At this stage another parallel with

At this stage another parallel with consumer theory can be seen: in that case the slope of the indifference curve was shown by the marginal rate of substitution (MRS). This was also decreasing in absolute magnitude from left to right, because of the law of diminishing marginal utility.

It was also seen that the MRS was given by the ratio of the marginal utilities of the two products. It should not be too difficult for the reader to draw another parallel at this point: the MRTS is given by the ratio of the marginal products of the two inputs. The mathematical proof of this is analogous to the one relating to the MRS.

When the firm moves from point B to point C it gains output from using more labour, given by L MPL, and it loses output from using less capital, given by K MPK. Since the points are on the same isoquant and therefore must involve the same total output, the gains must equal the losses, thus:
L MPL ¼ K MPK

Since the slope of the isoquant is given by K/ L, we can now express the absolute magnitude of the slope as:
K= L ¼ MPL=MPK (5:19)

There are two extreme cases of input substitutability. Zero substitutability occurs when the inputs are used in fixed proportions, for example when a machine requires two workers to operate it and cannot be operated with more or less than this number of workers. Isoquants in this case are L-shaped, meaning that the MRTS is either zero or infinity. Perfect substitutability is the opposite extreme, resulting in linear isoquants; this means that the MRTS is constant. It also implies that output can be produced using entirely one input or the other. These extremes are shown in Figure 5.6.

5.4.3 Returns to scale
We frequently want to analyses the effects on output of an increase in the scale of production. An increase in scale involves a proportionate increase in all the inputs of the firm. The resulting proportionate increase in output determines the physical returns to scale for the firm. Two points need to be explained before moving on to the description and measurement of returns to
scale:

Figure 5.6. Extreme cases of input substitutability.
1 Proportionate increase in all the inputs. It is always assumed in referring to returns to scale that all inputs increase by the same proportion. This is not necessarily optimal for the firm in terms of economic efficiency. If inputs increase by different proportions we have to talk about returns to outlay (measured in money terms).
2 Physical returns to scale. Returns to scale can be described in physical terms or in money terms, as will become clear in the next chapter. The two meanings do not necessarily coincide; for example, it is possible for a firm to experience constant physical returns to scale yet have increasing returns to scale in money terms (better known as economies of scale).

a. Types of returns to scale
Returns to scale, in physical or money terms, can be of three types. The following are the three types of physical return:
1 Constant returns to scale (CRTS). This refers to the situation where an increase in inputs results in an exactly proportional increase in output.
2 Increasing returns to scale (IRTS). This refers to the situation where an increase in inputs results in a more-than-proportional increase in output.
3 Decreasing returns to scale (DRTS). This refers to the situation where an increase in inputs results in a less-than-proportional increase in output.

The reasons for these different returns to scale will be considered in the next chapter, when they are compared with the monetary aspects of returns to scale. We can, however, use Table 5.1 to examine these different possibilities from the standpoint of quantitative measurement. The easiest way to do this is by examining the numbers in the leading diagonal. When inputs are increased from one worker/one machine to two workers/two machines this represents a doubling of inputs; however, output increases from 4 to 17 units, an increase of more than fourfold. Thus this situation involves, IRTS. If inputs increase from two of each factor to three of each factor this is an increase of 50 per cent; output increases from 17 to 39 units, over 100 per cent. Thus there are still IRTS. This situation continues until seven units of each input are used; when each input is increased to eight units this represents an increase of about 14 per cent, while output increases from 155 to 164 units, an increase of less than 6 per cent. Thus there are now DRTS.

Generalizing from this we can conclude that with a cubic production function the returns to scale are not the same at all levels of scale or output. The type or pattern of returns to scale will obviously depend on the nature of the mathematical form of the production function. In order to understand this more clearly we need to consider the concept of a homogeneous production function.

b. Homogeneous production functions*
These functions are useful for modelling production situations because of their mathematical properties. If the inputs in a function are multiplied by any constant l and if this constant can then be factored out of the function then the production function is said to be homogeneous. This can be explained more precisely in mathematical terms by stating that a production function is said to be homogeneous of degree n if:
F(λL, λk) = λnf(L,K)

If the degree of homogeneity is equal to 1 then the production function is said to be linearly homogeneous. The degree of homogeneity indicates the type of returns to scale:
if n = 1 there are CRTS
if n > 1 there are IRTS
if n< 1 there are DRTS.

These concepts now need to be applied to particular forms of production function. Let us take the simple linear form in (5.2) first:
Q = aL + bK

When each input is multiplied by l, output is given by:
a(λL)+b(λK) = λ(aL+bK)

Thus λ can be factored out of the function and the function is linearly homogeneous. This means that linear production functions like (5.2) feature constant returns to scale at all levels of output. This is not true for the linear function with a constant term in (5.3); this is not a homogeneous function. Nor is the linear function with an interaction term in (5.4).
Now let us consider the quadratic function in (5.5):
Q = aL2 + bK2 +cLK

When inputs are multiplied by λ, output is given by:
a(λL2)+b(λk2)+c(λL)( λK) = λ2 (aL2+bK2+cLK)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในขั้นตอนนี้ขนานกับผู้บริโภคทฤษฎีอื่นสามารถมองเห็นได้: ในกรณีที่ความลาดชันของเส้นโค้งไม่แยแสก็แสดงให้เห็นจากอัตราร่อแร่ทดแทน (MRS) นี้ยังลดลงในโชติมาตรสัมบูรณ์จากซ้ายไปขวาเพราะกฎหมายของยูทิลิตี้ลดน้อยลง.

มันก็เห็นว่านางได้รับโดยอัตราส่วนของสาธารณูปโภคขอบของทั้งสองผลิตภัณฑ์ก็ไม่ควรจะยากเกินไปสำหรับผู้อ่านที่จะดึงขนานอื่นที่จุดนี้: MRTs จะได้รับโดยอัตราส่วนของผลิตภัณฑ์ที่ร่อแร่ของทั้งสองปัจจัยการผลิต การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นี้จะคล้ายคลึงกับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับ mrs.

เมื่อย้าย บริษัท จาก b ชี้ไปที่จุด C จะได้รับผลลัพธ์จากการใช้แรงงานมากขึ้นให้โดย l mpl และจะสูญเสียผลผลิตจากการใช้เงินทุนน้อยกว่าที่กำหนด โดย k mpkตั้งแต่จุดที่อยู่บน isoquant เดียวกันและดังนั้นจึงต้องเกี่ยวข้องกับผลผลิตทั้งหมดเดียวกันกำไรจะต้องเท่ากับการสูญเสียดังนี้:
l mpl ¼ K mpk

ตั้งแต่ชันของ isoquant จะได้รับโดย k / l ที่เราสามารถทำได้ในขณะนี้ แสดงโชติมาตรสัมบูรณ์ของความลาดชันเป็น:
k = l = ¼ mpl mpk (05:19)

มีสองกรณีที่รุนแรงของการทดแทนนำเข้าเป็นศูนย์การทดแทนปัจจัยการผลิตที่เกิดขึ้นเมื่อมีการใช้ในสัดส่วนที่คงที่เช่นเมื่อเครื่องต้องใช้คนงานสองคนการใช้งานได้และไม่สามารถดำเนินการกับมากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนของคนงานนี้ isoquants ในกรณีนี้เป็นรูปตัว L หมายความว่า MRTs เป็นทั้งศูนย์หรืออินฟินิตี้ การทดแทนที่สมบูรณ์แบบมากตรงข้ามกับที่เกิดใน isoquants เชิงเส้นนี้หมายความว่า MRTs เป็นค่าคงที่ ก็ยังหมายถึงการเอาท์พุทที่สามารถผลิตโดยใช้ทั้ง input หนึ่งหรืออื่น ๆ สุดขั้วเหล่านี้จะแสดงในรูปที่ 5.6.

5.4.3 ผลตอบแทนในการวัด
เรามักต้องการการวิเคราะห์ผลกระทบต่อการส่งออกที่เพิ่มขึ้นในระดับของการผลิต เพิ่มขึ้นในระดับที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้นของสัดส่วนในปัจจัยการผลิตทั้งหมดของ บริษัทการเพิ่มขึ้นของสัดส่วนในการส่งออกส่งผลให้ผลตอบแทนที่กำหนดทางกายภาพเพื่อให้ บริษัท สองจุดจะต้องมีการอธิบายก่อนจะย้ายไปคำอธิบายและการวัดจากผลตอบแทนที่ได้ขนาด


รูปที่ 5.6 กรณีที่รุนแรงของการทดแทนนำเข้า.
1 เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนในปัจจัยการผลิตทั้งหมดมันจะคิดอยู่เสมอในการหมายถึงผลตอบแทนที่ได้ขนาดที่ปัจจัยการผลิตทั้งหมดเพิ่มขึ้นเป็นสัดส่วนเดียวกัน นี้ไม่จำเป็นต้องดีที่สุดให้กับ บริษัท ในแง่ของประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจ ถ้าปัจจัยการผลิตที่เพิ่มขึ้นตามสัดส่วนที่แตกต่างกันที่เราต้องพูดคุยเกี่ยวกับผลตอบแทนที่จ่าย (วัดในแง่เงิน).
2 ผลตอบแทนทางกายภาพที่จะไต่ ผลตอบแทนที่ได้ขนาดที่สามารถอธิบายได้ในแง่ทางกายภาพหรือในแง่เงิน,ในขณะที่จะกลายเป็นที่ชัดเจนในบทต่อไป สองความหมายไม่จำเป็นต้องตรง; ตัวอย่างมันเป็นไปได้สำหรับ บริษัท ที่จะได้สัมผัสกับผลตอบแทนคงที่ทางกายภาพในการวัดยังได้ผลตอบแทนที่เพิ่มขึ้นในการวัดในแง่เงิน (ที่รู้จักกันดีการประหยัดจากขนาด)

. ประเภทของผลตอบแทนในระดับผลตอบแทน
ไปวัดในแง่กายภาพหรือเงินสามารถเป็นสามประเภทต่อไปนี้เป็นสามประเภทของผลตอบแทนทางกายภาพ:
1 ผลตอบแทนคงที่ขนาด (CRTs) นี้หมายถึงสถานการณ์ที่เพิ่มขึ้นในผลลัพธ์ของปัจจัยการผลิตที่เพิ่มขึ้นในสัดส่วนที่แน่นอนในการส่งออก.
2 เพิ่มผลตอบแทนที่ได้ขนาด (irts) นี้หมายถึงสถานการณ์ที่เพิ่มขึ้นในผลลัพธ์ของปัจจัยการผลิตในการเพิ่มมากขึ้นกว่าที่มีสัดส่วนในการส่งออก.
3 ลดลงกลับไปที่ขนาด (DRTs)นี้หมายถึงสถานการณ์ที่เพิ่มขึ้นในผลลัพธ์ของปัจจัยการผลิตในการเพิ่มขึ้นน้อยกว่าสัดส่วนในการส่งออก.

สาเหตุของการผลตอบแทนที่แตกต่างกันเหล่านี้เพื่อให้จะได้รับการพิจารณาในบทต่อไปเมื่อพวกเขาถูกเปรียบเทียบกับด้านการเงินของผลตอบแทน ในการวัด เราสามารถ แต่ใช้ 5.1 ตารางการตรวจสอบดังกล่าวที่แตกต่างกันเหล่านี้จากมุมมองของการวัดเชิงปริมาณวิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำนี้โดยการตรวจสอบตัวเลขในชั้นนำในแนวทแยง เมื่อปัจจัยการผลิตที่จะเพิ่มขึ้นจากหนึ่งคน / เครื่องหนึ่งไปยังคนงานสองคน / สองเครื่องนี้แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มขึ้นของปัจจัยการผลิต; แต่การเพิ่มขึ้นของการส่งออก 4-17 คันเพิ่มขึ้นกว่าสี่เท่า ดังนั้นสถานการณ์นี้เกี่ยวข้องกับการ irts,ถ้าปัจจัยการผลิตที่เพิ่มขึ้นจากสองปัจจัยแต่ละสามของแต่ละปัจจัยนี้เพิ่มขึ้นจากร้อยละ 50; การเพิ่มขึ้นของการส่งออก 17-39 ยูนิตกว่าร้อยละ 100 จึงยังคงมี irts สถานการณ์เช่นนี้ต่อไปจนกว่าจะเจ็ดหน่วยของแต่ละอินพุทที่ใช้; เมื่อแต่ละอินพุทจะเพิ่มขึ้นถึงแปดหน่วยนี้แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มขึ้นประมาณร้อยละ 14 ในขณะที่การเพิ่มขึ้นของผลผลิต 155-164 หน่วยเพิ่มขึ้นน้อยกว่าร้อยละ 6 จึงมีตอนนี้ DRTs.

generalizing จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ามีฟังก์ชั่นการผลิตลูกบาศก์ผลตอบแทนที่ขนาดจะไม่เหมือนกันในทุกระดับของขนาดหรือเอาท์พุท ประเภทหรือรูปแบบของการให้ผลตอบแทนในระดับที่เห็นได้ชัดจะขึ้นอยู่กับลักษณะของรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชั่นการผลิตเพื่อที่จะเข้าใจในเรื่องนี้อย่างชัดเจนมากขึ้นเราจำเป็นที่จะต้องพิจารณาแนวคิดของฟังก์ชั่นการผลิตเหมือนกัน.

b ฟังก์ชั่นการผลิตเหมือนกัน *
ฟังก์ชั่นเหล่านี้จะมีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองสถานการณ์การผลิตเนื่องจากมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาถ้าปัจจัยการผลิตในการทำงานจะถูกคูณโดย l คงที่ใด ๆ และถ้าค่าคงที่นี้นั้นจะสามารถออกปัจจัยของการทำงานแล้วฟังก์ชั่นการผลิตที่กล่าวกันว่าเป็นเหมือนกัน นี้สามารถอธิบายได้อย่างแม่นยำมากขึ้นในแง่ทางคณิตศาสตร์โดยระบุว่าฟังก์ชั่นการผลิตกล่าวจะเป็นเนื้อเดียวกันถ้า n องศา:
f (λl, λk) = λnf (l, K)

ถ้าระดับของความเป็นเนื้อเดียวกันเท่ากับ 1 แล้วฟังก์ชั่นการผลิตกล่าวจะเหมือนกันเป็นเส้นตรง ระดับของความเป็นเนื้อเดียวกันบ่งบอกถึงชนิดของผลตอบแทนที่ได้ขนาด:
ถ้า n = 1 มี CRTs เป็น
ถ้า n> 1 มี irts
ถ้า n <1 มี DRTs เป็น

แนวคิดเหล่านี้ในขณะนี้จะต้องนำไปใช้กับรูปแบบเฉพาะของ. ฟังก์ชั่นการผลิต ให้เราใช้รูปแบบเชิงเส้นอย่างง่ายใน (5.2) ก่อน:
q = อัล BK

เมื่อแต่ละอินพุทจะถูกคูณโดย l เอาท์พุทจะได้รับโดย:
(λl) B (λk) = λ (อัล BK)

λจึงสามารถออกปัจจัยของการทำงานและการทำงานเป็นเหมือนกันเป็นเส้นตรง นี้หมายความว่าฟังก์ชั่นการผลิตเชิงเส้นเช่น (5.2) ผลตอบแทนที่คงคุณสมบัติในการปรับขนาดในทุกระดับของการส่งออก นี้ไม่เป็นความจริงสำหรับการทำงานเชิงเส้นมีระยะเวลาคงที่ใน (5.3); นี้ไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นเหมือนกันหรือฟังก์ชั่นเชิงเส้นมีระยะเวลาในการทำงานร่วมกัน (5.4)
คือตอนนี้ให้เราพิจารณาสมการกำลังสองฟังก์ชั่นใน (5.5).
q = AL2 BK2 CLK

เมื่อปัจจัยการผลิตจะถูกคูณโดยλเอาท์พุทจะได้รับโดย:
( λl2) B (λk2) C (λl) (λk) = λ2 (AL2 CLK BK2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในขั้นตอนนี้ อีกพร้อมกับทฤษฎีผู้บริโภคสามารถเห็น: ในกรณีที่ ความชันของเส้นโค้งของท่านที่แสดง โดยอัตรากำไร (MRS) ทดแทนได้ นี้ยังถูกลดขนาดสัมบูรณ์จากซ้ายไปขวา เนื่องจากกฎหมายลดลงกำไรยูทิลิตี้การ

จะได้เห็นว่า MRS ที่ถูกกำหนด โดยอัตราส่วนของอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มของสองผลิตภัณฑ์ มันไม่ควรจะยากเกินไปสำหรับผู้อ่านวาดอีกขนานณจุดนี้: MRTS จะถูกกำหนด โดยอัตราส่วนของผลิตภัณฑ์กำไรของอินพุตทั้งสอง พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นี้เป็นคู่หนึ่งที่เกี่ยวข้องกับนางแบบ

เมื่อบริษัทย้ายจากจุด B ถึงจุด C ได้รับผลลัพธ์จากการใช้แรงงานมากขึ้น โดย L MPL และสูญเสียผลผลิตจากการใช้ทุนน้อย โดย K MPK ตั้งแต่คะแนนอยู่ isoquant เดียวกัน และดังนั้นจึง ต้องเกี่ยวเหมือนรวมผล กำไรต้องเท่ากับการสูญเสีย ดัง:
L MPL ¼ K MPK

เนื่องจากความชันของ isoquant ถูกกำหนด โดย K / L เราสามารถตอนนี้แสดงความส่องสว่างสัมบูรณ์ของลาดเป็น:
K = L ¼ MPL = MPK (5:19)

มีสองกรณีของ substitutability เข้า Substitutability ศูนย์เกิดขึ้นเมื่อมีใช้ในสัดส่วนคงที่ การอินพุตเช่นเมื่อเครื่องต้องการคนที่สองเพื่อทำงาน และไม่สามารถดำเนินการกับมากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนผู้ปฏิบัติงาน Isoquants ในกรณีนี้ได้ L รูป MRTS จะเป็นศูนย์หรือไร้ความหมาย Substitutability โกเป็นตรงข้ามมาก ในเส้น isoquants ซึ่งหมายความ ว่า MRTS จะคง มันยังหมายถึงการที่ผลผลิตสามารถผลิตได้โดยใช้ทั้งหนึ่งอินพุตหรืออื่น ๆ ที่สุดเหล่านี้จะแสดงในรูปที่ 5.6 การ

5.4.3 กลับขนาด
เรามักต้องการวิเคราะห์ผลการแสดงผลของการเพิ่มขนาดของการผลิต การเพิ่มมาตราส่วนเกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้นตามในอินพุตทั้งหมดของบริษัท เพิ่มผลผลิตตามได้กำหนดกลับทางกายภาพขนาดสำหรับบริษัท สองจุดที่ต้องการจะอธิบายทั้งคำอธิบายและกลับไปยังวัด
ขนาด:

รูป 5.6 กรณีของอินพุต substitutability
1 Proportionate เพิ่มอินพุตทั้งหมด เสมอสันนิษฐานในการอ้างอิงกลับไปยังขนาดที่อินพุตทั้งหมดเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนเดียวกัน นี้ไม่จำเป็นต้องดีที่สุดสำหรับบริษัทในแง่ของประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจ ถ้าเพิ่มปัจจัยการผลิตตามสัดส่วนที่แตกต่าง เราต้องพูดถึงกลับสู่ outlay (วัดในแง่เงิน) .
2 จริงกลับไปชั่ง กลับสู่ขนาดสามารถอธิบายได้ในทางกายภาพ หรือ ใน เงื่อนไขเงิน เป็นจะชัดเจนในบทถัดไป ความหมายที่สองไม่จำเป็นต้องลงรอย ตัวอย่าง เป็นไปได้สำหรับบริษัทเพื่อประสบการณ์กลับคงทางกายภาพขนาด มีได้กลับเพิ่มขึ้นชั่งในเงื่อนไขเงิน (รู้จักกันดีเป็นเศรษฐกิจของขนาด) ได้

กลับขนาดชนิด a.
กลับไปยังเครื่องชั่งน้ำหนัก ในทางกายภาพหรือเงิน ได้สามชนิดได้ ต่อไปนี้เป็นจริงคืนสามชนิด:
1 คงกลับไปชั่ง (CRTS) หมายถึงสถานการณ์ซึ่งการเพิ่มขึ้นของปัจจัยการผลิตผลเพิ่มว่าสัดส่วนในผลผลิต
แทน Increasing 2 ขนาด (IRTS) หมายถึงสถานการณ์ซึ่งการเพิ่มขึ้นของปัจจัยการผลิตผลเพิ่มมากขึ้นกว่าสัดส่วนในผลผลิต
3 คืน Decreasing ขนาด (DRTS) หมายถึงสถานการณ์ที่การเพิ่มขึ้นของปัจจัยการผลิตเกิดขึ้นน้อยกว่าสัดส่วนในผลผลิต

สาเหตุเหล่านี้กลับแตกต่างกันเพื่อจะพิจารณาในบทถัดไป เมื่อมีการเปรียบเทียบกับด้านเงินส่งคืนขนาดนั้น เรา อย่างไรก็ตาม การตาราง 5.1 ตรวจสอบเหล่านี้ไปแตกต่างจากอันวัดเชิงปริมาณ วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำนี้ โดยตรวจสอบหมายเลขในแนวทแยงชั้นนำได้ เมื่อปัจจัยการผลิตเพิ่มขึ้นจากผู้ปฏิบัติงานหนึ่ง / หนึ่งเครื่องจักรคนงานสอง / สองเครื่องนี้แทนจะอินพุต อย่างไรก็ตาม ผลผลิตเพิ่มขึ้นจาก 4 17 หน่วย การเพิ่มขึ้นของ fourfold มากกว่า ดังนั้น กรณีนี้เกี่ยว IRTS ถ้าปัจจัยการผลิตเพิ่มจาก 2 ปัจจัยแต่ละถึงสามของแต่ละปัจจัยนี้ เป็นการเพิ่มขึ้นของร้อยละ 50 ผลผลิตเพิ่มขึ้นจาก 17 หน่วย 39 กว่า 100 ร้อยละ จึง ยังคงมี IRTS สถานการณ์นี้อย่างต่อเนื่องจนกว่าหน่วยเจ็ดของแต่ละอินพุตจะใช้ เมื่อเพิ่มแต่ละอินพุต 8 หน่วย นี้แสดงการเพิ่มขึ้นของประมาณ 14 เปอร์เซ็นต์ ในขณะที่ผลผลิตเพิ่มขึ้นจาก 155 164 หน่วย การเพิ่มขึ้นของน้อยกว่าร้อยละ ดัง มีอยู่ตอนนี้ DRTS

Generalizing จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่า มีฟังก์ชันผลิตลูกบาศก์ คืนขนาดไม่เหมือนทุกระดับมาตราส่วนหรือผลผลิต ชนิดหรือรูปแบบของผลตอบแทนที่ขนาดจะชัดขึ้นอยู่กับลักษณะของรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันการผลิต ความเข้าใจนี้ ชัดเจนขึ้นเราจำเป็นต้องพิจารณาแนวคิดของการผลิตเหมือนฟังก์ชัน

เหมือนผลิตเกิดฟังก์ชัน *
ฟังก์ชันเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองสถานการณ์การผลิตเนื่องจากมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ ถ้าอินพุตในคูณ l มีค่าคง และค่าคงนี้สามารถแล้วสามารถแยกตัวประกอบจากฟังก์ชันฟังก์ชันการผลิตได้กล่าวว่า จะเป็นเนื้อเดียวกัน นี้ที่สามารถอธิบายได้แม่นยำมากในแง่ของคณิตศาสตร์ โดยระบุว่า ฟังก์ชันการผลิตว่า จะเหมือนของปริญญาถ้า n:
F (λL, λk) = λnf(L,K)

ถ้าเท่ากับ 1 ระดับของ homogeneity ฟังก์ชันการผลิตได้กล่าวว่า เป็นเหมือนเชิงเส้น ระดับ homogeneity บ่งชี้ชนิดของคืนขนาด:
ถ้า n = 1 มี CRTS
ถ้า n > 1 มี IRTS
ถ้า n < 1 มี DRTS.

แนวคิดเหล่านี้ตอนนี้ต้องการที่จะใช้กับฟังก์ชันการผลิตในรูปแบบเฉพาะ เราใช้แบบเชิงเส้นอย่างง่าย (5.2) แรก:
Q =อัลบีเควีคลี่

เมื่อป้อนข้อมูลแต่ละคูณ ด้วย l ผลผลิตได้ by:
a(λL) b(λK) = λ(aL bK)

จึง สามารถเป็นการแยกตัวประกอบλจากฟังก์ชัน และฟังก์ชันเป็นเชิงเส้นเหมือนกัน ซึ่งหมายความ ว่า ผลิตเชิงเส้นฟังก์ชันต้องคืนคงคุณลักษณะ (5.2) เพื่อประเมินผลทุกระดับ ไม่จริงสำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นมีคำคงที่ใน (5.3); นี่ไม่ใช่ฟังก์ชันเหมือน ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นกับระยะการโต้ตอบใน (5.4) .
ตอนนี้ ให้เราพิจารณาฟังก์ชันกำลังสองใน (5.5):
Q = aL2 bK2 cLK

เมื่ออินพุตมีคูณ ด้วยλ ผลผลิตได้ by:
a(λL2) b(λk2) c(λL) (λK) = λ2 (aL2 bK2 cLK)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในขั้นตอนนี้แบบคู่ขนานอื่นที่มีทฤษฎี ผู้บริโภค สามารถที่จะเห็นได้จากกรณีที่เนินลาดเทของความโค้งมนทำเป็นทองไม่รู้ร้อนอยู่ที่แสดงโดยใช้อัตราเศษของการทดแทน(นาง) โรงแรมแห่งนี้มีความสำคัญลดลงในไม่ว่าในกรณีใดๆจากซ้ายไปขวายังเป็นเพราะกฎหมายของยูทิลิตีลดน้อยถอยลงชิด.

ก็พบว่านางได้รับโดยมีอัตราส่วนที่ก้ำกึ่งของยูทิลิตีของ ผลิตภัณฑ์ ทั้งสองยังไม่ควรจะเป็นเรื่องยากเกินไปสำหรับผู้อ่านที่จะดึงดูดแบบคู่ขนานกันไปที่จุดนี้ mrts จะได้รับโดยมีอัตราส่วนของ ผลิตภัณฑ์ เศษของสองอินพุต การตรวจสอบความถูกต้องทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายคลึงกันกับของโรงแรมแห่งนี้คือหนึ่งในที่เกี่ยวข้องกับนางที่.

เมื่อบริษัทจะย้ายจากจุดต่อจุด C มันได้ผลที่ได้จากการใช้แรงงานมากกว่าโดย L mpl และสูญเสียผลผลิตจากการใช้ทุนน้อยลงโดย K mpk.โดยจุดที่อยู่บน isoquant เดียวกันและดังนั้นจึงต้องเกี่ยวข้องกับเอาต์พุตทั้งหมดเหมือนกับที่ได้รับจะต้องเท่ากับความเสียหายที่ทำให้:
L mpl K สำหรับไฟฟ้ากระแสสลับ MPK

นับตั้งแต่ความลาดชันของ isoquant จะได้รับโดย/ K L เราสามารถที่จะแสดงความสำคัญอย่างแท้จริงของเนินเป็น:
K = L mpl = MPK สำหรับไฟฟ้ากระแสสลับ( 5 : 19 )ตอนนี้

มีทั้งสองกรณี Extreme substitutability ของอินพุตsubstitutability Zero Configuration จะเกิดขึ้นเมื่ออินพุตที่มีใช้ในสัดส่วนที่กำหนดสำหรับตัวอย่างเช่นเมื่อเครื่องที่ต้องใช้สองคนงานในการใช้งานและไม่สามารถใช้งานกับมากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนนี้ของคนงาน isoquants ในกรณีนี้มีรูปทรงตัวแอลความหมายที่ mrts ที่คัดสรรมาเป็นศูนย์หรือ substitutability สมบรูณ์แบบอยู่ตรงข้ามกับ Extreme ส่งผลให้ใน isoquants linearซึ่งหมายความว่า mrts จะคงที่ นอกจากนั้นโรงแรมยังมีนัยที่เอาต์พุตสามารถผลิตได้อย่างสิ้นเชิงโดยใช้หนึ่งอินพุตหรืออื่นๆได้ หรือจะแสดงอยู่ในรูปที่ 5.6 .

5.4.3 จะกลับไปปรับ
ซึ่งจะช่วยเราที่ต้องการในการวิเคราะห์ผลกระทบในเอาต์พุตของเพิ่มขึ้นในการผลิต เพิ่มขึ้นในสัดส่วนที่เพิ่มขึ้นมีความเกี่ยวข้องกับในอินพุตทั้งหมดของบริษัทเพิ่มมากขึ้นส่งผลให้สัดส่วนในเอาต์พุตจะเป็นตัวกำหนดผลลัพธ์ทาง กายภาพ ในการปรับขนาดสำหรับบริษัท สองจุดจะต้องอธิบายไว้ก่อนที่จะย้ายไปอยู่กับการวัดและคำอธิบายของจะกลับไปใน
ซึ่งจะช่วยขจัดตะกรัน:

รูปที่ 5.6 กรณีที่จำเป็นของ substitutability .สมควร
1 เพิ่มขึ้นในอินพุตทั้งหมดมีการสันนิษฐานในอ้างถึงจะกลับไปที่ขยายอินพุตทั้งหมดเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนเหมือนเดิมอยู่เสมอ โรงแรมแห่งนี้คือไม่จำเป็นต้องดีที่สุดสำหรับบริษัทที่มี ประสิทธิภาพ ทางเศรษฐกิจ หากอินพุตเพิ่มขึ้นโดยสัดส่วนแตกต่างกันเราต้องพูดเกี่ยวกับการส่งคืนเพื่อลดต้นทุนค่าใช้จ่ายให้น้อยที่สุด(วัดในเงื่อนไขเงิน). N 2 ทาง กายภาพ การส่งคืนในการปรับขนาด การส่งคืนในการปรับขนาดสามารถอธิบายไว้ในข้อกำหนดทาง กายภาพ หรือในเงื่อนไขเงินที่จะเป็นที่ชัดเจนในบทถัดไป สองความหมายแต่ที่ไม่สอดคล้องกันจำเป็นสำหรับตัวอย่างเช่นเป็นไปได้สำหรับบริษัทที่จะกลับมาเพื่อรับประสบการณ์ทาง กายภาพ ในการขยายขนาดแต่กลับมีเพิ่มขึ้นในการขยายขนาดในเงื่อนไขเงิน(ที่รู้จักกันดีในชื่อและประเทศของตะกรัน)

ที่ ประเภท ของการส่งคืน
ซึ่งจะช่วยในการปรับผลตอบแทนในการปรับในเงื่อนไขทาง กายภาพ หรือเงินจะได้รับจากทั้งสาม ประเภทต่อไปนี้เป็นสาม ประเภท ของผลตอบแทนคงที่ไปกลับ:
1 ทาง กายภาพ ในการปรับขนาด(ขอนำเสนอ) โรงแรมแห่งนี้คือสถานการณ์ที่เพิ่มขึ้นในอินพุตผลในการเพิ่มสัดส่วนตรงที่เพิ่มขึ้นในการส่งคืนเอาต์พุต.
2 ในการปรับ( irts ) โรงแรมแห่งนี้คือสถานการณ์ที่เพิ่มขึ้นในอินพุตผลในการเพิ่มมากขึ้นกว่าที่ตามสัดส่วนที่ลดลงในการส่งคืนเอาต์พุต.
3 ในการปรับ( drts )โรงแรมแห่งนี้คือสถานการณ์ที่เพิ่มขึ้นในอินพุตผลในการเพิ่มน้อยกว่าสัดส่วนในเอาต์พุต.

ด้วยเหตุผลที่แตกต่างกันสำหรับการส่งคืนนี้ในการปรับจะได้รับการพิจารณาให้ได้รับในบทถัดไปเมื่อพวกเขาจะถูกนำไปเปรียบเทียบกับด้านการเงินของผลตอบแทนในการปรับขนาด เราสามารถใช้ตาราง 5.1 จะทำการตรวจสอบความเป็นไปได้ที่หลากหลายเหล่านี้จากจุดยืนของการวัดเชิงปริมาณวิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำสิ่งนี้คือด้วยการตรวจสอบหมายเลขที่อยู่ในแนวทแยงมุมชั้นนำ เมื่ออินพุตหนึ่งมีเพิ่มขึ้นจากงาน/เครื่องเดียวถึงสองคนงาน/สองเครื่องนี้แสดงถึงเพิ่มเป็นสองเท่าของอินพุตอย่างไรก็ตามเอาต์พุตเพิ่มจาก 4 ถึง 17 หน่วยเพิ่มขึ้นมากกว่าสี่เท่า ดังนั้นสถานการณ์นี้มีความเกี่ยวข้องกับ irtsหากช่องเพิ่มขึ้นจากสองของแต่ละโครงเครื่องถึงสามของปัจจัยแต่ละแห่งนี้เป็นการเพิ่มขึ้นของ 50% ผลิตเพิ่มจาก 17 เป็น 39 ชุดกว่า 100% จึงยังมี irts สถานการณ์แบบนี้จะยังคงดำเนินต่อไปจนกว่าเจ็ดชุดของแต่ละอินพุตถูกใช้เมื่ออินพุตแต่ละห้องมีเพิ่มขึ้นถึงแปดชุดนี้เป็นการเพิ่มขึ้นของประมาณ 14% ขณะที่ผลผลิตเพิ่มขึ้นจาก 155 เป็น 164 ชุดการเพิ่มขึ้นของน้อยกว่า 6% . ดังนั้นจึงมี generalizing drts .

จากนี้เราจะสามารถสรุปได้ว่ามีฟังก์ชันการผลิตลูกบาศก์ที่ส่งคืนในการขยายขนาดไม่เหมือนกันในทุกระดับของการผลิตหรือเกิดตะกรัน รูปแบบหรือ ประเภท ของการส่งคืนในการขยายขนาดจะขึ้นอยู่กับลักษณะของรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่มีฟังก์ชันการผลิตอย่างเห็นได้ชัดในการสั่งซื้อนี้เพื่อทำความเข้าใจได้ชัดเจนมากขึ้นเราต้องพิจารณาถึงแนวความคิดของการผลิตเป็นเนื้อเดียวกัน.

B ฟังก์ชันการผลิตเป็นเนื้อเดียวกัน*
ฟังก์ชันเหล่านี้จะมีประโยชน์สำหรับการสร้างแบบจำลองสถานการณ์การผลิตเพราะในที่พักทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาหากอินพุตในฟังก์ชันที่มีคูณด้วย L คงที่และหากคงที่นี้สามารถถูกคาดการณ์ล่วงหน้าไว้ออกจากหน้าที่แล้วแล้วทำงานการผลิตที่ได้รับการกล่าวว่าเป็นเนื้อเดียวกัน โรงแรมแห่งนี้สามารถได้รับการอธิบายได้อย่างแม่นยำมากขึ้นในด้านคณิตศาสตร์โดยระบุว่าฟังก์ชันการผลิตที่ได้รับการกล่าวว่าเป็นเนื้อเดียวกันในระดับ N หาก:
F ( λl λk )= λnf ( L K )

หากระดับของซึ่งประกอบขึ้นด้วยส่วนที่เหมือนกันจะเท่ากับ 1 แล้วฟังก์ชันการผลิตที่ได้รับการกล่าวว่าเป็นเนื้อเดียวกันลำดับอย่างต่อเนื่อง ระดับของซึ่งประกอบขึ้นด้วยส่วนที่เหมือนกันแสดง ประเภท ของการปรับขนาด:
หาก N = 1 มีขอนำเสนอ
หาก n > 1 มี irts
หาก n < 1 มี drts .

แนวความคิดเหล่านี้แล้วจะต้องนำมาใช้กับรูปแบบเฉพาะของฟังก์ชันการผลิต ปล่อยให้เรานำเอารูปแบบตามแนวยาวแบบเรียบง่ายใน( 5.2 ) BK :
Q = Al แรก

เมื่ออินพุตแต่ละตัวจะคูณด้วย L เอาต์พุตจะได้รับ:
( λl ) B ( λk )=Λ( BK AL )

Λจึงสามารถถูกคาดการณ์ล่วงหน้าไว้ออกจากหน้าที่และการทำงานที่เป็นเนื้อเดียวกันลำดับอย่างต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชั่นการทำงานการผลิตตามแนวยาวเหมือน( 5.2 )โดดเด่นไปด้วยการส่งคืนอย่างต่อเนื่องเพื่อขจัดตะกรันในทุกระดับของเอาต์พุต โรงแรมแห่งนี้ไม่เป็นความจริงสำหรับการทำงานตามแนวยาวโดยมีวาระคงที่( 5.3 )โรงแรมแห่งนี้คือไม่สามารถทำงานเป็นเนื้อเดียวกันและไม่มีให้ตามแนวยาวทำงานร่วมกับที่มีการโต้ตอบกันในระยะสั้น( 5.4 )..
แต่ตอนนี้เราพิจารณาในพีชคณิตที่มีกำลังสองฟังก์ชันใน( 5.5 ):
Q = Al 2 BK 2 Mercedes

เมื่ออินพุตทวีมากขึ้นโดยΛ,เอาต์พุตกำหนดโดย:
( λl 2 ) B ( λk 2 ) C ( λl )( λk )=Λ 2 ( Al 2 BK 2 Thailand )