The double dot indicates an inner p

The double dot indicates an inner product over two indices of the tensors (A list of symbols is provided in the nomenclature at the end of this paper). This relatively general form is difficult to work with, but by making two assumptions, the equations may be simplified. For the entire volume of an elastic body, excluding the exterior surfaces and interior flaws, the stress tensor is symmetric, so an initial assumpution is that the stress tensor is symmetric throughout the area of interest. Further, for this application (and for most others), the electrical field travels through the material at much higher speeds than the strain field -- fast enough to assume that from the perspective of the mechanical motion of the plate, the electrical fields in the piezoelectric laminas change instantaneously. In other words, the motion of the piezoelectric laminates is quasistatic. By contracting the tensor notation as in Auld [21] and applying the symmetric stress tensor assumptions, equation simplifies to

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คู่จุดบ่งชี้ว่า การคูณภายในผ่านดัชนีสองของ tensors (สัญลักษณ์ไว้ในระบบการตั้งชื่อที่ท้ายเอกสารนี้) แบบฟอร์มนี้ทั่วไปค่อนข้างจะยากที่จะทำงานกับ แต่ โดยสมมติฐานสอง สมการอาจประยุกต์ สำหรับไดรฟ์ข้อมูลทั้งหมดของร่างกายการยืดหยุ่น ยกเว้นพื้นผิวภายนอกและตำหนิภายใน tensor เครียดจึงสมมาตร assumpution การเริ่มต้นคือ tensor เครียดสมมาตรทั่วบริเวณต้องการ เพิ่มเติม สำหรับโปรแกรมนี้ (และคนอื่น ๆ ส่วนใหญ่), สนามไฟฟ้าเดินทางผ่านวัสดุที่มากความเร็วที่สูงกว่าสายพันธุ์ฟิลด์ - เร็วพอเพื่อสมมติว่า จากมุมมองของการเคลื่อนไหวทางกลของแผ่น ไฟฟ้าฟิลด์ใน laminas ชั่นเปลี่ยนทันที ในคำอื่น ๆ การเคลื่อนที่ของลามิเนต piezoelectric คือ quasistatic โดยทำสัญญาสัญกรณ์ tensor ใน Auld [21] และใช้สมมติฐาน tensor เครียดสมมาตร สมการง่าย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จุดคู่บ่งชี้ว่าสินค้าภายในมากกว่าสองดัชนีของเทนเซอร์ (ที่รายชื่อของสัญลักษณ์ที่ระบุไว้ในการตั้งชื่อในตอนท้ายของบทความนี้) แบบฟอร์มนี้ค่อนข้างทั่วไปเป็นเรื่องยากที่จะทำงานด้วย แต่โดยการทำสองสมมติฐานสมอาจจะง่าย สำหรับปริมาณทั้งหมดของร่างกายยืดหยุ่นไม่รวมพื้นผิวภายนอกและข้อบกพร่องของการตกแต่งภายในเน้นเมตริกซ์เป็นสมมาตรดังนั้น assumpution เริ่มต้นคือเน้นเมตริกซ์เป็นสมมาตรทั่วพื้นที่ที่น่าสนใจ นอกจากนี้สำหรับโปรแกรมนี้ (และสำหรับคนอื่น ๆ ส่วนใหญ่) สนามไฟฟ้าเดินทางผ่านวัสดุที่ความเร็วสูงกว่าสนามความเครียด - เร็วพอที่จะคิดว่าจากมุมมองของการเคลื่อนไหวทางกลของแผ่นที่สนามไฟฟ้าใน Laminas piezoelectric เปลี่ยนทันที ในคำอื่น ๆ การเคลื่อนไหวของลามิเนต piezoelectric คือ quasistatic โดยการทำสัญญาสัญกรณ์เมตริกซ์เช่นเดียวกับใน Auld [21] และการประยุกต์ใช้สมมาตรสมมติฐานความเครียดเมตริกซ์สมการช่วยลดความยุ่งยากในการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จุดคู่แสดงผลิตภัณฑ์ในกว่าสองดัชนีของสั่ง ( สัญลักษณ์ของรายการที่ระบุไว้ในการเรียกชื่อในตอนท้ายของบทความนี้ ) รูปแบบค่อนข้างทั่วไปนี้เป็นเรื่องยากที่จะทำงานด้วย แต่ด้วยการทำสองสมมติฐาน สมการอาจจะง่ายขึ้น หาปริมาตรทั้งหมดของร่างกายยืดหยุ่นไม่รวมพื้นผิวภายในและภายนอกตําหนิ ความเครียดเป็นเมตริกซ์สมมาตร ดังนั้นการ assumpution เริ่มต้นคือ ว่า ความเครียดเป็นเมตริกซ์สมมาตรตลอดพื้นที่ของดอกเบี้ย เพิ่มเติมสำหรับโปรแกรมนี้ ( และคนอื่น ๆส่วนใหญ่ ) , สนาม ไฟฟ้า เดินทางผ่านวัสดุที่ความเร็วที่สูงกว่าสายพันธุ์ฟิลด์ -- ได้อย่างรวดเร็วพอที่จะสันนิษฐานได้ว่า จากมุมมองของการเคลื่อนไหวเชิงกลของแผ่นด้านไฟฟ้าใน laminas piezoelectric เปลี่ยนทันที ในคำอื่น ๆ , การเคลื่อนไหวของเพียโซอิเล็กทริกลามิเนตเป็น quasistatic . โดยการทําสัญญาสัญกรณ์เป็นเมตริกซ์ใน Auld [ 21 ] และใช้สมการเมตริกซ์สมมาตรเครียดง่ายกับสมมติฐาน