(7) Xσ∈Sn(−1)Ip Yni=1xi,σ(i) =Xσ∈Sn

(7) X
σ∈Sn
(−1)Ip Yn
i=1
xi,σ(i) =
X
σ∈Sn
(−1)Ip Yn
i=1

di,σ(i)xi,σ(i) + bi,σ(i)


,
where Sn is the set of all permutations σ = (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) of the
integer numbers 1, 2, . . . , n; Ip denotes the number of inverses of the permutation
σ. The formula (7) is an equality of two polynomials of n
2 variables
xi,j ∈ F, i, j = 1, 2, . . . , n. If two polynomials are equal then coefficients are
equal, respectively. On the left side of (7) we have the term 1 ·
Qn
i=1 xi,σ(i)
;
on the right side there is Qn
i=1 di,σ(i)
·
Qn
i=1 xi,σ(i)
. Hence we obtain (3) for
every permutation σ.
Let k ∈ {1, 2, . . . , n} be fixed. On the right side of (7) we find the term
of n − 1 variables Qn
i=1 i6=k
di,σ(i)xi,σ(i)bk,σ(k)
. There is not this term on the
left side of (7). Therefore Qn
i=1 i6=k
di,σ(i)xi,σ(i)bk,σ(k) = 0 holds. From (3)
we have di,σ(i) 6= 0 and we obtain bk,σ(k) = 0 for arbitrary k ∈ {1, 2, . . . , n}.
Because σ was an arbitrary permutation, we obtain bi,j = 0 for all i, j =
1, 2, . . . , n.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(7) XΣ∈Sn(−1)Ip Ynฉัน = 1xi,σ(i) =XΣ∈Sn(−1)Ip Ynฉัน = 1di,σ(i)xi,σ(i) + bi,σ(i)
,ชุดของσสับทั้งหมด Sn = (σ(1), σ(2),..., σ(n)) ของการจำนวนเต็มหมายเลข 1, 2,..., n Ip แสดงหมายเลขของ inverses ของการเรียงสับเปลี่ยนสูตรσ. (7) จะมีความเสมอภาคของ polynomials สองของ nตัวแปร 2ซี เจ∈ F, i, j = 1, 2,..., n ถ้า polynomials สองเท่า แล้วสัมประสิทธิ์มีเท่ากับ ตามลำดับ ทางด้านซ้าย (7) เราได้ขาดระยะ 1ห้องพักฉัน = xi,σ(i) ที่ 1;ด้านขวา มีห้องพักฉัน = di,σ(i) ที่ 1·ห้องพักฉัน = xi,σ(i) ที่ 1. ดังนั้น เราขอรับ (3) สำหรับσทุกการเรียงสับเปลี่ยนให้ k ∈ {1, 2,..., n } เป็นถาวร ทางด้านขวา (7) เราพบคำของ n − 1 ตัวแปรที่ห้องพักฉัน = 1 i6 = kdi,σ(i)xi,σ(i)bk,σ(k). ไม่มีคำนี้ในการด้านซ้าย (7) ดังนั้นห้องพักฉัน = 1 i6 = kdi,σ(i)xi,σ(i)bk,σ(k) = 0 ถือ (3)เรามี di,σ(i) 6 = 0 และเราได้รับ bk,σ(k) = 0 สำหรับกำหนด k ∈ {1, 2,..., n }เนื่องจากσ เรียงสับเปลี่ยนการกำหนด เรารับสอง j = 0 ทุก i, j =1, 2, . . . , n.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(7) X
σ∈Sn
(-1) Ip Yn
i = 1
Xi, σ (i) =
X
σ∈Sn
(-1) Ip Yn
i = 1 di, σ (i) Xi, σ (i) + สอง , σ (i) ? , Sn ที่เป็นชุดของทุกพีชคณิต = σ (σ (1), σ (2),..., σ (n)) ของตัวเลขจำนวนเต็ม 1, 2, . . , n; Ip หมายถึงจำนวนของแปรผกผันของการเปลี่ยนแปลงσ สูตร (7) เป็นความเท่าเทียมกันของสองพหุนามของ n 2 ตัวแปรXi, J ∈ F, I, J = 1, 2, . . , n หากทั้งสองมีค่าเท่ากันหลายชื่อแล้วมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับตามลำดับ ที่ด้านซ้ายของ (7) เรามีระยะ 1 · Qn i = 1 Xi, σ (i) ; บนด้านขวามี Qn i = 1 di, σ (i) · Qn i = 1 Xi, σ ( ฉัน) ดังนั้นเราได้รับ (3) สำหรับการเปลี่ยนแปลงทุกσ. ให้ k ∈ {1, 2, . . , n} ได้รับการแก้ไข อยู่ทางด้านขวาของ (7) เราพบว่าระยะของ n - 1 ตัวแปร Qn i = 1 i6 = k di, σ (i) Xi, σ (i) BK, σ (k) ไม่มีคำนี้ในด้านซ้าย (7) ดังนั้น Qn i = 1 i6 = k di, σ (i) Xi, σ (i) BK, σ (k) = 0 ถือ จาก (3) เรามีดิ, σ (i) 6 = 0 และเราได้รับ BK, σ (k) = 0 k ∈พล {1, 2, . . , n}. เพราะσคือการเปลี่ยนแปลงโดยพลการที่เราได้รับสอง, J = 0 สำหรับทุกฉัน j = 1, 2, . . , n

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 7 ) σ∈ SN
x
( − 1 ) = 1

IP ใน Xi σ ( ฉัน ) =
x
σ∈ SN
( − 1 ) = 1 IP ใน

ได , σ ( ฉัน ) Xi σ ( ฉัน ) บี σ ( I )



ที่ SN เป็นชุดเพิ่มเงินทั้งหมดσ = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) . . . . . . . σ , ( n )
จำนวนเต็มตัวเลข 1 , 2 , . . . . . . . . , n ; IP หมายถึงจำนวนตรงกันข้ามของการเปลี่ยนแปลง
σ . สูตร ( 7 ) เป็นภาคสองของตัวแปรพหุนาม n
2
Xi ของ J ∈ F , i , j = 1 , 2 , . . . . . . . . N .ถ้าสองพหุนามเท่ากันแล้ว )
เท่า ตามลำดับ บนด้านซ้ายของ ( 7 ) เรามีเทอม 1 ด้วย

ผม 24 = 1 ซี σ ( I )
;
ข้างขวามีควินิน
= 1 ดิ σ ( ผม )


ผมด้วย 24 = 1 ซี σ ( ผม )

ดังนั้นเราได้รับ ( 3 ) ทุกการเปลี่ยนแปลงσ
.
ให้ k ∈ { 1 , 2 , . . . . . . . . , n } ได้รับการแก้ไข บนด้านขวาของ ( 7 ) เราหาคำว่า
n − 1 ตัวแปรที่
= 1 = k
เสียใจดิ σ ( ฉัน ) Xi σ ( ฉัน ) BK σ ( K )

ไม่มีระยะบน
ข้างซ้าย ( 7 ) ดังนั้น ซอฮยอน
= 1 = k
เสียใจดิ σ ( ฉัน ) Xi σ ( ฉัน ) BK σ ( k ) = 0 เก็บ จาก ( 3 )
เราดิ σ ( ฉัน ) 6 = 0 และเราได้รับบีเค σ ( K ) k = 0 ∈โดยพล { 1 , 2 , . . . . . . . . , n } .
เพราะσเป็นการเรียงสับเปลี่ยนโดยพลการ เราขอรับบิ , J = 0 สำหรับฉัน , J =
1 , 2 , . . . . . . . . N .