นนำsubmatrix เป็น involutory ลักษณะ± Un สำหรับ n 4. lemmas ต่อไปนี้จะใช้. 282 A. Ashrafi, PM กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286 บทแทรก 3.1 ให้ x = (xij) เป็นเมทริกซ์ involutory 2 ของคำสั่งดังกล่าวว่า x11 = 1 X + (KT 2 X - X) K2 เป็นสมมาตรและ X / = U2 แล้วx = 1 0 -1 -1. หลักฐาน เราจะเห็นว่าX + (KT 2 X - X) K2 = 1 x12 - 1 x21 1 - x22 x21+. ตั้งแต่เมทริกซ์นี้เป็นสมมาตรและ X2 = ฉันมันตามที่x = 1 x12 x12 - 1 -1, ที่ x12 = 1 หรือ x12 = 0 บทแทรก 3.2 ให้ X เป็นเมทริกซ์ของ 3 n การสั่งซื้อและให้ Y เป็นหลักชั้นนำsubmatrix ของ X ของคำสั่ง n - 1 ถ้า X + (KT n X - X) Kn สมมาตรแล้ว Y + (KT n-1Y - Y) Kn -1 สมมาตร. หลักฐาน Partition Kn และ X เป็นKn = Kn-1 L 00?, X = YC d R?. เราจะเห็นว่าX + (KT n X - X) Kn = Y + (KT n-1Y - Y) Kn-1 C + (KT n-1Y - Y) L R + (LTY - R) Kn-1 + d (LTY - R) L. บทแทรก 3.3 ให้ x = (xij) เป็นเมทริกซ์ของคำสั่งดังกล่าวที่ 3 แต่ละหลักนำsubmatrix ของ X คือ involutory, x11 = 1 X + (KT 3 X - X) K3 เป็นสมมาตรและX / U3 = แล้วx =  100 -1 -1 -2 001 . หลักฐาน มันดังมาจาก lemmas 3.1 และ 3.2 ที่ X = X1 หรือ X = X2 ที่X1 =  1 x13 1 0 -1 x23 x31 x32 x33 , X2 =  1 0 x13 -1 -1 x23 x31 x32 x33  . ในทั้งสองกรณีตั้งแต่ X2 = ฉันเราจะเห็นว่าทั้ง x13 x23 = = 0 หรือ x31 x32 = = 0 ครั้งแรกคิดว่าX = X1 จากนั้นตามที่ก Ashrafi, PM กิบสัน / พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 387 (2004) 277-286 283 g = X + (KT 3 X - X) K3 =  1 0 x13 - 1 0 0 + 2 x23 x31 x32 - x31 x33 - 1 - x32 . ตั้งแต่G เป็นสมมาตรถ้า x13 x23 = = 0 แล้ว X31 = -1 และ x32 = 1 แต่นี้จะบ่งบอกว่าX2 = / I ดังนั้นเราต้องมี x31 x32 = = 0 ดังนั้นตั้งแต่ G สมมาตรเราจะเห็นว่า x13 = 1 และ x23 = -2 ตอนนี้มันตามที่ X = U3 ดังนั้นเราคิดว่า X = X2 และมันตามที่ g = X + (KT 3 X - X) K3 =  1 -1 x13 -1 1 + 1 x23 x31 x32 - 1 - x31 x33 - 1 - x32  . ตั้งแต่ G เป็นสมมาตรถ้า x13 x23 = = 0 แล้ว X31 = 0 และ x32 = 2 แต่นี้จะบ่งบอกว่าX2 = / I ดังนั้นเราต้องมี x31 x32 = = 0 ดังนั้นตั้งแต่ G สมมาตรเราจะเห็นว่า x13 = 0 และ x23 = -2 ตอนนี้มันตามที่X =  100 -1 -1 -2 001 . บทแทรก 3.4 ให้ x = (xij) เป็นเมทริกซ์ของคำสั่งดังกล่าวที่ 4 แต่ละหลักชั้นนำsubmatrix ของ X คือ involutory, x11 = 1 และ X + (KT 4 X - X) K4 สมมาตร แล้วx = U4. หลักฐาน มันดังมาจาก lemmas 3.2 และ 3.3 ที่ X = X1 หรือ X = X2 ที่X1 =  100 x14 -1 -1 -2 x24 001 x34 x41 X42 X43 X44 , X2 =  111 x14 0 -1 -2 x24 001 x34 x41 X42 X43 X44 . ในทั้งสองกรณีตั้งแต่ X2 = ฉันเราจะเห็นว่าทั้ง x14 x24 = = = x34 หรือ x41 0 = = X42 X43 = 0 ครั้งแรกคิดว่า X = X1

































































































































































































































































ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ 387 ( 2004 ) 277 – 286
www.elsevier . com / ค้นหา / การ involutory ปาสกาล เมทริกซ์และ

ashkan ashrafi , ปีเตอร์เอ็ม. กิบสัน B , ∗
adepartment ของวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยอลาบามากรุณา
Huntsville อัล 35899 USA
bdepartment วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัย อลาบามาใน Huntsville , 204 เมดิสันฮอลล์
Huntsville อัล 35899 USA
ได้รับ 21 ตุลาคม 2003 ; ยอมรับ 17 กุมภาพันธ์ 2547
ส่งโดย r.a. brualdi

เป็นนามธรรม involutory บนสามเหลี่ยมปาสกาล เมทริกซ์ และถูกสอบสวน เสนอให้สหประชาชาติและ

n ของยูทาห์เป็นสำคัญ ลักษณะเฉพาะของยูเอ็นได้ และพบว่าผล
สามารถขยายไปยังเมทริกซ์ไปที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนแหวนด้วยความสามัคคี .
สงวนลิขสิทธิ์ 2004 Elsevier Inc . All Rights Reserved .
คำสำคัญ :ปาสกาล เมทริกซ์ เมทริกซ์เมทริกซ์เสนอ ; involutory ; ; กว่าแหวน
1 บทนำ
ให้อุน = ( uij ) เป็นตัวจริงบนเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมเพื่อ n ด้วย
uij = ( − 1 )


J ผม− 1
− 1 − 1


ผม 1
ผม
J .

ตัวอย่างเช่น u5 =







 11 1 1 1
0 − 1 − 2 − 3 − 4
00
00 0 1 3 6 1 −− 4
00

0 0 1 




.

∗สอดคล้องกัน ผู้เขียน อีเมล : [e-mail] ( น.กิ๊บสัน ) .
0024-3795 / $ - ดูเรื่องหน้า
2004 Elsevier Inc . All Rights Reserved .
ดอย : 10.1016 / j.laa . 2004.02.027
0 A ashrafi ( Gibson , พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ / 387 ( 2004 ) และปาสกาล เมทริกซ์ 277 286
เช่นที่พบในหนังสือโดยไคลน์ [ 2 ] นอกจากนี้ โปรแกรม MATLAB
สั่งปาสคาล ( n , 1 ) ผลผลิตเมตริกซ์สามเหลี่ยมล่าง UT
n .
ไคลน์กล่าวว่า u n − 1 = a ( นั่นคือUN involutory ) ในความเป็นจริงค่อนข้าง
ทั่วไปมากขึ้น ผลจะเป็นอย่างไร ให้ p และ q เป็นจำนวนเต็ม 1
P
Q
. ใช้

δ NK เอกลักษณ์ = N
J
= K ( − 1 )



J K N
J

J
k

,
ซึ่งสามารถพบได้บนหน้า 44 [ 3 ] มันคือ ไม่ยากที่จะเห็นครูใหญ่
submatrix ของสหประชาชาติที่อยู่ในแถวและคอลัมน์ P , P 1 , . . . , Q เป็น involutory .
เมทริกซ์และเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับอีกสอง " ปาสกาล เมทริกซ์ "ขอ PN = ( pij )
เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมล่างเพื่อ n ด้วย
pij =

J
ผม
− 1 − 1

1
ผม
J
N ,
ให้ Sn = ( sij ) เป็นเมทริกซ์สมมาตรเพื่อ n ด้วย
sij =


เจเจ −− 2
1

สำหรับฉัน , j = 1 , 2 , . . . . . . . . N .

n = ut อย่างชัดเจน PN DN สำหรับ n × n เมทริกซ์ทแยงมุม DN = ( − 1 ) − 1 δ ij ) ดังนั้น ดังนี้
จากการแยกตัวประกอบเฉพาะด้านทาง Sn = pnpt
n ( brawer pirovino
และ[ 1 ] ที่ Sn = ( UT
n DN ( UT )
( DN ) T = UT
n ยูเอ็น ดังนั้น involutory เมทริกซ์ UT
n a
สามารถใช้เพื่อขอรับการลู่ตัวประกอบสำหรับ SN .
คุณสมบัติอื่น ๆของสหประชาชาติ ได้ศึกษาในกระดาษนี้ เสนอให้สหประชาชาติและ

( แต่ถือว่าเป็นในส่วนที่ 2 ลักษณะเฉพาะของสหประชาชาติเสนอต่อไปแล้ว
เป็นอย่างไรผลลัพธ์สามารถขยายไปยังเมทริกซ์ไปที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนแหวนกับ
เอกภาพ .
2เสนอ
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสหประชาชาติคล้ายกับ DN เมทริกซ์ทแยงมุม = ( − 1 ) − 1 δ ij ) เรา
ตอนนี้พิจารณาเสนอของสหประชาชาติ สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก k ให้

 XK =












k
0





K − 1

.
.
.
( − 1 ) K − 1

K
K − 1 












.
พ 2.1 . สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก k , XK เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ UK ที่สอดคล้องกับค่า
( − 1 ) K − 1
aashrafi ( Gibson , พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ / 387 ( 2004 ) 277 – 286 279
พิสูจน์ ตั้งแต่ 1 =



UK UK XK
0 K ( − 1 )



 , เรามี U2
k = 1 =


ผม ukxk ( − 1 ) kxk
0
1  จึง ukxk = ( − 1 ) K − 1xk .
สำหรับจำนวนเต็ม 1
K
เรากำหนดเวกเตอร์ ynk ∈ RN โดยให้ ynk =




 XK
0
.
ให้ yn1 = { : K ynk เป็นคี่ ) และ yn2 = { : K ynk แม้ } .
ทฤษฎีบท 2.2 .ชุด yn1 เป็นพื้นฐานสำหรับ eigenspace ของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับค่า
1 และ yn2 เป็นพื้นฐานสำหรับ eigenspace ของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับค่า− 1 ( เมื่อ n
2 )
พิสูจน์ พ 2.1 หมายความว่า ynn = คริสเตียนเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับค่า
( − 1 ) n − 1 ให้ 1
K < N เป็นพาร์ทิชันและสหประชาชาติ =




 UK
0 B
.
โดยใช้บทตั้ง 2.1 เราจะเห็นว่า unynk =




 UK
0 B
XK
0

=


K − ( − 1 ) 1xk
0

= ( − 1 , − 1ynk )
.
เพราะ ตัวละ 1
K
N , ynk เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของสหประชาชาติที่สอดคล้องกับค่า
( − 1 ) K − 1 นอกจากนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า yn1 yn2 เป็นเส้นตรงและชุดอิสระ
.
ให้ HN = ( เขา ) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเขาด้วย
= ( − 1 )
.


J
ผม− 1 − 1

2i − 1 สำหรับ 1
ผม
J
n
และปล่อยให้ MN = ( ฉัน ) เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างด้วย
=

ฉันก็ได้
−− 1
1

;2n − 1
J J
ผม
N .
280 . ashrafi ( Gibson , พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ / 387 ( 2004 ) 277 – 286
ตัวอย่างเช่น
=
 H6







 1 −−− 1 1 1 1 1
0 2 4 6 8 10 −−−− 4
00
12 24 40 00 0 8 − 32 80
0 0 0 0 16 − 80
0 0 0 0 0  32











 M6 =






 32 0 0 0 0 0
16 16 0 0 0 0
8 16 8 0 0 0
4 12 12 4 0 0
2 8 12 8 2 0
1 5 10 10 5 1




