If the student has really conceived

If the student has really conceived a plan, the teacher has now a relatively peaceful time. The main danger is that the student forgets his plan. This may easily happen if the student received his plan from outside, and accepted it on the authority of the teacher; but if he worked for it himself, even with some help, and conceived the final idea with satisfaction, he will not lose this idea easily. Yet the teacher must insist that the student should check each step.
We may convince ourselves of the correctness of a step in our reasoning either “intuitively” or “formally.” We may concentrate upon the point in question till we see it so clearly and distinctly that we have no doubt that the step is correct; or we may derive the point in question according to formal rules. (The difference between “insight” and “formal proof” is clear enough in many important cases; we may leave further discussion to philosophers.)
The main point is that the student should be honestly convinced of the correctness of each step. In certain cases, the teacher may emphasize the difference between “seeing” and “proving”: Can you see clearly that the step is correct? But can you also prove that the step is correct?
12. Example. Let us resume our work at the point where we left it at the end of section 10. The student, at last, has got the idea of the solution. He sees the right triangle of which the unknown x is the hypotenuse and the given height c is one of the legs; the other leg is the diagonal of a face. The student must, possibly, be urged to introduce suitable notation. He should choose y to denote that other leg, the diagonal of the face whose sides are a and b. Thus, he may see more clearly the idea of the solution which is to introduce anauxiliary problem whose unknown is y. Finally, working at one right triangle after the other, he may obtain(see Fig. 1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ถ้านักเรียนได้รู้สึกจริง ๆ แผน ครูได้ตอนนี้เป็นเวลาที่ค่อนข้างเงียบสงบ อันตรายหลักคือ ให้นักเรียน forgets แผน นี้ได้อาจเกิดขึ้นถ้านักเรียนได้รับแผนจากภายนอก และยอมรับในอำนาจของครู แต่ถ้าเขาทำงานนั้นเอง แม้จะ มีบางช่วย และความคิดที่สุดท้ายจะ มีความพึงพอใจ เขาจะไม่สูญเสียความคิดนี้ได้อย่างง่ายดาย ครูยัง ต้องยืนยันว่า นักเรียนควรตรวจสอบแต่ละขั้นตอนเราอาจมั่นใจตนเองความถูกต้องของขั้นตอนในการใช้เหตุผลของเรา "หมด" หรือ "อย่างเป็น ทางการ" เราอาจตั้งตามจุดที่สงสัยจนเราเห็นได้ชัดเจนมาก และอย่างเห็นได้ชัดว่า เรามีข้อสงสัยที่ขั้นตอนที่ถูกต้อง หรือเราอาจได้รับจุดที่สงสัยตามกฎอย่างเป็นทางการ (ความแตกต่างระหว่าง "ความเข้าใจ" และ "ทางหลัก" จะชัดเจนพอในหลายกรณีสำคัญ เราอาจปล่อยเพิ่มเติมสนทนากับปรัชญา)จุดหลักอยู่ที่นักเรียนควร convinced สุจริตอย่างของความถูกต้องของแต่ละขั้นตอน ในบางกรณี ครูอาจเน้นความแตกต่างระหว่าง "การเห็น" และ "การพิสูจน์": คุณสามารถเห็นได้ชัดเจนว่า ขั้นตอนถูกต้องหรือไม่ แต่คุณสามารถยังพิสูจน์ว่า ขั้นตอนถูกต้องหรือไม่12. ตัวอย่าง ให้เรากลับมาทำงานที่จุดที่เราทิ้งท้ายส่วน 10 นักเรียน ที่สุด มีความคิดในการแก้ปัญหา เขามองเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่ง x ไม่ทราบ hypotenuse และ c ความสูงที่กำหนดหนึ่งขา ขาเป็นเส้นทแยงมุมของใบหน้า นักเรียนต้อง อาจจะ สามารถกระตุ้นให้แนะนำสัญกรณ์ที่เหมาะสม เขาควรเลือก y เพื่อแสดงที่สลับ เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านจะเป็น และ b ดังนั้น เขาอาจเห็นชัดเจนมากขึ้นความคิดของการแก้ปัญหาซึ่งแนะนำ anauxiliary ปัญหาไม่ทราบคือ y ในที่สุด ทำงานที่สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งหลังจากอื่น เขาอาจได้รับ (ดู Fig. 1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หากนักเรียนได้คิดจริงๆแผนครูมีตอนนี้เป็นเวลาที่ค่อนข้างเงียบสงบ อันตรายที่สำคัญคือนักเรียนลืมแผนของเขา นี้ได้อย่างง่ายดายอาจเกิดขึ้นได้หากนักเรียนที่ได้รับแผนของเขาจากภายนอกและเป็นที่ยอมรับได้ในอำนาจหน้าที่ของครูนั้น แต่ถ้าเขาทำงานให้กับตัวเองถึงแม้จะมีความช่วยเหลือบางส่วนและรู้สึกความคิดสุดท้ายกับความพึงพอใจของเขาจะไม่สูญเสียความคิดนี้ได้อย่างง่ายดาย แต่ครูจะต้องยืนยันว่านักศึกษาควรตรวจสอบแต่ละขั้นตอน.
เราอาจจะโน้มน้าวตัวเองของความถูกต้องของขั้นตอนในการให้เหตุผลของเราทั้ง "สังหรณ์ใจ" หรือ "อย่างเป็นทางการ." เราอาจจะมีสมาธิอยู่กับจุดที่มีปัญหาจนเราเห็นมันอย่างชัดเจนและ เห็นได้ชัดว่าเรามีข้อสงสัยว่าขั้นตอนที่ถูกต้องไม่มี หรือเราอาจเป็นผลมาจุดในคำถามตามกฎอย่างเป็นทางการ (ความแตกต่างระหว่าง "ความเข้าใจ" และ "การพิสูจน์อย่างเป็นทางการ" เป็นที่ชัดเจนเพียงพอในกรณีที่สำคัญอีกมากมายที่เราอาจจะออกจากการอภิปรายต่อไปนักปรัชญา.)
จุดหลักคือการที่นักเรียนควรจะเชื่อมั่นในความถูกต้องตรงไปตรงมาของแต่ละขั้นตอน ในบางกรณีที่ครูอาจเน้นความแตกต่างระหว่าง "เห็น" และ "พิสูจน์": คุณสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนว่าขั้นตอนที่ถูกต้อง? แต่คุณยังสามารถพิสูจน์ได้ว่าขั้นตอนที่ถูกต้อง?
12 ตัวอย่าง ขอให้เรากลับมาทำงานของเราได้ที่จุดที่เราทิ้งมันไว้ในตอนท้ายของมาตรา 10 นักเรียนที่ผ่านมาได้มีความคิดในการแก้ปัญหา เขาเห็นรูปสามเหลี่ยมขวาของที่ไม่รู้จัก x เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากและความสูงที่ได้รับคเป็นหนึ่งในขา; ขาอื่น ๆ ที่เป็นเส้นทแยงมุมของหน้า นักเรียนจะต้องอาจจะได้รับการกระตุ้นที่จะแนะนำสัญกรณ์ที่เหมาะสม เขาควรจะเลือก Y เพื่อแสดงว่าขาอื่น ๆ , เส้นทแยงมุมของใบหน้าด้านข้างที่มีอยู่และ b ดังนั้นเขาอาจจะเห็นได้ชัดเจนมากขึ้นความคิดในการแก้ปัญหาซึ่งเป็นปัญหาที่จะแนะนำ anauxiliary ซึ่งเป็นปีที่ไม่รู้จัก ในที่สุดการทำงานที่สามเหลี่ยมขวาหนึ่งหลังจากที่อื่น ๆ เขาอาจจะได้รับ (ดูรูปที่ 1).

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ถ้านักเรียนได้จริงๆรู้สึกแผน ครูมีเวลาที่ค่อนข้างเงียบสงบ อันตรายหลักที่นักเรียนลืมแผน นี้อาจเกิดขึ้นได้อย่างง่ายดาย ถ้านักเรียนได้รับแผนจากภายนอก และการยอมรับในอำนาจของครู แต่ถ้าเขาทำมันด้วยตัวเขาเอง แม้ด้วยความช่วยเหลือบางอย่าง และรู้สึกความคิดสุดท้ายกับความพึงพอใจเขาจะไม่สูญเสียความคิดนี้ง่ายๆ แต่ครูจะต้องยืนยันว่า นักเรียนควรตรวจสอบแต่ละขั้นตอน
เราอาจโน้มน้าวตัวเองของความถูกต้องของขั้นตอนในเหตุผลของเรา " สังหรณ์ใจ " หรือ " อย่างเป็นทางการ " เราอาจจะสนใจในประเด็นคำถาม จนเราเห็นมันชัดเจนและเด่นชัดว่าเราไม่มีสงสัยว่าขั้นตอนที่ถูกต้อง ;หรือเราอาจสร้างประเด็นคำถามตามกฎอย่างเป็นทางการ ( ความแตกต่างระหว่าง " ความเข้าใจ " และ " หลักฐาน " อย่างเป็นทางการเป็นที่ชัดเจนเพียงพอในกรณีสำคัญมากเราอาจออกจากการอภิปรายเพิ่มเติมถึงนักปรัชญา )
ประเด็นหลักที่นักเรียนควรจะบอกตามตรงความมั่นใจในความถูกต้องของแต่ละขั้นตอน ในบางกรณีครูอาจเน้นความแตกต่างระหว่าง " เห็น " และ " พิสูจน์ " : คุณสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนว่า ขั้นตอนที่ถูกต้อง ? แต่คุณยังสามารถพิสูจน์ได้ว่า ขั้นตอนที่ถูกต้องหรือไม่
12 ตัวอย่าง ให้เรากลับไปทำงานของเรา ณจุดที่เราทิ้งไว้ในตอนท้ายของมาตรา 10 นักเรียน ที่ล่าสุดได้มีความคิดในการแก้ปัญหาเขาเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งไม่รู้จัก x เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากและระบุความสูง C เป็นหนึ่งในขา ; ขาอื่น ๆ คือ มุมของใบหน้า นักเรียนจะต้องอาจจะเรียกร้องให้มีการแนะนำที่เหมาะสมสัญกรณ์ เขาควรเลือก Y ไปจนถึงขา อื่น ๆ , เส้นทแยงมุมของใบหน้าที่มีด้านเป็น A และ B ดังนั้นเขาอาจจะเห็นชัดมากขึ้นความคิดของโซลูชั่นที่แนะนำ anauxiliary ปัญหาของใครไม่ทราบจะวายในที่สุด การทำงานในสามเหลี่ยมด้านขวาหลังจากที่อื่น ๆ เขาอาจจะได้ ( ดูรูปที่ 1 )