matical Forum, Vol. 6, 2011, no. 23

matical Forum, Vol. 6, 2011, no. 23, 1103 - 1111
On Near Left Almost Rings
Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad Raees
Department of Mathematics
Quaid-i-Azam University, Islamabad, Pakistan
[e-mail], [e-mail]
Abstract. In this paper we give the notion of near left almost ring (abbreviated
as nLA-ring) (R,+, ·), i.e. (R, +) is an LA-group, (R, ·) is an LAsemigroup
and one distributive property of ‘·’ over ‘+’ holds, where both the
binary operations “+” and “·” are non-associative. An nLA-ring is a generalization
of an LA-ring and footed parallel to the near ring.
Mathematics Subject Classification: 16A76, 20M25, 20N02
Keywords: Near ring, LA-ring, Near LA-ring
1. Introduction and Preliminaries
The concept of a left almost semigroup (abbreviated as an LA-semigroup)
was introduced by M. Kazim and M. Naseeruddin [1], which is in fact a generalization
of commutative semigroup. A groupoid (S, ∗) is called an LA-semigroup
if, (a ∗ b) ∗ c = (c ∗ b) ∗ a for all a, b, c ∈ S, holds. It is also known as an Abel-
Grassmann’s groupoid (abbreviated as an AG-groupoid), for instance see [6].
Later, the structure was explored in [2] and [4]. Further in [3], the concept
is extended to the left almost group LA-group (i.e., a non-empty set G with
a binary operation “∗” such that (G, ∗) is an LA-semigroup having left identity
e and each element of G has left inverse). LA-group is a non associative
structure but has a sort of resemblance with a commutative group.
By [8], a non-empty set R with two binary operations “+” and “·” is called a
left almost ring (LA-ring) if (R, +) is an LA-group, (R, ·) is an LA-semigroup
and distributive laws of “·” over “+” hold. This structure enhanced [7] as a
generalization of commutative semigroup rings.
By [5] a near-ring is a non-empty set N together with two binary operations
“+” and “·” such that (N, +) is a group (not necessarily abelian), (N, ·) is
a semigroup and one sided distributive (left or right) of “·” over “+” holds.
The theory of near-ring runs completely parallel in both cases (left near-ring
or right near-ring). In this study, we consider left near-ring. Most examples
of near-rings show, 0n = 0 and (−n)m = −nm do not hold in general. One
1104 Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad Raees
therefore defines for a near-ring N: (i). N0 = {n ∈ N : 0n = 0} is called a zerosymmetric
part of N. (ii). Nc = {n ∈ N : 0n = n} = {m ∈ N : ∀ n ∈ N : nm = m}
is called a constant part of N.
In this study, we introduce the notion of a near left almost ring (abbreviated
as an nLA-ring), which is in fact a generalization of a left almost ring. It
possesses properties which we usually encounter in ”near ring” and “LA-ring”.
We observe that properties which owned by an LA-ring are mostly true for an
nLA-ring. Also we see that in an nLA-ring the zero symmetric part and the
constant part do not exist while they do in near-ring. Although, this structure
is non-commutative and non-associative but due to its structural properties it
behaves like a commutative ring and a commutative near ring.
2. Near LA-Ring
In this section, we define a near left almost ring and give few examples. Also
we touch its elementary properties and discuss the shape of substructures.
2.1. Definition and examples.
Definition 1. A non empty set N with two binary operation “+” and “·” is
called a near left almost ring (or simply an nLA-ring) if and only if
(nLA1). (N, +) is an LA-group.
(nLA2). (N, ·) is an LA-semigroup.
(nLA3). Left distributive property of · over + holds.
i.e. a · (b + c) = a · b + a · c for all a, b, c ∈ N.
The near LA-ring (nLA-ring) is denoted in ordered triplet as (N,+, ·).
In view of (nLA3), one speaks more precisely of ”left near LA-ring”. Postulating
(nLA3a) (a + b) · c = a · c + b · c for all a, b, c ∈ N.
Instead of (nLA3), one gets ”right near LA-ring”. The theory runs completely
parallel in both cases.
In this paper we through out consider left near LA-ring.
Example 1. N = {a, b, c, d, e} is an nLA-ring with binary operations “∗”
and “” defined on it which are as follows;
∗ a b c d e
a a b c d e
b e a b c d
c d e a b c
d c d e a b
e b c d e a
 a b c d e
a a a a a a
b a b c d e
c a d b e c
d a c e b d
e a e d c b
Example 2. Let (N,+, ·) be an nLA-ring, then A = {f : f : N −→ N} is an
nLA-ring with binary operations defined as follows
(f + g) (n) = f (n) + g (n) and (f · g) (n) = f (n) · g (n) for all n ∈ N.
On near left almost rings 1105
Remark 1. An LA-ring is an nLA-ring but a near-ring does not implies
nLA-ring.
Proposition 1. Let (F,+, ·) be any field. Then (F, ∗,) is an nLA-ring by
defining the binary operations as; for a, b, c ∈ F, a ∗ b = b − a and
a  b =

0 if a = 0 or b = 0
b · a−1 other wise

.
Proof. Let F be a field, 0 and 1 are additive and multiplicative identities
respectively. By [3], (F, ∗) is an LA-group. By theorem [4, theorem 2.1],
(F {0} ,) is an LA-semigroup. Let a, b, c ∈ F, if any of a, b and c is zero,
then
(a  b)c = (c  b)a = 0, so (F,) is an LA-semigroup. Now for distributive
law, let for each a, b, c ∈ F, then a  (b ∗ c) = a  (c − b) = (c − b) · a−1 =
c ·a−1−b ·a−1 = ac−ab = ab∗ac. Consider (b ∗ c)a = (c − b)a =
a· (c − b)
−1. Since in general (c − b)
−1 = c−1−b−1, so (b ∗ c)a = ba∗ac.
It means that right distributive law of  over ∗ does not hold. Hence (F, ∗,)
is an nLA-ring.
2.2. Elementary properties of an nLA-Ring. We give few basic properties
of an nLA-ring, some of which are different than that of a near-ring.
Theorem 1. If (N,+, ·) is an nLA-ring with additive left identity 0, then for
all a, b ∈ N we have.
(1) a0 = 0.
(2) 0a = 0.
(3) a (−b) = −ab.
(4) −(−a) = a.
(5) −(a + b) = −a − b.
Remark 2. It is important to note that in a near-ring (2) does not hold in
general. It means that in an nLA-ring both the zero-symmetric part and the
constant part do not exist.
Definition 2. An nLA-ring (N,+, ·) with left identity 1, such that 1 · b = b
for all b ∈ N, is called an nLA-ring with left identity.
A non trivial right near-ring with identity exists but in case of a right nLAring
with left identity, the following proposition speaks differently.
Proposition 2. A right nLA-ring N with left identity 1, is an LA-ring.
Proof. For a, b, c ∈ N
a · (b + c) = (1· a) · (b + c) = ((b + c) · a) · 1, by left invertive law
= (b · a + c · a) · 1, by right distributive
= (b · a) · 1 + (c · a) · 1, by right distributive
= (1· a) · b + (1 · a) · c, by left invertive law
= a · b + a · c .
1106 Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad Raees
It means that a right near LA-ring with left identity implies LA-ring.
Remark 3. A right nLA-ring N with left identity 1 does not exist.
Definition 3. An element a in an nLA-ring (N,+, ·) is called a left zero if
a · b = a similarly, a is a right zero if b · a = a, and if a is both left and right
zero, then a is called a zero element of an nLA-ring (N,+, ·).
Example 3. In example 1, a is a zero element.
Definition 4. An element d of an nLA-ring N is called distributive if for all
n,m ∈ N such that (n + m) d = nd + md. The set of all distributive elements
of an nLA-ring N is denoted by Nd = {d ∈ N : d is distributive}.
2.3. Substructures of an nLA-ring. We begin with the following definition.
Definition 5. A non empty subset S of an nLA-ring N is said to be an nLAsubring
if and only if S is itself an nLA-ring under the same binary operations
as in N.
Example 4. Let N = {a, b, c, d, e, f} be an nLA-ring under the binary operations
defined as follows,
∗ a b c d e f
a a b c d e f
b f a b c d e
c e f a b c d
d d e f a b c
e c d e f a b
f b c d e f a
and
 a b c d e f
a a a a a a a
b a b c d e f
c a c e a c e
d a d a d a d
e a e c a e c
f a f e d c b
Let S = {a, c, e} such that
∗ a c e
a a c e
c e a c
e c e a
and
 a c e
a a a a
c a e c
e a c e
Here S is an nLA-subring of an nLA-ring N.
Theorem 2. A non-empty subset S of an nLA-ring (N,+, ·) is an nLAsubring
if and only if a − b ∈ S and a · b ∈ S for all a, b ∈ S.
Proposition 3. Intersection of two nLA-subrings of an nLA-ring is an nLAsubring.
Corollary 1. Intersection of any number of nLA-subrings of an nLA-ring is
an nLA-subring.
Proposition 4. Let N be an nLA-ring with left identity 1, then
Nd = {d ∈ N : d is distributive} is an nLA-subring of an nLA-ring N.
On near left almost rings 1107
Definition 6. An nLA-subring I of an nLA-ring N is called a left ideal of N
if NI ⊆ I, and I is called a right ideal if for all n,m ∈ N and i ∈ I such that
(i + n)m − nm ∈ I, and is called two sided ideal or simply ideal if it is both
left and right ideal.
Example 5. In example 4, the nLA-subring S is an ideal of N.
Remark 4. In an nLA-ring (N,+, ·), {0} and N are ideals of N called improper
ideals of N.
Corollary 2. Intersection of any number of ideals of an nLA-ring is an ideal.
3. Factor Near LA-ring
Let I be an ideal of an nLA-ring N. Then “≡” is an equivalence relation
on N defined by a ≡ b (mod I ) if and only if a − b ∈ I. This equivalence
relation partitions N into equivalence classes. The set of all equivalence classes
is denoted by N/I, i.e. N/I = {[n] = I + n : n ∈ N}. Now we define binary
operations on N/I as follows:
(I + n) + (I + m) = I + (n + m) and (I + n) (I + m) = I + nm, where I + n, I + m ∈ N/I.
These binary operations are well-defined. Indeed; suppose that I +n = I +m
and I + x = I + y implies that n ∈ I + m and x ∈ I + y. That is n = i + m
and x = j + y for some i, j ∈ I. Now consider
n + x = (i + m) + (j + y) = (i + j) + (m + y) ∈ I + (m + y) =⇒ I + (n + x) = I + (m + y) .
Similarly
nx = (i + m) (j + y) = (i + m) j + (i + m) y
= (0+(i + m) j) + (i + m) y = ((i + m) y + (i + m) j) + 0
= ((i + m) y + (i + m) j) + (−my + my)
= ((0 +

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

matical ฟอรั่ม ฉบับ 6, 2011 หมายเลข 23, 1103-1111ด้านซ้ายใกล้เกือบแหวนTariq ชาห์ Fazal Rehman คุณ และมุ Raeesภาควิชาคณิตศาสตร์เควด-i-ครัวมหาวิทยาลัย อิสลามาบัด ปากีสถาน[e-mail], [e-mail]บทคัดย่อ ในเอกสารนี้ เราให้ของซ้ายใกล้วงแหวนเกือบ (ย่อว่าเป็นวงแหวน nLA) (R +, ·), เช่น (R, +) เป็น LA-กลุ่ม, (R, ·) ได้ LAsemigroupและสมบัติการแจกแจงหนึ่งของ 'เงิน' มากกว่า '+' ได้ ที่ทั้งไบนารีดำเนิน+"และ"·"ไม่สัมพันธ์กัน ลักษณะที่เป็นวงแหวน nLALA-แหวนและเท้าขนานกับวงแหวนใกล้คณิตศาสตร์เรื่องจำแนก: 16A76, 20M 25, 20N02คำสำคัญ: ใกล้วงแหวน LA-แหวน ใกล้วงแหวน LAบทนำและภาพแนวคิดของซ้ายเกือบ semigroup (ย่อเป็นที่ LA-semigroup)แนะนำ โดย M. Kazim และ Naseeruddin M. [1], ในความเป็นจริงซึ่งเป็นลักษณะการของ semigroup สลับกัน Groupoid (S หมาย∗) เรียกว่า LA semigroup มีถ้า, (เครื่องหมาย∗ b) c หมาย∗ =หมาย∗ (หมาย∗ c b) สำหรับเก็บทั้งหมดใน b, c ∈ S มันเป็นที่รู้จักกัน Abel-Groupoid ของ Grassmann (ย่อเป็น AG groupoid การ), เช่นดู [6]ในภายหลัง โครงสร้างถูกสำรวจใน [2] และ [4] ต่อไป [3], ในแนวคิดจะขยายไปยังด้านซ้ายเกือบกลุ่ม LA-กลุ่ม (เช่น แบบชุดว่างเปล่า G ด้วยการดำเนินการ "หมาย∗" เช่น (G หมาย∗) ว่าที่ LA semigroup มีเหลือตัวตนe และแต่ละองค์ประกอบของ G ได้ออกผกผัน) กลุ่ม LA เป็นการเชื่อมโยงไม่โครงสร้างแต่มีการเรียงลำดับของความคล้ายคลึงกับกลุ่ม commutativeโดย [8], R ชุดว่างเปล่า ด้วยการดำเนินการไบนารีสอง+" และ"·"เรียกว่าเป็นด้านซ้ายเกือบแหวน (แหวน LA) ถ้า (R, +) เป็น LA-กลุ่ม เป็น (R, ·) ที่ LA-semigroupและกฎหมายกฎการกระจายของ "·" ผ่าน "+ ค้าง โครงสร้างนี้เพิ่มขึ้น [7] เป็นการลักษณะของแหวนสลับ semigroupโดย [5] แหวนที่ใกล้เป็น N ชุดว่างเปล่าพร้อมกับการดำเนินการฐานสองสอง+" และ"·"เช่นที่ (N, +) เป็นกลุ่ม (จำเป็น), (N, ·) คือsemigroup การและหนึ่งด้านเล็ก (ด้านซ้ายหรือขวา) ของ "·" ผ่าน "และ" เก็บทฤษฎีใกล้วงแหวนพาดขนานกันอย่างสมบูรณ์ในทั้งสองกรณี (ซ้ายใกล้วงแหวนหรือขวาใกล้วงแหวน) ในการศึกษานี้ เราพิจารณาด้านซ้ายใกล้วงแหวน ตัวอย่างส่วนใหญ่การแสดงใกล้วงแหวน 0n = m 0 และ (−n) = −nm ถือทั่วไป อย่างใดอย่างหนึ่ง1104 Tariq ชาห์ Fazal Rehman คุณ และมุ Raeesดังนั้นจึง กำหนดสำหรับ n:ใกล้วงแหวน (i) . N0 = { n ∈ N: 0n = 0 } เรียกว่า zerosymmetric เป็นส่วนของ N. (ii) Nc = { N n ∈: 0n = n } = { m ∈ N: ∀ n ∈ N: nm = m }เรียกว่าส่วนหนึ่งคงที่ของ N.ในการศึกษานี้ เราแนะนำของซ้ายใกล้วงแหวนเกือบ (ย่อว่าเป็นวง nLA-แหวน), ซึ่งอยู่ในความเป็นจริงลักษณะของซ้ายเกือบแหวน มันมีเรามักจะพบใน "ใกล้วงแหวน" และ "LA-แหวน"เราสังเกตว่า คุณสมบัติซึ่งเป็นเจ้าของ โดย LA-แหวนเป็นส่วนใหญ่จริงสำหรับการnLA-แหวน นอกจากนี้ เราเห็นว่าใน nLA-แหวนส่วนแบบศูนย์และส่วนหนึ่งคงไม่มีอยู่ในขณะที่พวกเขาทำในใกล้วงแหวน ถึงแม้ว่า โครงสร้างนี้ไม่สลับ และไม่สัมพันธ์กันแต่เนื่องจากคุณสมบัติของโครงสร้างนั้นทำหน้าที่เหมือนแหวนสลับและสลับใกล้วงแหวน2. ใกล้ LA-แหวนในส่วนนี้ เรากำหนดซ้ายใกล้เกือบแหวน และให้ตัวอย่าง นอกจากนี้เราสัมผัสคุณสมบัติประถม และหารือเกี่ยวกับรูปร่างของ substructures2.1. นิยามและตัวอย่างข้อกำหนด 1 ไม่ใช่ว่างเปล่าชุด N ด้วยการดำเนินการสอง+"และ"·"เรียกว่าซ้ายใกล้วงแหวนเกือบ (หรือเพียงแค่การ nLA-วงแหวน) ถ้าเพียงแต่(nLA1) (N, +) เป็น LA-กลุ่ม(nLA2) (N, ·) มีที่ LA-semigroup(nLA3) สมบัติการแจกแจงด้านซ้ายของฟิลด์ กว่า + ได้·เช่น (b + c) =รับ b + รับ c สำหรับทั้งหมดใน b, c ∈ nใกล้ LA แหวน (แหวน nLA) จะเขียนแทนใน triplet สั่งเป็น (N + เงิน)มุมมอง (nLA3), หนึ่งพูดได้แม่นยำมากขึ้นของ "ซ้ายใกล้ LA-แหวน" Postulating(nLA3a) (มี + b) · c =รับ c + b · c สำหรับทั้งหมดใน b, c ∈ nแทน (nLA3), หนึ่งได้รับ "ใกล้ LA-แหวน" ทฤษฎีการทำงานอย่างสมบูรณ์ขนานในทั้งสองกรณีในเอกสารนี้เราผ่านออกพิจารณาด้านซ้ายใกล้กับ LA-แหวนตัวอย่างที่ 1 N = { a, b, c, d, e } เป็นวงแหวน nLA ที่ มีไบนารีการดำเนินการ "หมาย∗"และ "" กำหนดไว้ซึ่งมีดังนี้หมาย∗เป็น b c d eมี b c d eb e b c de d c b cd e d c be b c d e เป็นมี b c d eที่ที่ที่ที่ที่ที่b เป็น b c d ec เป็น d b e cd d b c ee e d c bตัวอย่างที่ 2 ให้ (N +, ·) เป็นวงแหวน nLA แล้วแบบ = { f: f: N −→ N } เป็นการnLA-ring with binary operations defined as follows(f + g) (n) = f (n) + g (n) and (f · g) (n) = f (n) · g (n) for all n ∈ N.On near left almost rings 1105Remark 1. An LA-ring is an nLA-ring but a near-ring does not impliesnLA-ring.Proposition 1. Let (F,+, ·) be any field. Then (F, ∗,) is an nLA-ring bydefining the binary operations as; for a, b, c ∈ F, a ∗ b = b − a anda  b =0 if a = 0 or b = 0b · a−1 other wise.Proof. Let F be a field, 0 and 1 are additive and multiplicative identitiesrespectively. By [3], (F, ∗) is an LA-group. By theorem [4, theorem 2.1],(F {0} ,) is an LA-semigroup. Let a, b, c ∈ F, if any of a, b and c is zero,then(a  b)c = (c  b)a = 0, so (F,) is an LA-semigroup. Now for distributivelaw, let for each a, b, c ∈ F, then a  (b ∗ c) = a  (c − b) = (c − b) · a−1 =c ·a−1−b ·a−1 = ac−ab = ab∗ac. Consider (b ∗ c)a = (c − b)a =a· (c − b)−1. Since in general (c − b)−1 = c−1−b−1, so (b ∗ c)a = ba∗ac.It means that right distributive law of  over ∗ does not hold. Hence (F, ∗,)is an nLA-ring.2.2. Elementary properties of an nLA-Ring. We give few basic propertiesof an nLA-ring, some of which are different than that of a near-ring.Theorem 1. If (N,+, ·) is an nLA-ring with additive left identity 0, then forall a, b ∈ N we have.(1) a0 = 0.(2) 0a = 0.(3) a (−b) = −ab.(4) −(−a) = a.(5) −(a + b) = −a − b.Remark 2. It is important to note that in a near-ring (2) does not hold ingeneral. It means that in an nLA-ring both the zero-symmetric part and theconstant part do not exist.Definition 2. An nLA-ring (N,+, ·) with left identity 1, such that 1 · b = bfor all b ∈ N, is called an nLA-ring with left identity.A non trivial right near-ring with identity exists but in case of a right nLAringwith left identity, the following proposition speaks differently.Proposition 2. A right nLA-ring N with left identity 1, is an LA-ring.Proof. For a, b, c ∈ Na · (b + c) = (1· a) · (b + c) = ((b + c) · a) · 1, by left invertive law= (b · a + c · a) · 1, by right distributive= (b · a) · 1 + (c · a) · 1, by right distributive= (1· a) · b + (1 · a) · c, by left invertive law= a · b + a · c .1106 Tariq Shah, Fazal ur Rehman and Muhammad RaeesIt means that a right near LA-ring with left identity implies LA-ring.Remark 3. A right nLA-ring N with left identity 1 does not exist.Definition 3. An element a in an nLA-ring (N,+, ·) is called a left zero ifa · b = a similarly, a is a right zero if b · a = a, and if a is both left and rightzero, then a is called a zero element of an nLA-ring (N,+, ·).Example 3. In example 1, a is a zero element.Definition 4. An element d of an nLA-ring N is called distributive if for alln,m ∈ N such that (n + m) d = nd + md. The set of all distributive elementsof an nLA-ring N is denoted by Nd = {d ∈ N : d is distributive}.2.3. Substructures of an nLA-ring. We begin with the following definition.Definition 5. A non empty subset S of an nLA-ring N is said to be an nLAsubringif and only if S is itself an nLA-ring under the same binary operationsas in N.Example 4. Let N = {a, b, c, d, e, f} be an nLA-ring under the binary operationsdefined as follows,∗ a b c d e fa a b c d e fb f a b c d ec e f a b c dd d e f a b ce c d e f a bf b c d e f aand a b c d e fa a a a a a ab a b c d e fc a c e a c ed a d a d a de a e c a e cf a f e d c bLet S = {a, c, e} such that∗ a c ea a c ec e a ce c e aand a c ea a a ac a e ce a c eHere S is an nLA-subring of an nLA-ring N.Theorem 2. A non-empty subset S of an nLA-ring (N,+, ·) is an nLAsubringif and only if a − b ∈ S and a · b ∈ S for all a, b ∈ S.Proposition 3. Intersection of two nLA-subrings of an nLA-ring is an nLAsubring.Corollary 1. Intersection of any number of nLA-subrings of an nLA-ring isan nLA-subring.Proposition 4. Let N be an nLA-ring with left identity 1, thenNd = {d ∈ N : d is distributive} is an nLA-subring of an nLA-ring N.On near left almost rings 1107Definition 6. An nLA-subring I of an nLA-ring N is called a left ideal of Nif NI ⊆ I, and I is called a right ideal if for all n,m ∈ N and i ∈ I such that(i + n)m − nm ∈ I, and is called two sided ideal or simply ideal if it is bothleft and right ideal.Example 5. In example 4, the nLA-subring S is an ideal of N.Remark 4. In an nLA-ring (N,+, ·), {0} and N are ideals of N called improperideals of N.Corollary 2. Intersection of any number of ideals of an nLA-ring is an ideal.3. Factor Near LA-ringLet I be an ideal of an nLA-ring N. Then “≡” is an equivalence relationon N defined by a ≡ b (mod I ) if and only if a − b ∈ I. This equivalencerelation partitions N into equivalence classes. The set of all equivalence classesis denoted by N/I, i.e. N/I = {[n] = I + n : n ∈ N}. Now we define binaryoperations on N/I as follows:(I + n) + (I + m) = I + (n + m) and (I + n) (I + m) = I + nm, where I + n, I + m ∈ N/I.These binary operations are well-defined. Indeed; suppose that I +n = I +mand I + x = I + y implies that n ∈ I + m and x ∈ I + y. That is n = i + mand x = j + y for some i, j ∈ I. Now considern + x = (i + m) + (j + y) = (i + j) + (m + y) ∈ I + (m + y) =⇒ I + (n + x) = I + (m + y) .Similarlynx = (i + m) (j + y) = (i + m) j + (i + m) y= (0+(i + m) j) + (i + m) y = ((i + m) y + (i + m) j) + 0= ((i + m) y + (i + m) j) + (−my + my)= ((0 +