2. The Fermat-Euler theoremLet us b

2. The Fermat-Euler theorem
Let us begin with Fermat's 'Little Theorem', which was given in a letter
dated 18 October 1640 and states that, for a prime /?, the congruence aF = a
(mod/?) is satisfied by every a. This was generalised by Euler in 1760 to the
famous Fermat-Euler theorem
a*m) = 1 (modm),
where (p (m) counts the numbers up to m which are coprime with m, and the
congruence is satisfied by every such number a; this important result forces
us to consider the multiplicative group of integers modulo m, and indeed
marks the beginning of group theory. Fermât discovered his theorem from
'additive' considerations involving the binomial expansion. More
specifically, all the binomial coeffcients in the expansion
(a + If = d + 1 + X (íV~* 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2.ทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มาเราเริ่มต้น ด้วยของแฟร์มา 'ทฤษฎีบทเล็ก' ซึ่งถูกกำหนดในจดหมายวันที่ 18 เดือน 1640 ตุลาคม และระบุว่า สำหรับเป็นนายก / ?, ลงตัว aF =การ(mod / ?) ความพึงพอใจโดยทุก นี้มี generalised โดยออยเลอร์ใน 1760 เพื่อทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มามีชื่อเสียงเป็น * m) = 1 (modm),ที่ (p (m) นับเลขได้ถึง m ที่มี coprime เมตร และลงตัวคือพอใจตามหมายเลขดังกล่าวทุก ผลลัพธ์สำคัญนี้บังคับเราต้องพิจารณากลุ่มเชิงการคูณจำนวนเต็ม modulo m และแน่นอนทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีบทของเขาจากการค้นพบ Fermât'สามารถ' พิจารณาที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวทวินาม เพิ่มเติมโดยเฉพาะ ทั้งหมดทวินาม coeffcients ในการขยายตัว(เป็น + ถ้า = 1 d + X (íV ~ * 1 < *คือผลคูณของ / หรือไม่ และผลจำเป็นดังต่อไปนี้ โดยการเหนี่ยวนำใน n. นี้อาร์กิวเมนต์ถูกนำเสนอ โดยออยเลอร์ใน 1742 มันสามารถยังสามารถสร้างโดยใช้'ก็ตามสูตร' เป็น Leibniz (1646-1716) ไม่ Fermât แม้จะโปรดทราบว่า ผลลัพธ์เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้ที่เรียกว่าเป็นโรงแรมของลากรองจ์ทฤษฎีบท คือว่าสั่งของกลุ่มหลายลำดับใด ๆกลุ่มย่อย การที่ให้ นายกกับ p ถ้าเราแบ่งตัวเลข a, a2, ...โดย p remainders ต้องทำซ้ำตัวเอง นำบวกน้อยที่สุดn ให้การ = 1 (mod / ?) ดังนั้น p - สอนลงตัว 1modulo p ตกเป็นตัวตั้งแต่ละที่มีองค์ประกอบ n, n ต้องแบ่งที่/7-1. This is the multiplicative proof obtained by Euler around 1750, andhe says that it is the better one since the argument easily generalises to theFermat-Euler theorem. Elementary number theory texts give the followingsimpler proof: Let h = 0 (m), and take a reduced residue system b, b2, • • •»bh modulo m, that is a collection of h incongruent numbers coprime with m.If a is coprime with m then abu ab2, ... , abh also form such a system, andtherefore abab2... abh = b2... bh (modm). Cancellation of the commonfactor b2... bh then delivers the required result ah = 1 (modm). This

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์-ออยเลอร์
ให้เราเริ่มต้นด้วยของแฟร์มาต์ 'ลิตเติ้ลทฤษฎีบท' ซึ่งได้รับในจดหมาย
ลงวันที่ 18 ตุลาคม 1640 และกล่าวว่าสำหรับการที่สำคัญ / ?, สอดคล้อง AF =
(สมัย /?) เป็นที่พอใจโดย ทุก นี้ได้ทั่วไปโดยออยเลอร์ใน 1760 ที่จะ
มีชื่อเสียงทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ออยเลอร์-
ม. *) = 1 (modm)
ที่ (พี (เมตร) นับจำนวนได้ถึงม. ซึ่งมี coprime กับม. และ
ความสอดคล้องกันเป็นที่พอใจด้วยเช่นทุก จำนวน; ผลที่สำคัญนี้บังคับให้
เราต้องพิจารณากลุ่มคูณของจำนวนเต็มแบบโมดูโลเมตรและแน่นอน
. จุดเริ่มต้นของทฤษฎีกลุ่มแฟร์มาต์ค้นพบทฤษฎีบทของเขาจาก
การพิจารณา 'เติม' ที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวที่สองชื่ออื่น ๆ .
โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุก coeffcients ทวินามใน การขยายตัว
(+ ถ้า = d + 1 + X (IV ~ * 1 <*เป็นทวีคูณของ / ?, และผลที่จำเป็นดังต่อไปนี้โดยการเหนี่ยวนำใน n นี้
อาร์กิวเมนต์ถูกนำเสนอโดยออยเลอร์ใน 1742; ก็ยังสามารถที่จะจัดตั้งขึ้นโดยใช้
สูตรพหุนามตามที่ไลบ์นิซ (1646-1716) ได้ แม้แฟร์มาต์จะ
ทราบว่าผลจะเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันในขณะนี้เป็นลากรองจ์
ทฤษฎีบทคือว่าคำสั่งของกลุ่มเป็นหลายของการสั่งซื้อใด ๆ ของ
กลุ่มย่อย การที่จะเป็นนายกพีถ้าเราแบ่งตัวเลขผม, a2, ...
โดยพีเหลือต้องทำซ้ำตัวเองนำไปสู่การมีขนาดเล็กที่สุดในเชิงบวก
ดังกล่าวว่า n = 1 (สมัย /?) ดังนั้นพี - 1 เรียนสอดคล้องกัน
แบบโมดูโลพีตกอยู่ในชุดเคลื่อนแต่ละคนมีองค์ประกอบ n ดังนั้น n ที่จะต้องแบ่ง
/ 7-1 นี่คือหลักฐานที่ได้จากการคูณออยเลอร์รอบ 1750 และ
เขาบอกว่ามันเป็นหนึ่งในที่ดีขึ้นตั้งแต่โต้แย้งได้อย่างง่ายดายเพื่อ generalises
ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์-ออยเลอร์ ตำราทฤษฎีจำนวนประถมศึกษาดังต่อไปนี้ให้
หลักฐานที่เรียบง่าย: Let ชั่วโมง = 0 (เมตร) และใช้ระบบสารตกค้างลดลงข , B2, •••»
BH โมดูโลเมตรที่เป็นคอลเลกชันของตัวเลขชั่วโมง coprime สอดคล้องกันกับม.
ถ้า เป็น coprime กับม. แล้ว abu AB2, ... , ABH ยังเป็นระบบดังกล่าวและ
ดังนั้นจึง AB AB2 ... ABH b = b2 ... BH (modm) ยกเลิกการร่วมกัน
ปัจจัยข b2 ... BH แล้วส่งผลต้องอา = 1 (modm) นี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . แฟร์มาต์ทฤษฎีบท
) ที่ให้เราเริ่มต้นด้วยของแฟร์มาต์ทฤษฎีบทเล็ก ' ' ซึ่งถูกระบุในจดหมายลงวันที่ 18 ตุลาคม
2183 และระบุว่า เป็นนายกรัฐมนตรี / ? ความสอดคล้อง , AF =
( mod / ? ) พอ โดยทุก . นี้เป็นสรุปโดยออยเลอร์ใน 1760 ต่อ

) ที่มีชื่อเสียงของแฟร์มาต์ทฤษฎีบท * m ) = 1 ( modm )
ที่ไหน ( P ( M ) นับเลขถึง M ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ M ,
ความสอดคล้องกันเป็นพอ โดยทุก ๆเช่นหมายเลขนี้สำคัญผลบังคับ
เราพิจารณากลุ่มการคูณจำนวนเต็มมอดุโล m , และแน่นอน
จุดเริ่มต้นของทฤษฎีกลุ่ม เฟิร์มâ T ค้นพบทฤษฎีบทของเขาจาก
'additive ' พิจารณาที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวแบบ . เพิ่มเติม
โดยเฉพาะ ทั้งแบบ coeffcients ในการขยายตัว
( ถ้า = 1 X ( D í v ~ * < * < P W
1มีหลาย ๆ / ? และต้องนำผลที่ได้ ตามด้วยอาร์กิวเมนต์นี้
ถูกเสนอโดยออยเลอร์ใน 1075 ; มันยังสามารถสร้างโดยใช้
' สูตร ' โดยตามที่ไลบ์นิซ ( 1646-1716 ) ทำ แม้มีâ T
จะทราบว่าผลที่ได้คือที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เป็น ตอนนี้ เรียกว่าทฤษฎีบทของลากรองจ์
คือว่า คำสั่งของกลุ่มเป็นหลาย ๆคำสั่งของ
กลุ่มย่อยการจะเป็นนายกต่อ ถ้าเราแบ่งตัวเลข , A2 , . . . . . . .
p เหลือต้องย้ำตัวเอง นำไปสู่
บวกเล็กๆ เช่นว่า n = 1 ( mod / ? ) จากนั้น P - 1 ความสอดคล้องเรียน
มอดุโล p ตกอยู่ในการดื่มเหล้ามากเกินไปละธาตุ n แล้วว่าต้องแบ่ง
/ 7-1 . นี่คือวิธีพิสูจน์ได้โดยออยเลอร์รอบ 1750 และ
เขากล่าวว่ามันเป็นดีกว่าหนึ่งเนื่องจากข้อโต้แย้งได้อย่างง่ายดาย generalises กับ
ทฤษฎีบทแฟร์มาต์ออยเลอร์ . ระดับประถมศึกษา จำนวนข้อความทฤษฎีให้หลักฐานที่เรียบง่ายดังต่อไปนี้
: ให้ h = 0 ( M ) และใช้ระบบลดสารตกค้าง B , B2 , - -
•» BH มอดุโล m ที่เป็นคอลเลกชันของตัวเลขจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ H ซึ่งไม่ลงรอยกัน M .
ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ M แล้ว อาบู ab2 , . . . abh , ยังฟอร์มระบบดังกล่าวและ