about Plus Plus sponsors subscribe

about Plus Plus sponsors subscribe to Plus terms of use

HomeArticlesNewsPackagesPodcastsPuzzlesReviewsEbooks

Pointless: The maths of TV gameshows
by John Haigh

Submitted by Rachel on May 7, 2014
One thing that makes TV game shows fun to watch is that there's usually an element of luck involved. Even the brainiest of contestants needs to hedge their bets sometimes, and sometimes the result hinges on things that are totally out of their control. But how (un)lucky is (un)lucky? John Haigh looks at the probabilities of two popular examples.

Pointless

Dice
How lucky is lucky?

This show seeks to reward obscure knowledge: we can all name some football club that has won the FA Cup, but what answer might we give if the aim is to name such a club that other people won't think of?

The test used for obscurity of a (correct) answer is to count how many of 100 randomly selected people give that answer. So although teams like Manchester United or Arsenal will be very popular, I would be confident that Old Carthusians, Clapham Rovers or Blackburn Olympic would get very few mentions – probably zero, that much-desired "pointless" answer.

Four couples begin the game, three of them are eliminated over a series of rounds based on a wide variety of subjects. In the final round, the remaining pair select a topic from a list presented to them, and are allowed to offer three possible answers: they will win money if any of their answers are "pointless". Frequently, they will fail to do so, but do give correct answers chosen only by a small number – two or three – of the 100-strong pool. The presenters commiserate with the contestants on their bad luck in giving such good, but not winning, answers. But how unlucky have they really been, in the sense that, had a different set of 100 people been asked that question, an answer they gave would have been "pointless"?

Let $x>0$ be the number among the 100-strong pool that gave a particular answer. Then we will take $x/100$ as our estimate of the probability that a randomly selected person will give that answer, so that the probability a person does not give that answer is taken as $1-x/100.$ It follows that, with a different set of 100 randomly chosen people, the chance that none of them gave that answer is taken as

[ left(1 - frac{x}{100}
ight)^{100}. ]
But a well-known approximation is that, when $x$ is small compared to $N$, then

[ left(1 -frac{x}{N}
ight)^ N approx  e^{-x}, ]
where $e approx 2.1718$ is the basis if the natural logarithm.

(You can read more in The making of the logarithm.)
Now

[ e^{-1} approx 0.37, ; ; e^{-2} approx 0.135 mbox{; ; and; ; } e^{-3}approx 0.05; ]
so even if just two people in the pool gave that answer, the chance it would have been pointless with another pool is quite small, about 0.135 or 13.5%. For a single attempt, only if just one person had given their answer might the epithet "unlucky" be appropriate.

But contestants do offer three answers, so the most frustrating outcome would be if all of them had attracted just one vote from the pool. With a different pool of 100 people, each answer has a 37% chance of being pointless, so the chance of none of the three answers being pointless is

[ (1 - 0.37)^3. ]
This puts the chance that at least one of them is pointless at

[ 1 - (1 - 0.37)^3, ]
about 75%. And that is as unlucky as you can get in this game.

The Million Pound Drop

In this game contestants face a series of questions, each of which has up to four possible answers displayed, but only one is correct. They begin with one million pounds and, with each question, must decide how to split their money among the possible answers. They may select one answer only, or spread it among two or more: any money placed on incorrect answers is lost, and they take away however much they have left after the eighth and final question. Two rules: first, all the money must be placed somewhere; second, at least one answer must attract no money. If they are sure of the answer, they do best to place all their funds on it, but what should they do when they are uncertain between two (or more) answers?

The concept of utility can help. Gambling scruples apart, having an extra £10 for certain is generally felt to be just as attractive as having a 50:50 chance of either £20, or zero, to be determined on the toss of a coin. But most people would rather have an extra £100,000 for certain than face a 50:50 chance of either £200,000 or zero. With these larger sums, twice as much money brings rather less than twice the benefits.

Square root function
The black line is the graph of the function Y = X and the purple curve is the graph of the square root function.

A convenient mathematical function that reflects this is the square root function: we will take the utility of winning £$X$ as $sqrt {X}.$ This means that the utility of winning $X$ increases with $X,$ which makes sense because we'd all like to win more, but it increases much slower than $X$ does. In fact, as $X$ increases, the growth of $sqrt {X}$ slows down, reflecting our observation above. We will base our decisions on maximising the expected (or mean) utility of the amount we take through.
So suppose our current fortune is £$F$ and we are uncertain as between two answers: our intuitive feeling is that answers A and B have respective probabilities $p$ and $q = 1-p$ of being correct, where $0 < p < 1. $ Placing £$X$ on A, and £$(F - X)$ on B leads to an expected utility of

[ psqrt {X} + qsqrt {F-X}. ]
To find the value of $X$ that maximises this, recall that in order to find the maximum of a function you set the derivative equal to zero. In our case this gives:

[ frac{p}{2sqrt {X}} - frac{q}{2sqrt {F - X}}= 0, ]
or

[ frac{X}{F - X}=frac{p^2}{q^2}. ]
To interpret this, suppose you think that A is twice as likely to be correct as B, so $p=2q.$ Then

[ frac{X}{F - X}=frac{p^2}{q^2} = frac{4q^2}{q^2} = 4, ]
so you should put four times as much on A as B. If you think that A is three times as likely as B, then you should put 9 times as much on A as on B — if you still have one million pounds then split it as £900,000 to £100,000. Generally, the amount you place on any answer should be proportional to the square of the chance it is correct.

The same notion carries through if you wish to spread your money among three answers, say with respective chances 1/2, 1/3 and 1/6: when the dust settles after squaring these values, you should split your funds in the ratios 9 : 4 : 1.

About this article

John Haigh
John Haigh teaches the module Mathematics in Everyday Life at Sussex University. With Rob Eastaway, he wrote The hidden mathematics of sport, which has been reviewed on Plus.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เกี่ยวกับบวก สนับสนุนสมัครพร้อมเงื่อนไขการใช้ HomeArticlesNewsPackagesPodcastsPuzzlesReviewsEbooksประเด็น: คณิตศาสตร์ของ TV gameshowsโดยจอห์นริชาร์ดไฮก์เขียนเมื่อ 7 may, 2014 โดยราเชลสิ่งหนึ่งที่ทำให้ทีวีแสดงเกมสนุกดูได้ว่า มีเป็นโดยปกติองค์ประกอบของโชค ต้องตอแหลเดิมพันของพวกเขาบางครั้งแม้แต่การ brainiest ของการแข่งขัน และบางครั้งผลแต่สิ่งที่ทั้งหมดออกจากการควบคุมของพวกเขา แต่วิธี (un) (un) จะโชคดีโชคดี จอห์นริชาร์ดไฮก์มองไปที่กิจกรรมของตัวอย่างนิยมอวกาศลูกเต๋าว่าโชคดีเป็นโชคดีหรือไม่การแสดงนี้พยายามที่จะสะสมความรู้ปิดบัง: เราสามารถทั้งหมดชื่อบางสโมสรฟุตบอลที่มีชนะเอฟเอคัพ แต่คำตอบใดอาจเราให้ถ้าเป้าหมายคือ การตั้งชื่อคลับเป็นคนที่ไม่คิดว่าการทดสอบที่ใช้สำหรับ obscurity ของคำตอบที่ (ถูก) จะนับจำนวน 100 คนโดยการสุ่มเลือกให้คำตอบว่า ดังนั้น แม้ว่าชอบทีมแมนฯ ยูไนเต็ด หรืออาร์เซนอลจะนิยมมาก ฉันจะมั่นใจว่า เก่า Carthusians แคลบแฮมโรเวอร์ หรือแบล็กเบิร์นโอลิมปิกจะได้กล่าวถึงน้อยมาก – คงศูนย์ ที่ต้องการมาก "อวกาศ" ตอบคู่ที่สี่เริ่มเกม สามของพวกเขาออกผ่านชุดของรอบตามหัวข้อที่หลากหลาย ในรอบสุดท้าย คู่ที่เหลือเลือกหัวข้อจากรายการที่แสดงให้พวกเขา และได้ให้คำตอบได้ที่สาม: พวกเขาจะชนะเงินถ้าคำตอบของพวกเขาเป็น "ประเด็น" บ่อย พวกเขาจะไม่สามารถทำเช่นนั้น ได้ให้คำตอบถูกต้องที่เลือกเท่านั้น โดยขนาดเล็ก –สองหรือสาม – สระ 100 แรง ผู้นำเสนอที่เห็นใจแข่งขันบนความซวยให้เช่นดี แต่ไม่ ชนะ คำตอบ ไปแต่ว่ามีพวกเขาแล้ว ในแง่ที่ว่า มีชุดอื่น 100 คนถูกถามคำถาม คำตอบก็จะได้รับ "อวกาศ"ให้ $x > 0$ เป็นจำนวนระหว่างสระ 100 แรงที่ให้คำตอบที่เฉพาะเจาะจง แล้วเราจะใช้ $x / 100$ เป็นของเราประเมินความเป็นไปได้ว่า คนสุ่มเลือกจะให้คำตอบที่ เพื่อให้ความน่าเป็นคนไม่ให้คำตอบที่จะนำมาเป็น $1-x/100 $ ที่เป็นไปตามที่ กับชุดต่าง ๆ ของคนที่เลือกสุ่ม 100 โอกาสที่ไม่มีของพวกเขาให้คำตอบที่จะนำมาเป็น [left (1 - frac{x}{100}
ight)^{100 } . ] แต่ประมาณรู้จักคือ เมื่อ $x$ มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ $N$ แล้ว [left (1 - อี approx frac{x}{N}
ight)^ N ^ {-x }, ] ที่ $e approx 2.1718$ เป็นพื้นฐานถ้าลอการิทึม(คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมในการทำของลอการิทึม.)ขณะนี้ [อี ^ {-1 } approx 0.37, ; ; e ^ {-2 } mbox{ approx 0.135; ; and; ; } อี ^ {-3 } approx 0.05; ] ดังนั้นแม้ว่าคนเพียงสองคนจะให้คำตอบที่ โอกาสที่มันจะมีประเด็นกับสระอื่นเป็นน้อย เกี่ยวกับ 0.135 หรือ 13.5% สำหรับความพยายามที่เดียว ถ้าเพียงผู้เดียวได้รับคำตอบของพวกเขา อาจ epithet "ไป" ได้เหมาะสมแต่แข่งขันเสนอคำตอบสาม เพื่อให้ผลลัพธ์น่าผิดหวังมากที่สุดจะถ้าทั้งหมดของพวกเขาได้ดึงดูดเพียงหนึ่งเสียงจากสระว่ายน้ำ มีสระว่ายน้ำแตกต่างกัน 100 คน แต่ละคำตอบมีโอกาส 37% การอวกาศ ดังนั้นจึงเป็นโอกาสที่ไม่ มีคำตอบที่สามเป็นประเด็น [(1 - 0.37) ^ 3 ] ทำให้โอกาสที่อย่างน้อยหนึ่งประเด็นที่ [(1 - 1 - 0.37) ^ 3, ] ประมาณ 75% และก็ไปกับคุณได้ในเกมนี้หล่นล้านปอนด์ในการแข่งขันเกมนี้หน้าชุดคำถาม ซึ่งมีถึงสี่คำตอบสามารถแสดง แต่เพียงหนึ่งเดียวที่ถูกต้อง พวกเขาเริ่มต้น ด้วยหนึ่งล้านปอนด์ และ กับคำ ต้องตัดสินใจว่า จะแบ่งเงินของพวกเขาในคำตอบที่เป็นไปได้ พวกเขาอาจเลือกหนึ่งคำตอบเท่านั้น หรือแพร่กระจายระหว่างสองคนหรือมากกว่า: เงินไว้บนคำตอบที่ถูกต้องจะหายไป และจะไปอย่างไรมีเหลือหลังจากคำถามที่แปด และสุดท้ายได้ สองกฎ: ครั้งแรก ทั้งหมดเงินต้องวางข้าง ๆ ที่สอง คำตอบต้องดึงดูดเงินไม่ ถ้าแน่ใจคำตอบ บ้างส่วนให้เงินของพวกเขา แต่สิ่งควรทำเมื่อพวกเขาไม่แน่ใจระหว่างคำตอบของสอง (หรือมากกว่า)แนวคิดของอรรถประโยชน์สามารถช่วย พนัน scruples อพาร์ท มีการเพิ่มเติม £10 บางคือโดยทั่วไปรู้สึกเป็นเพียงน่าสนใจมีโอกาสคนละครึ่งปอนด์20 หรือศูนย์ การตัดสินในการโยนเหรียญ แต่คนส่วนใหญ่จะค่อนข้างมีการเสริม £100000 บางหน้าโอกาสของ £200000 หรือศูนย์คนละครึ่ง มีผลขนาดใหญ่เหล่านี้ เงินสองนำประโยชน์ค่อนข้างน้อยกว่าสองครั้งฟังก์ชันรากที่สองเส้นสีดำคือ กราฟของฟังก์ชัน Y = X และเส้นโค้งสีม่วงเป็นกราฟของฟังก์ชันรากที่สองฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์จึงที่แสดงให้เป็นฟังก์ชันรากที่สอง: เราจะใช้ยูทิลิตี้ชนะ £$X$ เป็น $sqrt {X } ซึ่งหมายความ ว่า โปรแกรมอรรถประโยชน์ของชนะ $X$ เพิ่มขึ้นกับ $X$ $ซึ่งทำให้รู้สึกได้เนื่องจากเราทั้งหมดอยากจะชนะมากขึ้น แต่มันเพิ่มมากช้ากว่า $X$ ไม่ ในความเป็นจริง เป็น $X$ เพิ่ม การเติบโตของ $sqrt {X } $ช้า สะท้อนเราสังเกตข้างต้น เราจะยึดการตัดสินใจของเราบน maximising โปรแกรมอรรถประโยชน์ที่คาดหวัง (หรือเฉลี่ย) ของยอดเงินเราใช้ผ่านดังนั้นสมมติว่าโชคของเราปัจจุบันคือ £$F$ และเราไม่แน่ใจระหว่างสองคำตอบ: เรารู้สึกง่ายคือ คำตอบของ A และ B มีลำดับกิจกรรม $p และ $q = 1-p$ ที่ถูกต้อง ที่ $0 < < p 1 วาง £$X$ ใน A และ £$(F-X)$ ใน B นำไปสู่อรรถประโยชน์การคาด [psqrt {X } qsqrt {F-X } + ] การหาค่าของ $X$ ที่วัสดุนี้ จำที่การค้นหาสูงสุดของฟังก์ชันคุณกำหนดเท่ากับอนุพันธ์เป็นศูนย์ ในกรณีนี้ให้: [frac{p}{2sqrt {X } } -frac{q}{2sqrt { F - X } } = 0, ] หรือ [frac{X}{F - X } = frac { p ^ 2 } { q ^ 2 } . ] การตีความนี้ สมมติว่าคุณคิดว่า เป็นสองแนวโน้มที่จะต้องเป็น B, $p ดังนั้น = 2q. $แล้ว [frac{X}{F - X } = frac { p ^ 2 } { q ^ 2 } = frac{4q^2}{q^2 } = 4, ] ดังนั้น คุณควรใส่สี่ครั้งเป็นมากใน A เป็นบี ถ้าคุณคิดว่า เป็นครั้งที่สามที่น่าจะเป็น B แล้วคุณควรใส่ 9 ครั้งเป็นมากในการเป็น B — ถ้าคุณยังคงมีหนึ่งล้านปอนด์ แล้วแยกเป็น £900,000 ไป £100000 ทั่วไป ยอดเงินที่คุณวางบนคำตอบใด ๆ ควรไปสัดส่วนของโอกาสที่ ถูกต้องประกอบแนวคิดเดียวกันผ่านทางว่า ถ้าคุณต้องการกระจายเงินในคำตอบที่สาม มีโอกาสเกี่ยวข้อง 1/2, 1/3 และ 1/6: เมื่อฝุ่นจับคู่หลังจาก squaring ค่าเหล่านี้ คุณควรแบ่งเงินในอัตราส่วน 9:4:1เกี่ยวกับบทความนี้จอห์นริชาร์ดไฮก์จอห์นริชาร์ดไฮก์สอนโมคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันที่มหาวิทยาลัย Sussex กับ Rob Eastaway เขาเขียนคณิตศาสตร์ซ่อนของกีฬา ซึ่งมีการตรวจทานในบวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เกี่ยวกับสปอนเซอร์พลัสพลัสพลัสสมัครเป็นสมาชิกข้อตกลงการใช้HomeArticlesNewsPackagesPodcastsPuzzlesReviewsEbooks ไม่มีจุดหมาย: คณิตศาสตร์ของทีวี gameshows โดยจอห์น Haigh เขียนโดยราเชลใน 7 พฤษภาคม 2014 สิ่งหนึ่งที่ทำให้เกมรายการโทรทัศน์สนุกกับการชมก็คือมักจะมีองค์ประกอบของโชคที่เกี่ยวข้อง แม้แต่ brainiest ของผู้เข้าแข่งขันต้องมีการป้องกันความเสี่ยงเดิมพันของพวกเขาบางครั้งและบางครั้งผลที่ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่มีทั้งหมดออกจากการควบคุมของตน แต่วิธีการ (ยูเอ็น) เป็นโชคดี (ยูเอ็น) โชคดี? จอห์น Haigh มีลักษณะที่น่าจะเป็นของสองตัวอย่างที่เป็นที่นิยม. ไม่มีจุดหมายลูกเต๋าโชคดีว่าเป็นความโชคดี? รายการนี้พยายามที่จะตอบแทนความรู้ปิดบัง: เราทุกคนสามารถตั้งชื่อสโมสรฟุตบอลบางอย่างที่ได้รับรางวัลชนะเอฟเอคัพ แต่สิ่งที่คำตอบที่เราอาจจะให้ถ้าจุดมุ่งหมายคือ การตั้งชื่อเช่นสโมสรว่าคนอื่น ๆ จะไม่คิด? การทดสอบที่ใช้ในการสับสนของ (ถูกต้อง) คำตอบคือการนับจำนวน 100 คนสุ่มเลือกให้คำตอบว่า ดังนั้นถึงแม้ว่าทีมเช่นแมนเชสเตอร์ยูไนเต็ดหรืออาร์เซนอลจะเป็นที่นิยมมากผมจะมั่นใจได้ว่าเก่า Carthusians แคลปแฮมโรเวอร์สหรือแบโอลิมปิกจะได้รับน้อยมากกล่าว -. อาจจะเป็นศูนย์ที่มากต้องการ "จุดหมาย" คำตอบสี่คู่จะเริ่มต้นเกม สามของพวกเขาจะถูกตัดออกกว่าชุดของรอบอยู่บนพื้นฐานของความหลากหลายของอาสาสมัคร ในรอบชิงชนะเลิศคู่ที่เหลือเลือกหัวข้อจากรายการนำเสนอให้กับพวกเขาและได้รับอนุญาตให้มีสามคำตอบที่เป็นไปได้ที่พวกเขาจะชนะเงินถ้าคำตอบของพวกเขา "ไม่มีจุดหมาย" บ่อยครั้งที่พวกเขาจะล้มเหลวที่จะทำเช่นนั้น แต่จะให้คำตอบที่ถูกต้องได้รับการแต่งตั้งโดยเฉพาะจำนวนน้อย - สองหรือสาม - สระว่ายน้ำ 100 ที่แข็งแกร่ง พิธีกรขวัญแข่งขันบนความโชคร้ายของพวกเขาในการให้ที่ดีดังกล่าว แต่ไม่ชนะคำตอบ แต่วิธีการที่โชคร้ายที่พวกเขาได้รับจริงๆในแง่ที่ว่ามีการตั้งค่าที่แตกต่างกันของ 100 คนได้รับการถามคำถามที่พวกเขาให้คำตอบที่จะได้รับ "ไม่มีจุดหมาย"? ให้ $ x> 0 $ เป็นจำนวนระหว่าง 100 ที่แข็งแกร่ง สระว่ายน้ำที่ให้คำตอบโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จากนั้นเราก็จะใช้เวลา $ x / 100 $ เป็นประมาณการของเราที่น่าจะเป็นที่คนที่สุ่มเลือกจะให้คำตอบว่าเพื่อที่ว่าน่าจะเป็นคนที่ไม่ได้ให้คำตอบที่ถูกนำมาเป็น $ 1-x / 100 $ มันเป็นไปตามนั้น กับชุดที่แตกต่างกันของคน 100 คนสุ่มเลือกโอกาสที่ไม่มีของพวกเขาให้คำตอบที่ถูกนำมาเป็น [ left (1 - frac {x} {100} ขวา) ^ {100} ] แต่การประมาณที่รู้จักกันดีก็คือว่าเมื่อ $ x $ มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ $ N $ แล้ว [ left (1 - frac {x} {N} ขวา) ^ n ประมาณ? อี ^ {- x} ] . ที่ $ อี ประมาณ 2.1718 $ เป็นพื้นฐานถ้าลอการิทึมธรรมชาติ(. คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมในการทำลอการิทึม) ขณะนี้ [อี ^ {- 1}? ประมาณ 0.37 ; ; อี ^ {- 2} ประมาณ 0.135 mbox {; ; และ ; ; อี} ^ {- 3} ประมาณ 0.05; ] ดังนั้นแม้ว่าเพียงสองคนที่อยู่ในสระว่ายน้ำให้คำตอบว่าโอกาสที่มันจะได้รับไม่มีจุดหมายที่มีสระว่ายน้ำอีกมีขนาดเล็กมากประมาณ 0.135 หรือ 13.5% สำหรับความพยายามที่เดียวเท่านั้นหากเพียงแค่คนคนหนึ่งได้ให้คำตอบของพวกเขาอาจฉายา "โชคร้าย" จะเหมาะสม. แต่ผู้เข้าแข่งขันจะนำเสนอสามคำตอบดังนั้นผลที่น่าผิดหวังมากที่สุดจะเป็นถ้าทั้งหมดของพวกเขาได้ดึงดูดเพียงหนึ่งเสียงจากสระว่ายน้ำ ด้วยสระว่ายน้ำที่แตกต่างกันของคน 100 คนแต่ละคำตอบมีโอกาส 37% ของการเป็นจุดหมายดังนั้นโอกาสของการไม่มีสามคำตอบเป็นจุดหมายเป็น [(1-0.37) ^ 3 ] ซึ่งจะทำให้โอกาสที่ว่าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นคือไม่มีจุดหมายที่ [1 - (1-0.37) ^ 3 ] ประมาณ 75% และนั่นเป็นโชคร้ายที่คุณจะได้รับในเกมนี้. Drop ล้านปอนด์ในการแข่งขันเกมนี้ต้องเผชิญกับชุดของคำถามแต่ละที่มีถึงสี่คำตอบที่เป็นไปได้ปรากฏ แต่เพียงหนึ่งถูกต้อง พวกเขาเริ่มต้นด้วย£ 1,000,000 และกับคำถามแต่ละข้อจะต้องตัดสินใจว่าจะแบ่งเงินของพวกเขาในหมู่คำตอบได้ พวกเขาอาจจะเลือกคำตอบเพียงคนเดียวหรือกระจายไปในหมู่สองคนหรือมากกว่า: เงินใด ๆ วางอยู่กับคำตอบที่ไม่ถูกต้องจะหายไปและพวกเขาใช้เวลาออกไป แต่พวกเขาได้ทิ้งหลังจากคำถามแปดและสุดท้าย สองกฎแรกเงินทั้งหมดที่ต้องถูกวางไว้ที่ใดที่หนึ่ง; สองอย่างน้อยหนึ่งคำตอบจะต้องดึงดูดเงินไม่มี หากพวกเขาไม่แน่ใจในคำตอบที่พวกเขาทำดีที่สุดที่จะวางเงินของพวกเขาทั้งหมดในเรื่องนี้ แต่สิ่งที่พวกเขาควรจะทำอย่างไรเมื่อพวกเขามีความไม่แน่นอนระหว่างสอง (หรือมากกว่า) คำตอบ? แนวคิดของยูทิลิตี้สามารถช่วย ศิลธรรมการพนันกันได้พิเศษ 10 ปอนด์บางอย่างโดยทั่วไปจะรู้สึกว่าเป็นเพียงเป็นที่น่าสนใจว่ามีโอกาส 50:50 ทั้ง£ 20 หรือศูนย์ที่จะได้รับการพิจารณาในการโยนเหรียญ แต่คนส่วนใหญ่ค่อนข้างจะมีพิเศษ£ 100,000 สำหรับบางกว่าเผชิญกับโอกาสที่ 50:50 ของทั้ง£ 200,000 หรือศูนย์ ด้วยจำนวนเงินเหล่านี้มีขนาดใหญ่สองครั้งเป็นเงินมากที่สุดเท่าที่จะนำค่อนข้างน้อยกว่าสองเท่าของผลประโยชน์. ฟังก์ชั่นรากที่สองเส้นสีดำเป็นกราฟของฟังก์ชั่น Y = X และเส้นโค้งสีม่วงเป็นกราฟของฟังก์ชั่นรากที่สอง. ฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่สะดวก สะท้อนให้เห็นถึงนี้เป็นฟังก์ชั่นรากที่สอง:. เราจะใช้ยูทิลิตี้ในการชนะ£ $ X $ เป็น $ sqrt {X} $ ซึ่งหมายความว่ายูทิลิตี้ในการชนะเพิ่มขึ้น $ $ X กับ $ X, $ ซึ่งจะทำให้ความรู้สึกเพราะเรา ' งทุกคนต้องการที่จะชนะมากขึ้น แต่มันจะเพิ่มช้ากว่า $ X $ ไม่ ในความเป็นจริงเป็น $ X เพิ่มขึ้น $, การเจริญเติบโตของ $ sqrt {X} $ ช้าลงสะท้อนให้เห็นถึงการสังเกตของเราด้านบน . เราจะมีฐานการตัดสินใจของเราในการเพิ่มที่คาดว่าจะ (หรือหมายถึง) ยูทิลิตี้ของจำนวนเงินที่เราจะผ่านดังนั้นคิดว่าโชคลาภในปัจจุบันของเราเป็น£ $ F $ และเรามีความไม่แน่นอนว่าระหว่างสองคำตอบ: ความรู้สึกที่ใช้งานง่ายของเราคือว่าคำตอบ A และ B มี ความน่าจะเป็นของแต่ละ $ P $ และ $ q = 1-P $ ของการเป็นที่ถูกต้องที่ $ 0 <p <1. วาง£ $ $ X $ บนและ£ $ (F - X) $ บน B นำไปสู่การคาดหวังของยูทิลิตี้ [P sqrt {X} + Q sqrt {FX} ] เพื่อหาค่าของ $ $ X ที่เพิ่มนี้, จำได้ว่าในเพื่อหาสูงสุดของฟังก์ชั่นที่คุณกำหนดอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ในกรณีของเรานี้จะช่วยให้: [ frac {p} {2 sqrt {X}} - frac {Q} {2 sqrt {F - X}} = 0 ] หรือ [ frac {X} {F - X} = frac {p ^ 2} {Q ^ 2} ] ในการแปลความหมายนี้สมมติว่าคุณคิดว่าเป็นสองเท่าแนวโน้มที่จะมีความถูกต้องเป็น B ดังนั้น $ p = 2q $ แล้ว. [ frac {X} {F - X} = frac {p ^ 2} { Q ^ 2} = frac {4q ^ 2} {Q} ^ 2 = 4 ] ดังนั้นคุณควรใส่สี่เท่าในขณะที่บีถ้าคุณคิดว่าเป็นครั้งที่สามที่น่าจะเป็น B จากนั้นคุณ ควรใส่ 9 เท่าในขณะที่บน B - ถ้าคุณยังมี£ 1000000 จากนั้นก็แยกเป็น£ 900,000 เพื่อ£ 100,000 โดยทั่วไปจำนวนเงินที่คุณวางบนคำตอบใด ๆ ที่ควรจะเป็นสัดส่วนกับตารางของโอกาสมันถูกต้อง. ความคิดเดียวกันดำเนินผ่านถ้าคุณต้องการที่จะกระจายเงินของคุณในหมู่สามคำตอบ, พูดด้วยโอกาสที่เกี่ยวข้อง 1/2, 1/3 และ 1/6: เมื่อฝุ่น settles หลังจาก squaring ค่าเหล่านี้คุณควรแบ่งเงินของคุณในอัตราส่วน 9: 4: 1. เกี่ยวกับบทความนี้จอห์น Haigh จอห์น Haigh สอนโมดูลคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันที่มหาวิทยาลัยซัสเซ็กซ์ กับร็อบ Eastaway เขาเขียนคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ของการเล่นกีฬาซึ่งได้รับการทบทวนพลัส

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เกี่ยวกับบวกบวกบวกสปอนเซอร์สมัครสมาชิก เงื่อนไขการใช้งาน

homearticlesnewspackagespodcastspuzzlesreviewsebooks

ไร้สาระ : คณิตศาสตร์ของเกมโชว์ทีวี
โดยจอห์น เฮ

ส่งโดยราเชลเมื่อ 7 พฤษภาคม 2014
สิ่งหนึ่งที่ทำให้รายการทีวี เกมส์โชว์ สนุกที่จะดูว่ามักจะมีองค์ประกอบของโชคเข้ามาเกี่ยวข้อง แม้ brainiest ของผู้เข้าแข่งขัน ต้องป้องกันความเสี่ยงเดิมพันของพวกเขาบางครั้งและบางครั้งผลขึ้นอยู่กับสิ่งที่มีทั้งหมดออกจากการควบคุมของพวกเขา แต่อย่างไร ( UN ) โชคดี ( UN ) โชคดี จอห์นเฮดูความน่าจะเป็นของทั้งสองดังตัวอย่าง

ไร้สาระ


โชคดีลูกเต๋าโชคดีล่ะ

แสดงนี้มุ่งตอบแทนความรู้ที่เราสามารถตั้งชื่อบางฟุตบอลคลับที่ได้รับรางวัลชนะเลิศ เอฟเอ คัพแต่สิ่งที่เราอาจจะตอบให้ ถ้าจุดมุ่งหมายคือชื่อเช่นสโมสร ที่คนอื่นไม่คิดว่า ?

แบบทดสอบใช้สำหรับความสับสนของ ( ที่ถูกต้อง ) คำตอบคือ ให้นับจํานวน 100 คน สุ่มเลือกให้ตอบ ดังนั้น ถึงแม้ว่าทีมอย่าง แมนเชสเตอร์ ยูไนเต็ด หรือ อาร์เซนอล จะได้รับความนิยมมาก ผมจะได้มั่นใจว่า คาร์ทูเชียนเก่า ,แคลปแฮมโรเวอร์สแบล็คเบิร์นโอลิมปิค หรือได้น้อยมาก ( อาจจะกล่าวถึงศูนย์มากที่ต้องการ " ไร้สาระ " ตอบ . . .

4 คู่ เริ่มเกม สามของพวกเขาจะถูกตัดออกผ่านทางชุดของรอบขึ้นอยู่กับความหลากหลายของวิชา ใน  รอบสุดท้าย เหลือคู่เลือกหัวข้อจากรายการนำเสนอให้พวกเขา และได้รับอนุญาตให้สามคำตอบที่เป็นไปได้ :พวกเขาจะชนะเงินถ้าใด ๆของคำตอบของพวกเขา " ไม่มีจุดหมาย " บ่อยครั้งที่พวกเขาจะล้มเหลวในการทำเช่นนั้น แต่ให้เลือกคำตอบที่ถูกต้องเพียงจำนวนเล็ก ๆสำหรับสองหรือสาม ) ของร้อยสระ แบบสังเวชกับผู้เข้าแข่งขันที่โชคร้ายในการให้นั้นดี แต่ไม่ชนะ คำตอบ แต่โชคร้ายพวกเขาจริงๆ ในความรู้สึกนั้นมีการตั้งค่าที่แตกต่างกันของ 100 คนถูกถามคำถามนั้น คำตอบที่พวกเขาให้จะได้รับ " ไม่มีจุดหมาย "

ให้ $ x > 0 $ เป็นจำนวนระหว่างร้อยสระว่ายน้ำ ที่ให้คำตอบที่เฉพาะเจาะจง แล้วเราจะนำ $ x / 100 $ เป็นของเราประมาณความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกคนที่จะให้คำตอบแล้วว่าน่าจะเป็นคนไม่ได้ให้คำตอบที่ถูก $ 1-x / 100$ แล้วตามด้วยการตั้งค่าที่แตกต่างกันของ 100 สุ่มเลือกคน โอกาสที่ไม่มีใครให้คำตอบที่ถูกจับเป็น

[ N ซ้าย ( 1 - frac { x } { 100 } )
{ 100 } ]
แต่การประมาณที่รู้จักกันดีคือเมื่อ $ x $ มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ $ n $ แล้ว

[ N ซ้าย ( 1 - frac { x } { n } )
n N ประมาณ  e
{ - x } $ e , ]
ที่ N ประมาณ 2.1718 $ คือพื้นฐานถ้าลอการิทึมธรรมชาติ .

( คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมในการทำของลอการิทึม )

ตอนนี้ N [ e
{ - 1 } N ประมาณ  0.37 , ; ; e
{ 2 } mbox N ประมาณ 0.135 { ; ; ; ; } e
{ 3 } N ประมาณ 0.05 ; ]
ดังนั้นแม้เพียงสองคนในสระว่ายน้ำให้คำตอบ โอกาสมันก็ไร้สาระกับสระอื่นค่อนข้างเล็กประมาณ 0.135 หรือ 13.5 ล้านบาท สำหรับความพยายามที่เดี่ยวแต่ถ้าใครมีคำตอบของพวกเขาอาจได้รับฉายา " โชคร้าย " จะเหมาะสม .

แต่ผู้เข้าแข่งขันเสนอสามคำตอบ ดังนั้นผลที่น่าผิดหวังมากที่สุดจะเป็นถ้าทั้งหมดของพวกเขาได้ดึงดูดความสนใจเพียงหนึ่งเสียงจากสระว่ายน้ำ ที่มีสระว่ายน้ำที่แตกต่างกัน 100 คน แต่ละคำตอบมี 37% โอกาสของการไร้ความหมาย ดังนั้นโอกาสที่ไม่มีสามคำตอบเป็นจุดหมายอยู่

[ ( 1 - 0.37 )
3 ]
นี้ทำให้โอกาสที่อย่างน้อยหนึ่งของพวกเขาคือจุดหมายที่

[ 1 - ( 1 - 0.37 )
3 N ]
ประมาณ 75% และนั่นคือโชคร้ายที่คุณสามารถได้รับในเกมนี้

ล้านปอนด์ปล่อย

ในเกมนี้ผู้เข้าแข่งขันต้องเผชิญกับชุดของคำถามแต่ละที่มีถึงสี่คำตอบได้แสดง แต่เพียงหนึ่งที่ถูกต้อง พวกเขาเริ่มต้นด้วยหนึ่งล้านปอนด์ และ แต่ละคำถามต้องตัดสินใจว่าจะแบ่งเงินระหว่างคำตอบที่เป็นไปได้ พวกเขาอาจจะเลือกคำตอบเดียวเท่านั้น หรือแพร่กระจายระหว่างสองหรือมากกว่า : เงินใด ๆที่วางอยู่บนคำตอบไม่ถูกต้องจะหายไปและพวกเขาไปเท่าที่พวกเขามีซ้ายหลังที่แปดและสุดท้าย  คำถาม สองกฎแรก เงินทั้งหมดจะถูกวางไว้ที่ 2 อย่างน้อยหนึ่งตอบไม่ต้องดูดเงินถ้าพวกเขาไม่แน่ใจในคำตอบ พวกเขาทำได้ดีที่สุดที่เงินทั้งหมดของพวกเขาใน แต่สิ่งที่พวกเขาควรจะทำอย่างไรเมื่อพวกเขาไม่แน่ใจระหว่างสอง ( หรือมากกว่า ) คำตอบ ?

แนวคิดของยูทิลิตี้ที่สามารถช่วยให้ การพนันศีลธรรมกัน มีพิเศษกว่า 10 แน่นอนโดยทั่วไปรู้สึกจะเป็นเพียงที่น่าสนใจมี 50 : 50 โอกาสของทั้ง 20 แห่ง หรือศูนย์ จะมุ่งมั่นในการโยนเหรียญแต่คนส่วนใหญ่จะค่อนข้างมีพิเศษกว่า 100000 บางกว่าหน้า 50 โอกาสให้รัฐบาล 200000 หรือศูนย์ ที่มีผลรวมขนาดใหญ่เหล่านี้สองครั้งเป็นเงินมาก ทำให้ค่อนข้างน้อยกว่าสองเท่าประโยชน์

กรณฑ์ฟังก์ชัน
สีดำเส้นกราฟของฟังก์ชัน y = x และสีม่วงเส้นโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชันรากที่สอง .

สะดวกทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่สะท้อนให้เห็นถึงรากสแควร์ : เราจะใช้สาธารณูปโภคของรัฐบาลชนะ $ x $ เป็น $ SQRT { x } . $ ซึ่งหมายความว่าอรรถประโยชน์ของการชนะ $ x $ เพิ่มขึ้น $ x $ ซึ่งทำให้รู้สึกเพราะเราทุกคนต้องการที่จะชนะมากขึ้น แต่มันเพิ่ม ช้ากว่า $ x $ แล้ว ในความเป็นจริง , เป็น $ x $ เพิ่มการเจริญเติบโตของ $ { x } $ ช้าลง SQRT , สะท้อนให้เห็นถึงการสังเกตของเราข้างต้นพวกเราจะฐานการตัดสินใจของเราบนพื้นที่ที่คาดหวัง ( หรือหมายถึงอรรถประโยชน์ของยอดเงินที่เราต้องผ่าน ก็คิดว่าโชค
ในปัจจุบันของเราได้รับ $ F $ และเราไม่แน่ใจระหว่างสองตอบ : ความรู้สึกที่ใช้งานง่ายของเราเป็นคำตอบ A และ B มีความน่าจะเป็น $ P $ 2 และ $ q = 1-p $ เป็น ถูกต้อง , ที่ $ 0 < p < 1 $ $ x $ ในการลดลงและลดลง $ f - X $ B ) นำไปสู่อรรถประโยชน์ที่คาดหวังของ

[ p { x } Q / SQRT SQRT { f-x } ]
หาค่า $ x $ ที่เพิ่มนี้ จำได้ว่า ในการค้นหาสูงสุดของฟังก์ชันที่คุณตั้งมาเท่ากับศูนย์ ในกรณีของเรานี้ให้ :

[ frac { p } { x } { 2 } SQRT frac { Q } { 2 SQRT { f - X } } = 0 , [

]
หรือ N frac { x } { f - x } = frac { p
q
2 } { 2 } ]
ตีความนี้ สมมติว่า คุณคิดว่าเป็นสองเท่าแนวโน้มที่จะแก้ไขโดย Bดังนั้น $ n = 2 $ แล้ว

[ frac { x } { f - x } = frac { p
q
2 } { 2 } = frac { 4Q
2 } { Q
2 } = 4 N ]
ดังนั้นคุณควรใส่สี่เท่าใน เป็นบี ถ้าคุณคิดว่าเป็นสามครั้งเป็นโอกาสเป็น B , แล้วคุณควรวาง 9 เท่าบนเป็น B - ถ้าคุณยังมีหนึ่งล้านปอนด์แล้วแยกมันเป็นรัฐบาล 900000 ที่จะได้รับ 100000 . โดยทั่วไปจำนวนเงินที่คุณวางไว้บนคำตอบควรจะได้สัดส่วนกับตารางของโอกาสถูกต้อง

ความคิดเดียวกันประกอบผ่านถ้าคุณต้องการที่จะกระจายเงินของคุณในสามคำตอบ พูดกับแต่ละโอกาส 1 / 2 , 1 / 3 และ 1 / 6 : เมื่อฝุ่นจางลง หลังจากยกค่าเหล่านี้คุณ ควรแยกเงินของคุณในอัตราส่วน 9 : 4 : 1 .

เกี่ยวกับบทความนี้ จอห์น เฮ

จอห์นเฮสอนโมดูลคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันที่ซัสเซ็กซ์มหาวิทยาลัย กับ Rob eastaway เขาเขียนซ่อนคณิตศาสตร์ของกีฬา ซึ่งได้รับการตรวจสอบใน Plus