Mathematical logic is a subfield of

Mathematical logic is a subfield of mathematics exploring the applications of formal logic to mathematics. It bears close connections to metamathematics, the foundations of mathematics, and theoretical computer science.[1] The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof systems.

Mathematical logic is often divided into the fields of set theory, model theory, recursion theory, and proof theory. These areas share basic results on logic, particularly first-order logic, and definability. In computer science (particularly in the ACM Classification) mathematical logic encompasses additional topics not detailed in this article; see Logic in computer science for those.

Since its inception, mathematical logic has both contributed to, and has been motivated by, the study of foundations of mathematics. This study began in the late 19th century with the development of axiomatic frameworks for geometry, arithmetic, and analysis. In the early 20th century it was shaped by David Hilbert's program to prove the consistency of foundational theories. Results of Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, and others provided partial resolution to the program, and clarified the issues involved in proving consistency. Work in set theory showed that almost all ordinary mathematics can be formalized in terms of sets, although there are some theorems that cannot be proven in common axiom systems for set theory. Contemporary work in the foundations of mathematics often focuses on establishing which parts of mathematics can be formalized in particular formal systems (as in reverse mathematics) rather than trying to find theories in which all of mathematics can be developed.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คณิตตรรกศาสตร์เป็นย่อยของคณิตศาสตร์ที่สำรวจใช้ตรรกะแบบทางคณิตศาสตร์ ปิดการเชื่อมต่อ metamathematics รากฐานคณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทฤษฎีหมีมัน [1] ชุดรวมกันในตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์มีการศึกษาของพลังแสดงออกทางระบบและพลังงาน deductive ของระบบเป็นหลักฐานคณิตตรรกศาสตร์มักได้ถูกแบ่งออกเป็นเขตของทฤษฎีเซต แบบจำลองทฤษฎี ทฤษฎีสอบ และพิสูจน์ทฤษฎี พื้นที่เหล่านี้แบ่งปันผลลัพธ์พื้นฐานบนตรรกะ ตรรกะลำดับแรกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง และ definability ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในประเภทพลอากาศ) ตรรกะคณิตศาสตร์ครอบคลุมหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่มีรายละเอียดในบทความนี้ ดูตรรกะในวิทยาการคอมพิวเตอร์สำหรับผู้ตั้งแต่ ตรรกคณิตศาสตร์มีทั้งส่วนการ และแรงจูงใจ โดย การศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษานี้เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษที่ 19 กับการพัฒนาของกรอบ axiomatic เรขาคณิต เลขคณิต และการวิเคราะห์ ในศตวรรษที่ 20 ต้น มันมีรูป โดยโปรแกรมของฮิลแบร์ท David พิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎี foundational ผลลัพธ์ของ Kurt Gödel, Gerhard Gentzen และอื่น ๆ ให้แก้ไขบางส่วนของโปรแกรม กขึ้ปัญหาที่เกี่ยวข้องในการพิสูจน์ความสอดคล้อง ทำงานในทฤษฎีเซตที่แสดงให้เห็นว่า สามารถจะ formalized คณิตศาสตร์ธรรมดาเกือบทั้งหมดในชุด แม้ว่าจะมีบางทฤษฎีที่ไม่สามารถพิสูจน์กันระบบสัจพจน์ของทฤษฎีเซต งานร่วมสมัยในรากฐานของวิชาคณิตศาสตร์มักจะเน้นในส่วนใดของคณิตศาสตร์เป็นระบบอย่างเป็นทางโดยเฉพาะทาง (เช่นในคณิตศาสตร์กลับ) แทนที่จะพยายามค้นหาทฤษฎีที่ทั้งหมดของวิชาคณิตศาสตร์สามารถพัฒนาสร้าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์การสำรวจการใช้งานอย่างเป็นทางการของตรรกะคณิตศาสตร์ หมีเชื่อมต่อใกล้กับ metamathematics, รากฐานของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทฤษฎี. [1] รวมรูปแบบในตรรกะทางคณิตศาสตร์รวมถึงการศึกษาของการแสดงพลังของระบบที่เป็นทางการและการใช้พลังงานของระบบการนิรนัยหลักฐานอย่างเป็นทางการ. ตรรกะคณิตศาสตร์มักจะแบ่งออก ลงไปในด้านของการตั้งทฤษฎี, ทฤษฎีแบบจำลองทฤษฎีการเรียกซ้ำและพิสูจน์ทฤษฎี พื้นที่เหล่านี้แบ่งปันผลในตรรกะพื้นฐานโดยเฉพาะอย่างยิ่งตรรกะลำดับแรกและ definability ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ (โดยเฉพาะในการจัดหมวดหมู่ ACM) ตรรกะทางคณิตศาสตร์ครอบคลุมหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่มีรายละเอียดในบทความนี้ เห็นลอจิกในวิทยาการคอมพิวเตอร์สำหรับผู้ที่. นับตั้งแต่ก่อตั้งขึ้นตรรกะทางคณิตศาสตร์ได้มีส่วนทำให้ทั้งสองและได้รับแรงบันดาลใจจากการศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษาครั้งนี้เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษที่ 19 ที่มีการพัฒนากรอบจริงเรขาคณิตคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 มันเป็นรูปโดยโปรแกรมเดวิดฮิลแบร์ตที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐาน ผลการ Kurt Gödelแกร์ฮาร์ด Gentzen และอื่น ๆ ที่ให้ความละเอียดบางส่วนในการเขียนโปรแกรมและชี้แจงประเด็นที่เกี่ยวข้องในการพิสูจน์ความสอดคล้อง การทำงานในการตั้งทฤษฎีแสดงให้เห็นว่าเกือบทุกวิชาคณิตศาสตร์ธรรมดาสามารถเป็นทางการในแง่ของชุดแม้ว่าจะมีทฤษฎีบางอย่างที่ไม่สามารถพิสูจน์ความจริงในระบบทั่วไปสำหรับการตั้งทฤษฎี การทำงานร่วมสมัยในรากฐานของคณิตศาสตร์มักจะมุ่งเน้นไปที่การสร้างส่วนของคณิตศาสตร์สามารถเป็นทางการในระบบอย่างเป็นทางการโดยเฉพาะอย่างยิ่ง (ในขณะที่คณิตศาสตร์กลับ) มากกว่าพยายามที่จะหาทฤษฎีที่ทุกคณิตศาสตร์สามารถที่จะพัฒนา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตรรกะทางคณิตศาสตร์เป็น subfield คณิตศาสตร์สํารวจการประยุกต์ใช้อย่างเป็นทางการตรรกะทางคณิตศาสตร์ หมีปิดการเชื่อมต่อกับ metamathematics รากฐานของคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี [ 1 ] การรวมรูปแบบในตรรกะทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การศึกษาการแสดงออกถึงพลังของระบบอย่างเป็นทางการ และพลังของระบบการพิสูจน์แบบเป็นทางการ

ตรรกะทางคณิตศาสตร์มักจะแบ่งออกเป็นเขตของทฤษฎีเซตทฤษฎี , ทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบจำลองและทฤษฎีพิสูจน์ พื้นที่เหล่านี้แบ่งปันผลลัพธ์เบื้องต้นตรรกะ , ตรรกะ , โดยเฉพาะอย่างยิ่งครั้งแรกและ definability . ในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ( โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการจำแนก ACM ) ตรรกะทางคณิตศาสตร์ครอบคลุมเพิ่มเติมหัวข้อไม่ได้รายละเอียดในบทความนี้ เห็นตรรกะในคอมพิวเตอร์สำหรับ

นับตั้งแต่ก่อตั้งขึ้น , ตรรกะทางคณิตศาสตร์มีทั้งสนับสนุน และมีแรงจูงใจจากการศึกษาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ การศึกษานี้เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษที่ 19 กับการพัฒนากรอบสัจพจน์สำหรับเรขาคณิต คณิตศาสตร์ และการวิเคราะห์ ในต้นศตวรรษที่ 20 เป็นรูปโดยเดวิดฮิลเบิร์ตโปรแกรมพิสูจน์ความสอดคล้องของทฤษฎีพื้นฐานผลของรูนแท้ทั้ง gentzen เจอร์ราด , และคนอื่น ๆให้ความละเอียดบางส่วนในโปรแกรม และชี้แจงประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ความสอดคล้อง ในทฤษฎีเซตคณิตศาสตร์ พบว่า เกือบทั้งหมดธรรมดาสามารถกล่าวในแง่ของชุด แม้ว่าจะมีบางทฤษฎีบทที่พิสูจน์ไม่ได้ในระบบสัจพจน์ร่วมกันตั้ง ทฤษฎีปัจจุบันทำงานในฐานรากของคณิตศาสตร์มักจะมุ่งเน้นไปที่การสร้างส่วนของคณิตศาสตร์สามารถเป็นทางการในระบบเฉพาะทาง ( เช่น ย้อนกลับ คณิตศาสตร์ ) มากกว่าการพยายามที่จะหาทฤษฎีที่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์สามารถพัฒนาได้