Kuratowski's TheoremA necessary and

Kuratowski's Theorem


A necessary and sufficient condition for planarity of a graph.



Our presentation is adapted from Section 7.2 of Douglas B. West's 1996 textbook, Introduction to Graph Theory.

A planar graph is one which has a drawing in the plane without edge crossings. (Of course, we also require that the only vertices that lie on any given edge are its endpoints.) Any drawing of a planar graph that satisfies this condition is called a plane drawing of the graph.

A plane drawing divides the plane into disjoint connected regions, also called faces of the graph, so that every point in the plane that is not an element of the graph lies in just one of these regions. Exactly one region is unbounded, also called the outer face, and the others are bounded by cycles in the graph. In particular, every edge in a plane drawing of a planar graph either bounds the outer face, or bounds exactly two inner faces. It turns out that in this latter case, we can always redraw the graph so that a given edge bounds the outer face.


Lemma 1. If G is a planar graph and e is an edge in G, then there is a plane drawing of G in which e bounds the outer face.

Proof. Consider any plane drawing of G. Stereographically project the drawing onto a sphere tangent to the plane that contains this drawing (see this page to find out what stereographic projection is). This drawing on the sphere also has no edge crossings and divides the surface of the sphere into disjoint connected regions (all of which are bounded!). Pick a point p in some region of the sphere whose boundary contains the image of e and consider the plane tangent to the sphere at the point opposite to p. Now stereographically project the drawing of G on the sphere onto this new plane. Since p is the pole of this projection, the region on the sphere containing p is projected onto the unbounded region in the plane, so this new plane drawing of G has e on the outer face. //


To begin the analysis of planarity of graphs, we note first that the two special graphs K5 and K3,3 are nonplanar. Surprisingly, they are fundamental in determining the planarity of any graph.


Lemma 2. K5 and K3,3 are nonplanar graphs.

Proof. (This is the argument given as Theorem 12.1 in Wilson's Introduction to Graph Theory, 4th ed.) For K5: Label the vertices v, w, x, y, z. The graph contains the cycle vwxyzv and any plane drawing of K5 must display the cycle in the form of a pentagon. The edge zw either lies inside or outside the pentagon. If zw lies inside the pentagon, then the edges vx and vy must lie outside the pentagon else they would cross zw. Consequently, xz must lie inside the pentagon else it would cross vy. But now there is no way to draw edge wy without forcing a crossing. If zw lies outside the pentagon, then the edges vx and vy must lie inside, and so xz must lie outside, forcing the edge wy into a crossing. Thus, K5 is nonplanar.







For K3,3: label the vertices of one side of the bipartition u, w, y, and those of the other side v, x, z. Then the graph contains the cycle uvwxyzu. So any plane drawing of K3,3 must display the cycle in the form of a hexagon. The edge zw either lies inside or outside the hexagon. If zw lies inside the hexagon, then the edge ux must lie outside to avoid a crossing with zw. But then there is no way to draw vy without forcing a crossing. If zw lies outside the hexagon, then the edge ux must lie inside to avoid a crossing with zw and there is again no way to draw vy without forcing a crossing. Thus, K3,3 is nonplanar. //


It is now clear that if G is a planar graph, it cannot contain a subgraph isomorphic to either K5 or K3,3, else a plane drawing of G would contain inside it a plane drawing of either K5 or K3,3. But there are many graphs that do not contain either of these graphs and still are nonplanar. Consider for instance the graph pictured below.



These can be handled by means of a particularly useful process: if H is a graph and e is an edge in H, the contraction of H by e is the graph we denote H e, obtained by removing e from H and fusing its endpoints together (maintaining all the edges incident with these vertices). (See pp. 13-14 of Wilson.) As a result, H e has order one less and size one less than H. Note that if e lies in a triangle in H, then the other two edges of the triangle become repeated edges in H e. That is, H e is not a simple graph. However, if e does not lie in a triangle, H e is simple. Most importantly, however, is the following simple result:


Lemma 3. If H is a planar graph, then so is any graph (simple or not) obtained from H by contracting an edge. //


So any graph that is contractible to either K5 or K3,3--that is, can be reduced to one of these two graphs by a sequence of edge contractions--is also nonplanar. (The graph pictured here above is easily seen to be contractible to K5.) We call such a graph a Kuratowski graph.

We may now state


Kuratowski's Theorem. The graph G is planar if and only if it does not contain a Kuratowski subgraph.
Of course, we have just proved that possession of a Kuratowski subgraph is a necessary condition that a graph be planar. Unfortunately, this is the easy half of the proof of the theorem! The proof of sufficiency is much more involved.

We will proceed by contradiction: suppose there is some graph that contains no Kuratowski subgraph, yet is nonplanar. Then, of all such graphs, there must be one of minimal size; call it G. We continue by considering the connectivity k(G) of the graph (the smallest number of vertices whose removal from G disconnects G).

If k(G) = 0, then G is disconnected, and since G is nonplanar, at least one of its components must be nonplanar. But then any of its nonplanar components contains no subgraph isomorphic to either K5 or K3,3 and is of smaller size than G, violating the minimality condition. Thus, k(G) > 0 and G must be connected.

If k(G) = 1, then G has a cut-vertex v; that is, G - v breaks up into k components. Let G1, G2, ... , Gk be the corresponding subgraphs of G formed from these components by adding v and all the edges of G incident with v whose other endpoint lies within that component. Since each Gi is of smaller size than G, they are planar graphs. So there are plane drawings of each Gi, and by applying Lemma 1 to each Gi with respect to some edge in Gi incident with v, we can arrange that these plane drawings all have v on the outer face. In fact, we can easily force each plane drawing to lie entirely within an angle of measure 360/k degrees with v at the vertex of the angle. These plane drawings can now be arranged around v in consecutive sectors of measure 360/k degrees each to obtain a plane drawing of G, contradiction. Thus, k(G) > 1.

If k(G) = 2, then it contains a vertex cutset consisting of 2 vertices: S = {u, v}. Thus, G - S breaks up into components. Let G1 be the graph formed from one of these components by adding to it the vertices uand v, all the edges of G incident with either u or v whose other endpoint lies within that component, and the edge uv (even if uv is not an edge in G). Let G2 be the graph formed from the other components of G - S by adding the vertices uand v, all the edges of G incident with either u or v whose other endpoint lies within any of the these components, and the edge uv. Since G1 and G2 are of smaller size than G, they are planar graphs. So there are plane drawings of each, and by applying Lemma 1, we can arrange that both of these plane drawings have uv on the outer face. We can now "glue" the two drawings together along the edge uv to obtain a plane drawing of G (by deleting uv if it does not belong to G), a contradiction. Thus, k(G) > 2. That is, G is 3-connected.

Since G is 3-connected, it must contain more than 3 vertices. But the only 3-connected graph of order 4 is K4, which is planar. So G must have order at least 5. Also, since G is 3-connected, the minimum degree in G is at least 3 (the neighbors of any vertex of degree less than 2 would form a separating set with fewer than 3 vertices).


Lemma 4. A 3-connected graph must contain an edge whose contraction produces a 3-connected graph.

Proof. Suppose not. Then there is some 3-connected graph H so that no contraction of it is also 3-connected. Let e be some edge in H. To say that H e is not 3-connected means that it contains a separating set with fewer than 3 vertices. This separating set must contain the vertex a obtained by fusing the endpoints x and y of e; otherwise it would contain no vertex incident with e in H and this same set of vertices would be a separating set in H, contradicting that H is 3-connected. In fact, any separating set in H e must contain a and some other vertex z, else {x, y} would be a separating set in H, contradicting again that H is 3-connected. Therefore, {x, y, z} is a separating set in H. Since z need not be the only vertex in H e which forms a separating set with a, let us settle on a choice of e and z so that the resulting separating set {x, y, z} in H is one whose removal from H leaves a component K of maximal order, and let L denote some component different from K in this graph.

If z had no neighbor in L, then L could be separated from the rest of H simply by removing x and y, violating once again the 3-connectedness of H. So z must have a neighbor in L which we will call u; similarly, it has a neighbor in K. The same argument shows that both x and y must have neighbors in K and neighbors in L.



H












Applying the same argument to the edge zu that we used on e above, we must be able to find another vertex v in H so that {z, u, v} forms a separating set in H.

If K´ is the connected subgraph of H obtained by adding to K the vertices x and y together with any edges connecting these two vertices to each other or any vertex in K, then consider the question of whethe

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของ Kuratowskiจำเป็น และเพียงพอเงื่อนไขสำหรับ planarity ของกราฟ งานนำเสนอของเราเป็นการดัดแปลงจาก 7.2 ส่วนของ West ดักลาส B. 1996 หนังสือ ทฤษฎีกราฟเบื้องต้นกราฟเชิงระนาบเป็นหนึ่งที่มีรูปวาดเครื่องบินโดยไม่ข้ามขอบ (แน่นอน เรายังต้องจุดยอดเท่านั้นที่อยู่บนขอบใด ๆ กำหนดปลายทางของ) รูปวาดใด ๆ ของกราฟเชิงระนาบที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะเรียกว่าเครื่องบินเป็นรูปวาดของกราฟรูปวาดเครื่องบินแบ่งเครื่องบินออกเป็นภูมิภาคเชื่อมต่อตัว เรียกว่าใบหน้าของกราฟ เพื่อให้ทุกจุดในระนาบที่ไม่ใช่องค์ประกอบของกราฟอยู่ในหนึ่งภูมิภาคเหล่านี้ เป็นภูมิภาคหนึ่งงที่ เรียกว่าหน้าด้านนอก และคนอื่น ๆ ล้อมรอบ ด้วยวงจรในกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขอบทุกในรูปวาดของกราฟเชิงระนาบทั้งเครื่องบิน bounds หน้านอก หรือใบหน้าภายในขอบเขตสอง มันจะออกให้ในกรณีหลังนี้ เราสามารถเสมอออกใหม่กราฟเพื่อให้ขอบกำหนด bounds หน้านอก จับมือ 1 ถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบ และเป็นการขอบใน G แล้วมีรูปวาดของ G ในขอบเขตใดอีหน้าด้านนอกเครื่องบินหลักฐานการ พิจารณาระนาบใด ๆ รูปวาดของ G. Stereographically โครงการวาดบนแทนเจนต์ทรงกลมไปยังเครื่องบินที่ประกอบด้วยนี้วาดรูป (เห็นหน้านี้ไปหาฉายอะไรน้ำ) รูปนี้วาดในเรื่องยังมีหละหลวมไม่ขอบ และแบ่งพื้นผิวของทรงกลมพื้นที่เชื่อมต่อตัว (ที่อยู่ล้อมรอบ) เลือกจุด p ในบางภูมิภาคของทรงกลมที่มีขอบเขตประกอบด้วยรูปอี และพิจารณาแทนเจนต์บินเพื่อทรงกลมจุดตรงข้ามกับ p ตอนนี้ stereographically โครงการวาดของ G บนทรงกลมบนเครื่องบินใหม่นี้ เนื่องจาก p เป็นขั้วนี้ฉาย บริเวณทรงกลมที่ประกอบด้วย p เป็นคาดการณ์บนภูมิภาคงที่ในระนาบ เพื่อให้เครื่องบินใหม่นี้ที่รูปวาดของ G มีอีหน้าด้านนอก // การเริ่มต้นวิเคราะห์ planarity กราฟ เราทราบก่อนว่า กราฟพิเศษสอง K5 และ K3, 3 nonplanar น่าแปลกใจ พวกเขามีพื้นฐานในการกำหนด planarity ของกราฟใด ๆ จับมือ 2 K5 และ K3, 3 เป็นกราฟ nonplanarProof. (This is the argument given as Theorem 12.1 in Wilson's Introduction to Graph Theory, 4th ed.) For K5: Label the vertices v, w, x, y, z. The graph contains the cycle vwxyzv and any plane drawing of K5 must display the cycle in the form of a pentagon. The edge zw either lies inside or outside the pentagon. If zw lies inside the pentagon, then the edges vx and vy must lie outside the pentagon else they would cross zw. Consequently, xz must lie inside the pentagon else it would cross vy. But now there is no way to draw edge wy without forcing a crossing. If zw lies outside the pentagon, then the edges vx and vy must lie inside, and so xz must lie outside, forcing the edge wy into a crossing. Thus, K5 is nonplanar. For K3,3: label the vertices of one side of the bipartition u, w, y, and those of the other side v, x, z. Then the graph contains the cycle uvwxyzu. So any plane drawing of K3,3 must display the cycle in the form of a hexagon. The edge zw either lies inside or outside the hexagon. If zw lies inside the hexagon, then the edge ux must lie outside to avoid a crossing with zw. But then there is no way to draw vy without forcing a crossing. If zw lies outside the hexagon, then the edge ux must lie inside to avoid a crossing with zw and there is again no way to draw vy without forcing a crossing. Thus, K3,3 is nonplanar. // It is now clear that if G is a planar graph, it cannot contain a subgraph isomorphic to either K5 or K3,3, else a plane drawing of G would contain inside it a plane drawing of either K5 or K3,3. But there are many graphs that do not contain either of these graphs and still are nonplanar. Consider for instance the graph pictured below.These can be handled by means of a particularly useful process: if H is a graph and e is an edge in H, the contraction of H by e is the graph we denote H e, obtained by removing e from H and fusing its endpoints together (maintaining all the edges incident with these vertices). (See pp. 13-14 of Wilson.) As a result, H e has order one less and size one less than H. Note that if e lies in a triangle in H, then the other two edges of the triangle become repeated edges in H e. That is, H e is not a simple graph. However, if e does not lie in a triangle, H e is simple. Most importantly, however, is the following simple result: Lemma 3. If H is a planar graph, then so is any graph (simple or not) obtained from H by contracting an edge. // So any graph that is contractible to either K5 or K3,3--that is, can be reduced to one of these two graphs by a sequence of edge contractions--is also nonplanar. (The graph pictured here above is easily seen to be contractible to K5.) We call such a graph a Kuratowski graph.We may now state Kuratowski's Theorem. The graph G is planar if and only if it does not contain a Kuratowski subgraph.Of course, we have just proved that possession of a Kuratowski subgraph is a necessary condition that a graph be planar. Unfortunately, this is the easy half of the proof of the theorem! The proof of sufficiency is much more involved.

We will proceed by contradiction: suppose there is some graph that contains no Kuratowski subgraph, yet is nonplanar. Then, of all such graphs, there must be one of minimal size; call it G. We continue by considering the connectivity k(G) of the graph (the smallest number of vertices whose removal from G disconnects G).

If k(G) = 0, then G is disconnected, and since G is nonplanar, at least one of its components must be nonplanar. But then any of its nonplanar components contains no subgraph isomorphic to either K5 or K3,3 and is of smaller size than G, violating the minimality condition. Thus, k(G) > 0 and G must be connected.

If k(G) = 1, then G has a cut-vertex v; that is, G - v breaks up into k components. Let G1, G2, ... , Gk be the corresponding subgraphs of G formed from these components by adding v and all the edges of G incident with v whose other endpoint lies within that component. Since each Gi is of smaller size than G, they are planar graphs. So there are plane drawings of each Gi, and by applying Lemma 1 to each Gi with respect to some edge in Gi incident with v, we can arrange that these plane drawings all have v on the outer face. In fact, we can easily force each plane drawing to lie entirely within an angle of measure 360/k degrees with v at the vertex of the angle. These plane drawings can now be arranged around v in consecutive sectors of measure 360/k degrees each to obtain a plane drawing of G, contradiction. Thus, k(G) > 1.

If k(G) = 2, then it contains a vertex cutset consisting of 2 vertices: S = {u, v}. Thus, G - S breaks up into components. Let G1 be the graph formed from one of these components by adding to it the vertices uand v, all the edges of G incident with either u or v whose other endpoint lies within that component, and the edge uv (even if uv is not an edge in G). Let G2 be the graph formed from the other components of G - S by adding the vertices uand v, all the edges of G incident with either u or v whose other endpoint lies within any of the these components, and the edge uv. Since G1 and G2 are of smaller size than G, they are planar graphs. So there are plane drawings of each, and by applying Lemma 1, we can arrange that both of these plane drawings have uv on the outer face. We can now "glue" the two drawings together along the edge uv to obtain a plane drawing of G (by deleting uv if it does not belong to G), a contradiction. Thus, k(G) > 2. That is, G is 3-connected.

Since G is 3-connected, it must contain more than 3 vertices. But the only 3-connected graph of order 4 is K4, which is planar. So G must have order at least 5. Also, since G is 3-connected, the minimum degree in G is at least 3 (the neighbors of any vertex of degree less than 2 would form a separating set with fewer than 3 vertices).


Lemma 4. A 3-connected graph must contain an edge whose contraction produces a 3-connected graph.

Proof. Suppose not. Then there is some 3-connected graph H so that no contraction of it is also 3-connected. Let e be some edge in H. To say that H e is not 3-connected means that it contains a separating set with fewer than 3 vertices. This separating set must contain the vertex a obtained by fusing the endpoints x and y of e; otherwise it would contain no vertex incident with e in H and this same set of vertices would be a separating set in H, contradicting that H is 3-connected. In fact, any separating set in H e must contain a and some other vertex z, else {x, y} would be a separating set in H, contradicting again that H is 3-connected. Therefore, {x, y, z} is a separating set in H. Since z need not be the only vertex in H e which forms a separating set with a, let us settle on a choice of e and z so that the resulting separating set {x, y, z} in H is one whose removal from H leaves a component K of maximal order, and let L denote some component different from K in this graph.

If z had no neighbor in L, then L could be separated from the rest of H simply by removing x and y, violating once again the 3-connectedness of H. So z must have a neighbor in L which we will call u; similarly, it has a neighbor in K. The same argument shows that both x and y must have neighbors in K and neighbors in L.



H












Applying the same argument to the edge zu that we used on e above, we must be able to find another vertex v in H so that {z, u, v} forms a separating set in H.

If K´ is the connected subgraph of H obtained by adding to K the vertices x and y together with any edges connecting these two vertices to each other or any vertex in K, then consider the question of whethe

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทของ kuratowski


เป็นเงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอ planarity ของกราฟ



ของเรานำเสนอ มันดัดแปลงมาจากส่วนของ ดักลาส ข. ตะวันตกของ 1996 7.2 หนังสือเรียนทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

เป็นกราฟเชิงระนาบเป็นหนึ่งซึ่งมีภาพวาดบนเครื่องบินโดยไม่ต้องขอบวก . ( แน่นอน เรายังต้องการที่เฉพาะจุดที่วางอยู่บนขอบของใด ๆเป็นฐาน) วาดเป็นกราฟเชิงระนาบที่ satisfies เงื่อนไขนี้จะเรียกว่าเป็นเครื่องบินแบบของกราฟ

เครื่องบินแบบแบ่งเครื่องบินเป็นเชื่อมต่อยู่ภูมิภาคที่เรียกว่าใบหน้าของกราฟ เพื่อให้ทุกจุดในระนาบที่เป็นองค์ประกอบของกราฟอยู่ในหนึ่งในพื้นที่เหล่านี้ ตรงพื้นที่หนึ่งคือความที่เรียกว่าใบหน้าภายนอกและคนอื่นๆที่ถูกล้อมรอบด้วยวัฏจักรกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกภพในเครื่องบินแบบของกราฟเชิงระนาบให้ขอบเขตหน้านอก หรือขอบเขตว่าสองภายในหน้า ปรากฎว่าในคดีหลังนี้ เราสามารถวาดกราฟเพื่อให้ขอบขอบเขตหน้านอก


ฟาง 1 ถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบและ E เป็นขอบในกรัมแล้วมีเครื่องบินแบบ G ซึ่งใน E ขอบเขตหน้านอก

หลักฐาน พิจารณาแบบของเครื่องบินใด ๆ . stereographically โครงการวาดภาพลงบนทรงกลมสัมผัสเครื่องบินที่ประกอบด้วยรูปนี้ ( ดูที่หน้านี้เพื่อหาสิ่งที่สเตริโอกราฟิกฉาย )รูปวาดบนทรงกลมยังไม่มีการข้ามขอบและแบ่งพื้นผิวของทรงกลมเป็นไม่ต่อเนื่องที่เชื่อมต่อภูมิภาค ( ซึ่งทั้งหมดมีจำกัด ) เลือกจุด P ในบางภูมิภาคของทรงกลมที่มีขอบเขต มีภาพลักษณ์ของ E และพิจารณาแทนเจนต์ระนาบเพื่อทรงกลมที่จุดตรงข้ามกับหน้าตอนนี้ stereographically โครงการวาดภาพของ G บนทรงกลมบนเครื่องบินใหม่เมื่อ P คือขั้วของการฉายนี้ภูมิภาคบนทรงกลมที่มี P เป็นฉายบนพื้นที่ไม่จำกัดในเครื่องบิน ดังนั้นเครื่องบินใหม่แบบ G E บนใบหน้านอก / /


เพื่อเริ่มต้นการวิเคราะห์ planarity ของกราฟที่เราทราบก่อนว่าสองกราฟพิเศษและจะเสียใจ k3,3 nonplanar . จู่ ๆ พวกเขามีพื้นฐานในการกำหนด planarity ของกราฟ


พ 2 และเสียใจ k3,3 เป็นกราฟ nonplanar

หลักฐาน ( นี่คืออาร์กิวเมนต์ที่ระบุเป็นทฤษฎีบท 12.1 ในวิลสันทฤษฎีเบื้องต้น กราฟ 4 เอ็ด ) เสียใจ : ป้ายจุด V , W , X , Y , Z . กราฟที่มีวงจรและแบบของเครื่องบินใด ๆ vwxyzv เสียใจต้องแสดงวงจรในรูปแบบของเพนตาก้อน ขอบ ZW ไม่ว่าจะอยู่ภายในหรือภายนอกเพนตากอน ถ้า ZW อยู่ภายในเพนตากอนแล้วขอบ VX วีต้องนอนข้างนอก และเพนตากอน อื่นที่พวกเขาจะข้าม ZW . ดังนั้น ระนาบ ต้องนอนในเพนตาก้อน มิฉะนั้นก็จะข้าม U . แต่ตอนนี้ไม่มีวิธีการวาดขอบ WY โดยไม่บังคับให้ข้าม ถ้า ZW ตั้งอยู่นอกกระทรวงกลาโหม ก็ขอบคุณต้องโกหกและ VX ภายในและนอกระนาบ ต้องโกหก ให้ขอบ WY เป็นทางม้าลาย ดังนั้น เสียใจเป็น nonplanar .







สำหรับ k3,3 : ป้ายจุดจากด้านหนึ่งของ bipartition U , w , y , และในด้านอื่น ๆ V , X , Z แล้วกราฟที่มีวงจร uvwxyzu . ดังนั้นใด ๆของเครื่องบินแบบ k3,3 ต้องแสดงวงจรในรูปแบบของหกเหลี่ยม ขอบ ZW ไม่ว่าจะอยู่ภายในหรือภายนอกหกเหลี่ยม ถ้า ZW อยู่ในรูปหกเหลี่ยมแล้วขอบ ux ต้องนอนข้างนอกเพื่อหลีกเลี่ยงการข้ามกับ ZW .แต่ก็ไม่มีทางที่จะวาดวีโดยไม่บังคับให้ข้าม ถ้า ZW ตั้งอยู่นอกหกเหลี่ยมแล้วขอบ ux ต้องโกหกภายในเพื่อหลีกเลี่ยงการข้ามกับ ZW และมีอีกวิธีการวาดวีโดยไม่บังคับให้ข้าม ดังนั้น k3,3 เป็น nonplanar . / /


มันคือตอนนี้ชัดเจนว่าถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบ ไม่สามารถมี subgraph พวกเราหรอกหรือ k3,3 เสียใจ ,อีกเครื่องแบบของ G จะประกอบด้วยภายในเครื่องบิน วาดให้เสียใจหรือ k3,3 . แต่ก็มีหลายกราฟที่ไม่ได้มีอย่างใดอย่างหนึ่งของกราฟเหล่านี้ และยังเป็น nonplanar . พิจารณาตัวอย่างกราฟภาพด้านล่าง .



เหล่านี้สามารถจัดการได้โดยวิธีการของโดยเฉพาะอย่างยิ่งประโยชน์กระบวนการ : ถ้า H เป็นกราฟและ E เป็นขอบใน H , การหดตัวของ H E เป็นกราฟที่เราแสดง H E