5. Looking Ahead5.1. Sum of Multipl

5. Looking Ahead
5.1. Sum of Multiple Squares. Having proved that only certain numbers are
representable as the sum of two squares, one may wonder whether there is a number
n for which all numbers are representable as the sum of n squares. We know that
all numbers are not representable as the sum of three squares: 7, for instance, and
47, cannot be represented as such.
All numbers are representable as the sum of four squares. Fermat is thought to
be the first to prove this, using his favorite method of infinite descent, but he never
published it. After significant contributions to the problem by Euler, Lagrange
published the solution in 1770. The sum of four squares result relies on an algebraic
identity similar to Lemma 3.10, namely that if x and y can be represented as the
sum of four squares, then xy can be represented as the sum of four squares. The
remaining work is to show that every prime is the sum of four squares. See reference
[6] for the proof.
5.2. Waring’s Problem. Around 1770, Waring considered an interesting generalization
of the sum of squares problem: given a positive integer k, can we determine
g(k), where g(k) is the least value of s such that every positive integer can be represented
as the sum of s kth powers of nonnegative integers? For example, g(2) = 4,
since Lagrange has shown that every positive integer can be represented as the sum
of 4 squares, and no smaller a number than 4 squares can be used to represent
every positive integer. For instance, 7 is not representable by 3 squares. What
would such a function g look like?
In 1909, Hilbert showed that for every k, g(k) exists. However, his proof did not
construct a formula for g(k). A few known results are:
g(2) = 4;
g(3) = 9;
g(4) ≥ 19;
g(5) = 37;
and for 6 ≤ k ≤ 471600000,
g(k) = 3
2
k
+ 2k − 2.
Consider k = 3, for which g(k) = 9. Research has shown that it is likely that
only two numbers, 23 = 2 · 2
3 + 7 · 1
3 and 239 = 2 · 4
3 + 4 · 3
3 + 3 · 1
3
, require as
many as 9 cubes to express, so that (almost) all numbers can be written as the sum
of 8 cubes. In fact, perhaps only 15 numbers, the largest of which is 8042, require
a full 8 cubes. All sufficiently large numbers, by which we mean all numbers 8043
onwards, can be expressed in terms of a sum of 7 cubes. It is obvious, then, that 9
is not the crucial number in this problem. Rather, the numbers which need 9 cubes
only do so because of insignificant properties of particular numbers – as Hardy
says, an “arithmetical fluke.” The more challenging problem is determining G(k),
the least value of s for which all sufficiently large numbers, that is, all numbers
with a finite number of exceptions, can be represented by a sum of s kth powers.
Obviously,
G(k) ≤ g(k)
12 JAHNAVI BHASKAR
for all k ∈ N. We will prove that G(2) = 4.
Theorem 5.1. Let n ∈ Z such that n ≡ 7 (mod 8). Then n cannot be represented
by 3 squares.
Proof. A few simple calculations similar to those in Theorem 3.8 show us that
(Z/8Z)
2 = {0, 1, 4}. If x, y, z ∈ Z/8Z, then x
2 + y
2 + z
2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, but no
sum of 3 squares yields n ≡ 7 (mod 8).
Theorem 5.2. (Dirichlet’s Theorem) Let h, k be relatively prime integers. Then
there are infinitely many primes congruent to h (mod k).
Since 7 and 8 are relatively prime integers, Dirichlet’s Theorem says there are
infinitely many primes congruent to 7 (mod 8). By Theorem 5.1, none of these
primes can be represented by 3 squares, so G(2) = 4.
To read more about Waring’s problem, see references [2], [3], and [6].
6. Acknowledgments
I want to thank Mike Shulman and Asaf Hadari for their patience and guidance;
Paul Sally for providing me with materials in abundance; and Peter May for his
understanding and for organizing the research program.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

5. มองไปข้างหน้า5.1. ผลรวมของหลายยกกำลังสอง มีได้เฉพาะบางเลขrepresentable เป็นผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมที่สอง หนึ่งอาจสงสัยว่า มีตัวเลขซึ่งหมายเลขทั้งหมดจะเป็นผลรวมของกำลังสอง n representable n เรารู้ว่าตัวเลขทั้งหมดไม่เป็นผลรวมของกำลังสองสาม representable: 7 เช่น และไม่แสดง 47 เช่นหมายเลขทั้งหมดจะเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม representable แฟร์มาเป็นความคิดที่เป็นครั้งแรกเพื่อพิสูจน์นี้ โดยใช้วิธีของเขาชื่นชอบโคตรอนันต์ แต่เขาไม่เคยเผยแพร่ หลังจากผลงานสำคัญปัญหาโดยออยเลอร์ โรงแรมลากรองจ์เผยแพร่โซลูชันใน 1770 ผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมที่สี่ผลอาศัยการพีชคณิตตัวตนคล้ายกับการจับมือ 3.10 คือว่าถ้า x และ y อาจแสดงในรูปสามารถแสดงผลรวมของสี่เหลี่ยม แล้ว xy เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม ที่ที่เหลือ ทำงานได้แสดงว่านายกทุกผลรวมของสี่เหลี่ยม ดูอ้างอิง[6] สำหรับพิสูจน์5.2. waring ของปัญหา ประมาณ 1770, Waring ถือว่า generalization ที่น่าสนใจของผลรวมปัญหาของช่องสี่เหลี่ยม: ให้ k เป็นจำนวนเต็มบวก สามารถเรากำหนดg(k) ที่ g(k) คือ ค่าที่น้อยที่สุดของ s สามารถแสดงทุกจำนวนเต็มบวกเป็นผลรวมของ s kth อำนาจของ nonnegative เต็ม ตัวอย่าง g(2) = 4ตั้งแต่โรงแรมลากรองจ์ได้แสดงให้เห็นว่า สามารถแสดงทุกจำนวนเต็มบวกเป็นผลรวมสี่ เหลี่ยม 4 และมีขนาดเล็กไม่สามารถใช้ตัวเลขกว่าสี่เหลี่ยม 4 ถึงทุกจำนวนเต็มบวก เช่น 7 ไม่ได้ representable โดยช่อง 3 อะไรนะg เป็นฟังก์ชันดังกล่าวจะมีลักษณะอย่างไรในปี 1909 ฮิลแบร์ทแสดงให้เห็นว่า สำหรับทุก k, g(k) อยู่ อย่างไรก็ตาม หลักฐานของเขาไม่สร้างสูตรสำหรับ g(k) จะทราบผลกี่:g(2) = 4g(3) = 9g(4) ≥ 19g(5) = 37และ≤ k ≤ 6 471600000g(k) = 32k+ 2 k − 2พิจารณา k = 3, g(k) ที่ = 9 งานวิจัยได้แสดงให้เห็นว่า มีแนวโน้มที่เพียงสองตัวเลข 23 = 2 · 2· 3 + 7 13 และ 239 = 2 · 4· 3 + 4 3· 3 + 3 13ต้องเป็นมากเป็นลูกบาศก์ 9 แสดง เพื่อให้สามารถเขียนหมายเลข (เกือบ) ทั้งหมดเป็นผลรวมของลูกบาศก์ 8 ในความเป็นจริง บางทีหมายเลข 15 เท่านั้น ใหญ่ที่สุดซึ่งเป็น 8042 ต้องการcube ที่มีทั้งหมด 8 ทั้งหมดแก่จำนวนมาก ที่เราหมายถึง ตัวเลขทั้งหมด 8043เป็นต้นไป สามารถแสดงในรูปแบบของผลรวมของ 7 ลูกบาศก์ เป็นที่ชัดเจน แล้ว ที่ 9ไม่ได้หมายเลขสำคัญในปัญหานี้ ค่อนข้าง ตัวเลขที่ต้องการ 9 ลูกบาศก์เท่านั้น ดังกล่าวเนื่องจากคุณสมบัติสำคัญของหมายเลขเฉพาะ – เป็น Hardyกล่าวว่า มี "arithmetical fluke" ปัญหาท้าทายมากคือการกำหนด G(k)ค่าน้อยที่สุดของ s ซึ่งทั้งหมดพอใหญ่หมายเลข คือ หมายเลขทั้งหมดมีจำนวนจำกัดยกเว้น สามารถแสดง โดยผลรวมของ s kth อำนาจอย่างชัดเจนG(k) ≤ g(k)12 JAHNAVI BHASKARสำหรับทั้งหมด k ∈ N. เราจะพิสูจน์ว่า G(2) = 4ทฤษฎีบทที่ 5.1 ให้ n ∈ Z เช่น≡ n ที่ 7 (มด 8) N ที่ไม่สามารถแสดงโดยช่อง 3หลักฐานการ กี่เรื่องการคำนวณคล้ายกับในทฤษฎีบท 3.8 แสดงเราว่า(Z 8Z)2 = {0, 1, 4 } ถ้า x, y, z ∈ Z/8Z แล้ว x2 + y2 + z2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, แต่ไม่ผลรวมกำลังสองที่ 3 ทำให้ n ≡ 7 (มด 8)ทฤษฎีบทที่ 5.2 (ทฤษฎีบทของ Dirichlet) ให้ h, k จะค่อนข้างเฉพาะจำนวนเต็ม แล้วเพียบมีโรงแรมไพรม์ในแผงการ h (mod k)ตั้งแต่ 7 และ 8 เป็นนายกรัฐมนตรีค่อนข้างเต็ม ทฤษฎีบทของ Dirichlet กล่าวว่า มีเพียบหลายโรงแรมไพรม์แผงการ 7 (มด 8) โดยทฤษฎีบท 5.1 สิ่งเหล่านี้ไม่โรงแรมไพรม์สามารถแสดงตามสี่เหลี่ยม 3 ดังนั้น G(2) = 4อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาของ Waring ดูข้อมูลอ้างอิง [2], [3], และ [6]6. ตอบอยากจะขอขอบคุณไมค์ Shulman และ Asaf Hadari ความอดทนและคำแนะนำPaul Sally ให้ฉันด้วยวัสดุระนาว และปีเตอร์พฤษภาคมสำหรับเขาความเข้าใจ และ การจัดระเบียบโปรแกรมวิจัย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

5. กำลังมองไปข้างหน้า
5.1 ผลรวมของสี่เหลี่ยมหลาย
ต้องได้รับการพิสูจน์ว่ามีเพียงตัวเลขบางอย่างแทนได้ด้วยผลรวมของสองสี่เหลี่ยมหนึ่งอาจสงสัยว่ามีจำนวน
n ที่เป็นตัวเลขทั้งหมดซึ่งแสดงเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมที่ n เรารู้ว่าตัวเลขทั้งหมดไม่ได้ซึ่งแสดงเป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยม: 7 ตัวอย่างและ 47 ไม่สามารถแสดงเป็นเช่น. จำนวนทั้งหมดอยู่ที่แทนได้ด้วยผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม แฟร์มาต์เป็นความคิดที่เป็นคนแรกที่จะพิสูจน์เรื่องนี้โดยใช้วิธีการที่เขาชื่นชอบเชื้อสายไม่มีที่สิ้นสุดแต่เขาไม่เคยตีพิมพ์ หลังจากที่มีส่วนสำคัญในการแก้ไขปัญหาโดยออยเลอร์, ลากรองจ์ตีพิมพ์วิธีการแก้ปัญหาในปี1770 ผลรวมของการส่งผลสี่สี่เหลี่ยมอาศัยบนเกี่ยวกับพีชคณิตตัวตนคล้ายกับบทแทรก 3.10 คือว่าถ้า x และ y สามารถแสดงเป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมแล้วเซ็กซี่สามารถแสดงเป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม ทำงานที่เหลือคือการแสดงให้เห็นว่าที่สำคัญทุกคนคือผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม ดูอ้างอิง[6] สำหรับหลักฐาน. 5.2 ปัญหา Waring ของ รอบ 1770 Waring การพิจารณาลักษณะทั่วไปที่น่าสนใจของผลรวมของปัญหาสี่เหลี่ยม: รับจำนวนเต็มบวก k เราสามารถตรวจสอบกรัม(k), ขณะที่ g (k) เป็นค่าที่น้อยที่สุดของ s ดังที่ทุกจำนวนเต็มบวกสามารถแสดงเป็นผลรวมของอำนาจของ KTH ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ? ยกตัวอย่างเช่นกรัม (2) = 4 ตั้งแต่ Lagrange ได้แสดงให้เห็นว่าทุกจำนวนเต็มบวกสามารถแสดงเป็นผลรวมของ4 สี่เหลี่ยมและไม่มีขนาดเล็กจำนวนกว่า 4 สี่เหลี่ยมสามารถนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของทุกจำนวนเต็มบวก ยกตัวอย่างเช่น 7 ไม่ได้ซึ่งแสดงโดย 3 สี่เหลี่ยม สิ่งที่จะฟังก์ชั่นดังกล่าวกรัมลักษณะอย่างไรในปี1909 ฮิลแบร์ตแสดงให้เห็นว่าทุก k, g (k) ที่มีอยู่ แต่หลักฐานของเขาไม่ได้สร้างสูตรสำหรับกรัม (k) ไม่กี่ผลที่รู้จักกันคือกรัม (2) = 4 กรัม (3) = 9; กรัม (4) ≥ 19 กรัม (5) = 37 และ 6 ≤ k ≤ 471600000, g (k) = 3 2 k + 2k - 2. พิจารณา k = 3 ซึ่งกรัม (k) = 9 มีงานวิจัยที่แสดงให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ว่ามีเพียงสองหมายเลข23 = 2 · 2 3 + 7 · 1 ที่ 3 และ 239 = 2 · 4 3 + 4 · 3 3 + 3 · 1 3 ต้องเป็นมากที่สุดเท่าที่ 9 ก้อนที่จะแสดงเพื่อให้ (เกือบ) ตัวเลขทั้งหมดสามารถเขียนเป็นผลรวมจาก8 ก้อน ในความเป็นจริงอาจจะเป็นเพียง 15 ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดของซึ่งเป็น 8042 ต้องเต็ม8 ก้อน สินค้าที่มีขนาดใหญ่พอที่เราหมายถึงตัวเลขทั้งหมด 8043 เป็นต้นไปสามารถแสดงออกในแง่ของผลรวมของ 7 ก้อน เป็นที่ชัดเจนแล้วว่า 9 ไม่ได้เป็นตัวเลขที่สำคัญในการแก้ปัญหานี้ แต่ตัวเลขที่จำเป็น 9 ก้อนเดียวที่จะทำเช่นนั้นเพราะคุณสมบัติที่ไม่มีนัยสำคัญของตัวเลขโดยเฉพาะอย่างยิ่ง- เป็นฮาร์ดี้". บังเอิญคณิตศาสตร์" กล่าวว่าเป็นปัญหาที่ท้าทายมากขึ้นคือการกำหนด G (k), ค่าที่น้อยที่สุดของ s ซึ่งทั้งหมดมีขนาดใหญ่พอสมควร ตัวเลขว่ามีตัวเลขทั้งหมดที่มีจำนวนจำกัด ของข้อยกเว้นสามารถแสดงโดยผลรวมของอำนาจของ KTH ได้. เห็นได้ชัดว่าG (k) ≤กรัม (k) 12 JAHNAVI ร้าสำหรับทุกk ∈เอ็นเราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจี (2) = 4. ทฤษฎีบท 5.1 ให้ n ∈ Z ดังกล่าวที่ n ≡ 7 (สมัย 8) n จากนั้นไม่สามารถเป็นตัวแทนของ3 สี่เหลี่ยม. หลักฐาน คำนวณง่ายๆคล้ายกับผู้ที่อยู่ในทฤษฎีบท 3.8 แสดงให้เราเห็นว่า(Z / 8Z) 2 = {0, 1, 4} ถ้า x, y, z ∈ Z / 8Z แล้ว x 2 + y ที่2 + ซี2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} แต่ไม่มีผลรวมของ3 สี่เหลี่ยมอัตราผลตอบแทน n ≡ 7 (สมัย 8 ). ทฤษฎีบท 5.2 (ทฤษฏีของ Dirichlet) ให้ h, k เป็นจำนวนเต็มความสำคัญ จากนั้นก็มีช่วงเวลาที่สอดคล้องกันหลายอย่างมากมายที่จะ h (mod k). ตั้งแต่ 7 และ 8 เป็นจำนวนเต็มค่อนข้างสำคัญ Dirichlet ของทฤษฎีบทบอกว่ามีช่วงเวลาที่สอดคล้องกันหลายอย่างมากมายถึง7 (สมัย 8) โดยทฤษฎีบท 5.1 ไม่มีของเหล่านี้ช่วงเวลาที่สามารถแสดงโดย3 สี่เหลี่ยมดังนั้น G (2) = 4. เพื่ออ่านข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหา Waring ให้ดูอ้างอิง [2], [3] และ [6]. 6 กิตติกรรมประกาศผมอยากจะขอบคุณไมค์ชูลและ Asaf Hadari สำหรับความอดทนและคำแนะนำของพวกเขาพอลแซลลี่สำหรับการให้ฉันด้วยวัสดุในความอุดมสมบูรณ์; และปีเตอร์พฤษภาคมเขาเข้าใจและสำหรับการจัดโครงการวิจัย