Since π is fixed beforehand and does

Since π is fixed beforehand and does not depend on time, it is given by the initial state y0 ¼yð0Þ. As for Eq. (12), for a given initial state y0, a given strategy uðÞ and a given scenario wðÞ, there is a unique trajectory yðy0;uðÞ;wðÞÞ¼ðyð0Þ;yð1Þ;…;yðT
1Þ;yðTÞÞ. With these notations, and since probabilities then take into account all the scenarios, we can then write the probability of failure as a function of t, y0 and uðÞ: pfðt;y0;uðÞÞ¼P½(τA½0;t;Xðt;πÞAFðτÞjy0;uðÞ ð19Þ The search of reliable designs can be turned into that of initial states y0 such that there is a control strategy uðÞwhich guarantees that the system is reliable with a confidence level β during the planning period. The corresponding reliability kernel, derived from Eq. (14), is simply noted Relðβ;TÞ (instead of Relπ;uðβ;TÞ). It is the following set: Relðβ;TÞ¼fy0AYj(uðÞAUðTÞ;pfðT;y0;uðÞÞr1
βgð 20Þ where the set Y is the state space. In order to compute this kernel, let us now relate it to a mathematical object from stochastic viability theory, the stochastic viability kernel.
4.3. The stochastic viability kernel
Similar to reliability, stochastic viability theory [34,1] focuses on the probability for a system to stay in the survival set during a given time frame. In discrete time, it focuses on the time evolution of a state vector, through a governing equation that is none other than Eq. (16). Stochastic viability assumes that the state vector y(t) is known at each time step, and that given y(t), the probability of being in the survival set at t is also known. Thus, stochastic viability focuses on a very similar problem to that described in Section 4.2. One of its central concepts is the so- called stochastic viability kernel, which importance comes from the original deterministic control framework of viability theory (for a quick overview of viability theory and the viability kernel, see Appendix A). It is defined as the setof all states for which there is a strategy such that the system has a probability β or higher of staying in the survival set S(t) for a given time horizon T. It can be formally defined by the following equation in which it is noted Viab ðβ;TÞ: Viabðβ;TÞ¼fy0AYj(uðÞAUðTÞ;Pð8tA½0;T;Xðt;πÞASðtÞjy0;uðÞÞZβg ð21Þ Stochastic viability is related to the closed-loop reliability problem of Section 4.2 through the remark that: pfðT;y0;uðÞÞ¼1
Pð8tA½0;T;Xðt;πÞASðtÞjy0;uðÞÞ ð22Þ Through Eqs. (20) and (21), the stochastic viability kernel is the reliability kernel of Eq. (20): Relðβ;TÞ¼Viabðβ;TÞð 23Þ Yet, by itself, Eq. (23) does not allow for the computation of the reliability kernel Rel ðβ;TÞ. Its interest comes from the fact that there exists a dynamic programming algorithm to compute the stochastic viability kernel.
4.4. A dynamic programming solution
In this section, we are in the Markovian case, meaning that all the w(t) of Eq. (16) are statistically independent from each other. Then, Doyen and De Lara [1] establish that the problem of finding the stochastic viability kernel can be solved by dynamic program- ming, a widespread category of recursive algorithms designed to solve the problem backwards from date T to the initial date. Thus, dynamic programming also allows for solving the reliability– viability problem in the Markovian case.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื่องจากπเป็น fixed ไว้ล่วงหน้า และขึ้นอยู่กับเวลา มันถูกกำหนด โดย ¼yð0Þ y0 สถานะเริ่มต้น ส่วน Eq. (12), y0 กำหนดสถานะเริ่มต้น Þ uð การกำหนดกลยุทธ์ และการกำหนดสถานการณ์ wð Þ มี yðy0 วิถีเฉพาะ uð Þ wð ÞÞ¼ðyð0Þ; yð1Þ;...;yðT 1Þ; yðTÞÞ ฯลฯ เหล่านี้ และ ตั้งแต่กิจกรรมแล้วนำเข้าบัญชี ทุกสถานการณ์ เราสามารถแล้วเขียนความเป็นไปได้ของความล้มเหลวเป็นฟังก์ชันของ t, y0 และ uð Þ: pfðt; y0; uð ÞÞ¼P½ (τA½0; tXðt; πÞAFðτÞjy0; uð ð19Þ Þที่ค้นหาออกแบบเชื่อถือได้สามารถเปลี่ยนเป็นที่ y0 อเมริกาเริ่มต้นที่มีการควบคุมกลยุทธ์ uð Þwhich รับประกันระบบเชื่อถือได้เป็น confidence ระดับβช่วงวางแผน เคอร์เนลความน่าเชื่อถือที่สอดคล้องกัน มา Eq. (14), นั้นสังเกต RelðβTÞ (แทน Relπ; uðβTÞ) เป็นชุดต่อไปนี้: RelðβTÞ¼fy0AYj (uð ÞAUðTÞ; pfðT; y0; uð ÞÞr1 βgð 20Þ พื้นที่สถานะตั้งค่า Y การคำนวณนี้เคอร์เนล ให้เราตอนนี้เชื่อมโยงกับวัตถุทางคณิตศาสตร์จากชีวิตสโทแคสติกทฤษฎี เคอร์เนลนี้แบบเฟ้นสุ่ม4.3 การเคอร์เนลนี้สโทแคสติกคล้ายกับความน่าเชื่อถือ เน้นทฤษฎี [34,1] ชีวิตแบบเฟ้นสุ่มความน่าเป็นระบบในการอยู่รอดที่กำหนดในกรอบเวลาที่กำหนด ในเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง เน้นวิวัฒนาการเวลาของสถานะเวกเตอร์ ผ่านสมการควบคุมที่ไม่มีอื่น ๆ กว่า Eq. (16) ชีวิตแบบเฟ้นสุ่มสันนิษฐานว่า y(t) เวกเตอร์รัฐเป็นที่รู้จักกันในแต่ละขั้นตอนของเวลา และที่ได้รับการ y(t) ความน่าเป็นของการอยู่รอดที่ไม่เป็นที่รู้จัก ดังนั้น ชีวิตสโทแคสติกเน้นในปัญหาคล้ายกันมากกับที่อธิบายไว้ในหัวข้อ 4.2 แนวคิดกลางคือการให้ - เรียกชีวิตแบบเฟ้นสุ่มเคอร์เนล ความสำคัญที่มาของกรอบควบคุม deterministic ดั้งเดิมของทฤษฎีนี้ (ภาพรวมด่วนของทฤษฎีนี้และเคอร์เนลนี้ ดูภาคผนวก A) มันเป็น defined ระบุ setof ทั้งหมดที่มีคือกลยุทธ์ระบบมีβเป็นความน่าเป็น หรือมากที่สุดในเกมส์ตั้ง S(t) ขอบฟ้าเวลาต. สามารถอย่างเป็นกิจจะลักษณะ defined โดยสมการต่อไปนี้ซึ่งเป็นตาม Viab ðβTÞ: ViabðβTÞ¼fy0AYj(uð ÞAUðTÞ;Pð8tA½0TXðt; πÞASðtÞjy0; uð ÞÞZβg ð21Þ สโทแคสติกชีวิตเกี่ยวข้องกับปัญหาความน่าเชื่อถือปิดส่วน 4.2 ผ่านเหตุการที่: pfðT; y0; uð ÞÞ¼1 Pð8tA½0TXðt; πÞASðtÞjy0; uð ð22Þ ÞÞผ่าน Eqs (20) และ (21), เคอร์เนลนี้สโทแคสติกเป็นเคอร์เนลความน่าเชื่อถือของ Eq. (20): RelðβTÞ¼ViabðβTÞð 23Þ ยัง ด้วยตัวเอง Eq. (23) ไม่อนุญาตให้สำหรับการคำนวณความน่าเชื่อถือเคอร์เนล Rel ðβTÞ สนใจมาจากความจริงที่ว่า มีเป็นแบบไดนามิกเขียนอัลกอริทึมการคำนวณเคอร์เนลนี้สโทแคสติก4.4. การแก้ปัญหาเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกในส่วนนี้ เราได้ในกรณี Markovian หมายความ ว่า w(t) ทั้งหมดของ Eq. (16) เป็นอิสระจากกันทางสถิติ แล้ว Doyen และเดอลารา [1] สร้างว่า สามารถแก้ไขปัญหาของ finding เคอร์เนลนี้สโทแคสติก โดยไดนามิกโปรแกรมหมิง ประเภทของอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำที่ออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาย้อนหลังจากวัน T วันเริ่มแพร่หลายขึ้น ดังนั้น การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกยังได้การแก้ปัญหาความน่าเชื่อถือ – ชีวิตในกรณี Markovian

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่πเป็นไฟ xed ก่อนและไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาที่มันจะได้รับโดย y0 รัฐเริ่มต้น¼yð0Þ สำหรับสมการ ? (12) สำหรับ y0 สถานะเริ่มต้นให้ UD กลยุทธ์ให้Þและ WD สถานการณ์ให้Þมีวิถีที่ไม่ซ้ำกันyðy0; UD Þ; WD ÞÞ¼ðyð0Þ; yð1Þ; ... ;? YDT 1th; yðTÞÞ ด้วยข้อความเหล่านี้และความน่าจะเป็นแล้วตั้งแต่คำนึงถึงทุกสถานการณ์เราก็สามารถเขียนน่าจะเป็นของความล้มเหลวเป็นหน้าที่ของที y0 และ UD Þ: pfðt; y0; UD ÞÞ¼P½ (τA½0; t; XDT;? πÞAFðτÞjy0;? UD Þð19Þการค้นหาของการออกแบบที่เชื่อถือได้จะกลายเป็นที่ของรัฐเริ่มต้น y0 ดังกล่าวว่ามีกลยุทธ์การควบคุม UD ค้ำประกันÞwhichว่าระบบมีความน่าเชื่อถือที่มีระดับความเชื่อ Fi แย้งβในช่วงระยะเวลาการวางแผนความน่าเชื่อถือสอดคล้องกัน?. . เคอร์เนลที่ได้จากสมการที่ (14), เป็นเพียงการตั้งข้อสังเกตRelðβ; TTH (แทนRelπ; uðβ; TTH) มันเป็นชุดต่อไปนี้:. Relðβ; TÞ¼fy0AYj (UD ÞAUðTÞ; pfðT; y0; UD ÞÞr1βgðที่ 20? ที่ชุด Y เป็นพื้นที่ของรัฐ. เพื่อที่จะคำนวณเคอร์เนลนี้ให้เราตอนนี้มันเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์จากทฤษฎีศักยภาพสุ่มสุ่มเคอร์เนลชีวิต.
4.3. เมล็ดมีชีวิตสุ่ม
คล้ายกับความน่าเชื่อถือของทฤษฎีศักยภาพสุ่ม [34 1] มุ่งเน้นไปที่ความน่าจะเป็นระบบที่จะเข้าพักในการอยู่รอดในช่วงกรอบเวลาที่กำหนด. ในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องก็จะมุ่งเน้นไปที่เวลาวิวัฒนาการของเวกเตอร์รัฐผ่านสมการปกครองว่าเป็นใครอื่นนอกจากสมการ (16) การมีชีวิตอยู่ในแดนบนสมมติฐานที่ว่ารัฐเวกเตอร์ y (t) เป็นที่รู้จักกันในแต่ละขั้นตอนเวลาและว่าได้รับ y (t), ความน่าจะเป็นของการอยู่ในการอยู่รอดที่ตั้งไว้ที่เสื้อยังเป็นที่รู้จักกัน ดังนั้นการมีชีวิตสุ่มมุ่งเน้นไปที่ปัญหาที่คล้ายกันมากกับที่อธิบายไว้ในมาตรา 4.2 หนึ่งในแนวคิดกลางของมันคือทางสังคมที่เรียกว่าสุ่มเคอร์เนลมีชีวิตที่สำคัญมาจากกรอบการควบคุมที่กำหนดเดิมของทฤษฎีการมีชีวิต (สำหรับภาพรวมอย่างรวดเร็วของทฤษฎีการมีชีวิตและมีชีวิตเคอร์เนล, ดูภาคผนวก) มันเป็นนิยามเป็น setof รัฐทั้งหมดที่มีเป็นกลยุทธ์ดังกล่าวว่าระบบมีความน่าจะเป็นβหรือสูงกว่าของการเข้าพักในการอยู่รอดที่กำหนด S (t) สำหรับเส้นขอบฟ้าเวลาที่กำหนด T. มันอาจจะเป็นอย่างเป็นทางการนิยามโดยสมการต่อไป ในการที่จะมีการตั้งข้อสังเกต Viab ðβ; TTH:? Viabðβ; TÞ¼fy0AYj (UD ÞAUðTÞ; Pð8tA½0; T; XDT; πÞASðtÞjy0; UD ÞÞZβgð21Þการมีชีวิตอยู่ในแดนที่เกี่ยวข้องกับปัญหาความน่าเชื่อถือวงปิดในมาตรา 4.2 ผ่านคำพูดว่า: pfðT; y0; UD ÞÞ¼1Pð8tA½0; T; XDT; πÞASðtÞjy0; UD ÞÞð22Þผ่านสมการ (20) และ (21), เคอร์เนลชีวิตสุ่มเป็นเคอร์เนลความน่าเชื่อถือของสมการที่ (20):????.. Relðβ; TÞ¼Viabðβ ;. TÞð 23 แต่ด้วยตัวเองสมการ (23) ไม่อนุญาตให้มีการคำนวณความน่าเชื่อถือเคอร์เนล Rel ðβ; TTH สนใจของมันมาจากความจริงที่ว่ามีขั้นตอนวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเพื่อคำนวณสุ่มเคอร์เนลมีชีวิต..
4.4 การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก
ในส่วนนี้เราอยู่ในกรณีที่มาร์คอฟซึ่งหมายความว่าทุก w (t) สม. (16) มีความเป็นอิสระทางสถิติจากกันและกัน จากนั้นอาวุโสและ De Lara [1] สร้างว่าปัญหาของสาย nding สุ่มเคอร์เนลที่มีศักยภาพสามารถแก้ไขได้โดยการป้อนแบบไดนามิกประเภทอย่างกว้างขวางของอัลกอริทึมซ้ำออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นหลังจาก T วันให้เป็นวันที่เริ่มต้น ดังนั้นการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกยังช่วยให้การแก้ปัญหาชีวิต reliability- ในกรณีที่มาร์คอฟ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่πเป็นจึง xed ล่วงหน้าและไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา มันถูกกำหนดโดยสถานะเริ่มต้น y0 ¼ Y ð 0 Þ . ส่วนอีคิว ( 12 ) เพื่อให้ y0 สภาพเบื้องต้น ระบุกลยุทธ์คุณð  Þและให้สถานการณ์ W ð  Þมีวิถีเฉพาะð y0 Y ; U ð  Þ ; w ð  ÞÞ¼ð Y ð 0 Þ ; Y ð 1 Þ ; . . . ; Y ð T
1 Þ ; Y ð T ÞÞ . กับข้อความเหล่านี้ และเนื่องจากความน่าจะเป็นแล้วพิจารณาสถานการณ์ทั้งหมดเราสามารถเขียนความน่าจะเป็นของความล้มเหลวเป็นฟังก์ชันของ T y0 และ u ð  Þ : PF ð t ; y0 ; U ð  ÞÞ¼ P ½ ( τเป็น  ½ 0 ; t ; x ð t ; πÞ AF ðτÞ jy0 ; U ð  Þ  ð 19 Þค้นหาการออกแบบที่เชื่อถือได้ จะกลายเป็นว่าสถานะเริ่มต้น y0 ดังกล่าวว่า มีการควบคุมกลยุทธ์คุณð  Þซึ่งรับประกันว่าระบบเป็นที่เชื่อถือได้กับนักโทษจึง dence ระดับบีตาในช่วงวางแผน เคอร์เนลความน่าเชื่อถือที่สอดคล้องกันได้มาจากอีคิว ( 14 ) เป็นเพียงการตั้งข้อสังเกตðβ rel ; t Þ ( แทนπðβ rel ; u ; T Þ ) มันคือการตั้งค่าต่อไปนี้ ðβ rel ; T ( u Þ¼ fy0ayj ð  Þ AU ð T Þ ; PF ð t ; y0 ; U ð  ÞÞ R1
บีตากรัมð 20 Þที่ชุด Y คือ สภาพพื้นที่ เพื่อที่จะใช้เคอร์เนลนี้ ให้เราตอนนี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์จากทฤษฎีของ Stochastic เคอร์เนลของ Stochastic .
4.3 . การสุ่มของเคอร์เนล
คล้ายคลึงกับความน่าเชื่อถือทฤษฎีของแสง [ 34,1 ] เน้นความเป็นไปได้ของระบบจะอยู่ในการตั้งค่าในระหว่างรอบเวลา ในเวลาที่ไม่ต่อเนื่องจะเน้นเวลาวิวัฒนาการของรัฐเวกเตอร์ ผ่านเทศบาลสมการนั้น จะเป็นใครไปไม่ได้นอกจากอีคิว ( 16 ) เมื่อ Stochastic ถือว่ารัฐเวกเตอร์ Y ( t ) เป็นที่รู้จักกันในแต่ละเวลา ขั้นตอน และให้ y ( t )ความน่าจะเป็นของการตั้งค่าที่ไม่รอดก็รู้ ดังนั้น เมื่อ Stochastic มุ่งเน้นปัญหาคล้ายกับที่อธิบายไว้ในมาตรา 4.2 . หนึ่งในแนวคิดกลางของมันคือดังนั้น - เรียกว่าเมล็ดความมีชีวิต Stochastic ความสำคัญที่มาจากเดิมการติดตั้งเครื่องควบคุมความกรอบของทฤษฎี ( สำหรับภาพรวมอย่างรวดเร็วของทฤษฎีความมีชีวิตและความมีชีวิตเคอร์เนล