Conditions (3.7) and (3.8) give|log

Conditions (3.7) and (3.8) give
|log t| < ε for any t > 0 satisfying |t − 1| <
ε
ε + 1
. (3.9)
Now, let et a > 0 be a fixed number and ε > 0. Define δ = aε
ε+1. Consider any
x such that |x − a| < δ. Let t = x
a .Then
x
a
− 1

= |t − 1| =
|x − a|
a
<
δ
a
=
ε
ε + 1
(3.10)
and then from (3.9) and (3.10) it follows that |log x − log a| =

log x
a

=
|log t| < ε if |x − a| < ε
ε+1.This proves that limx→a log x = log a.
Property 7. Given any real number ξ there exists a positive real number x
such that logx < ξ.
4516 A. H. Salas
Indeed, choose a positive integer m for which ξ > −m. Then 1+ξ/m > 0. We
define x = 1
2(1+ξ/m)m. Taking into account (2.5) we obtain fn(x) ≤ m( m
√
x−
1) for any n ≥ m. Letting n→∞in this inequality gives log x ≤ m( m
√
x−1).
Then
log x ≤ m( m
√
x − 1) < m( m

(1 + ξ/m)m − 1) = ξ. (3.11)
Property 8. The range of logarithmic function is the set of real numbers.
Indeed, let y be any real number. By Property 7, we may find a number a > 0
and a number b such that loga < y and log b < −y. Then
loga < y < −log b = log b, where b =
1
b .
It is clear that a < b. Let H = {t > 0 such that logt < y }. This set is
not empty since a ∈ H . If t ∈ H then logt < y < log b and this gives t < b.
Thus, H is bounded from above by b. Let x = supH. We claim that log x = y.
Indeed, suppose that logx < y. Let ε = y−log x. There exists δ > 0 such that
|log x − log t| < ε if |x − t| < δ. Let t = x+δ/2 > x. Then logt < log x+ε = y
and t ∈ H so that t ≤ x. But t > x. Contradiction.
On the other hand, suppose that logx > y. Let ε = log x−y. There exists
δ > 0 such that |log x − log s| < ε if |x − s| < δ. Choose some s such that
0 < s < x and |x − s| < δ. Then logs > log x − ε = y > log t so that t < s for
any t ∈ H. We conclude that s is an upper bound of H and then x ≤ s. But
x > s. Contradiction.
We have proved that log x = y. Since y was arbitrarily chosen, we conclude
that the range of log is the set of real numbers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เงื่อนไข (3.7) และ (3.8)
|log t| < Εสำหรับใด ๆ t > 0 ภิรมย์ |t − 1| <
Ε
ε 1
. (3.9)
ให้ร้อยเอ็ด > 0 เป็นการถาวรหมายเลขและε > 0 กำหนดδ = aε
ε 1 พิจารณาใด ๆ
x a| |x −นั้น < Δ ให้ t = x
แล้ว
x
การ
− 1

= |t − 1| =
a| |x −
การ
<
δ
การ
=
ε
ε 1
(3.10)
(3.10) เป็นไปตามที่ |log x −แล้วจาก (3.9) เข้าสู่ระบบ a| =

ล็อก x
การ

=
|log t| < Εถ้า a| |x − < Ε
1.εนี้พิสูจน์ล็อกที่ limx→a x =ล็อก a.
7 คุณสมบัติ ให้ξจำนวนจริงใดๆ มี x เป็นตัวเลขจริงบวก
ให้ logx < ξ.
4516 ศาลา H. A.
แน่นอน เลือก m เป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับที่ξ > −m แล้ว 1 ξ m > 0 เรา
กำหนด x = 1
2 (1 ξ/m) เมตรพิจารณา (2.5) เราได้รับ fn(x) ≤ m (m
√
x−
1) สำหรับ m n ≥ใด ๆ ให้ n→∞in ที่ทำให้อสมการนี้ล็อก x ≤ m (m
√
x−1) .
แล้ว
ล็อก x ≤ m (m
√
x − 1) < m (m

(1 ξ/m) m − 1) =ξ. (3.11)
8 แห่งได้ช่วงของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นชุดของตัวเลขจำนวนจริง
จริง ให้ y ได้ทุกจำนวนด้วย 7 คุณสมบัติ เราอาจค้นหาหมายเลข > 0
และเป็นหมายเลข b เช่น loga ว่า < b y และล็อก < −y ได้ แล้ว
loga < y < −log b = b บันทึก ที่ b =
1
b.
ก็ชัดว่าเป็น < H ให้เกิด = { t > 0 เช่น logt ที่ < y } ชุดนี้เป็น
ไม่ว่างตั้งแต่∈ H ถ้า t ∈ H แล้ว logt < y < ล็อก b และนี้ทำให้ t < b.
ดัง H ล้อมรอบจากข้างต้น โดย b ให้ x = supH เราก็ล็อกที่ x = y.
จริง สมมติว่า logx < y. ให้ε = y−log ไฟร์มีδ > 0 ที่
t| |log x −ล็อก < εถ้า t| |x − < ให้δ t = x δ/2 > x. อัพ logt แล้ว < ล็อก x ε = y
และ t ∈ H ให้ t ≤ x แต่ t > x. อัพลงไว้
บนมืออื่น ๆ สมมติว่า logx > y ให้ε = x−y ล็อก มี
δ > 0 ที่ |log x −ระบบ s| < Εถ้า s| |x − < δ. เลือก s บางที่
0 < s < x และ s| |x − <δแล้วล็อก > ล็อกε x − = y > ระบบ t ดังนั้น < s สำหรับ
ใด ๆ t ∈ H. เราสรุปว่า จะเป็นขอบเขตบนของ H และ x ≤ s ได้แต่
x > s. แย้ง
เราได้พิสูจน์ล็อกที่ x = y เนื่องจาก y โดยเลือก เราสรุป
ว่าช่วงของล็อกชุดของจำนวนจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เงื่อนไข (3.7) และ (3.8) ให้
| log ที | <εเมื่อ t ใด ๆ > 0 ความพึงพอใจของ t | - 1 | <
ปรากฎอยู่
ปรากฎอยู่ + 1
. (3.9)
ตอนนี้ให้เอ> 0 จะมีจำนวนคงที่และε> 0 กำหนดδ = aε
ε 1 พิจารณาใด ๆ
เช่นว่า x | x - | <δ ให้ t = x
แล้ว.
x? - 1 ? = t | - 1 | = | x - | < δ = ปรากฎอยู่ปรากฎอยู่ + 1 (3.10) และจาก (3.9) และ (3.10 ) มันตามที่ | log x - เข้าสู่ระบบ | = ? เข้าสู่ระบบ x ? = | log ที | <εถ้า | x - | <ปรากฎอยู่ปรากฎอยู่ 1 นี้พิสูจน์ได้ว่า limx →บันทึก x = เข้าสู่ระบบ. 7 สถานที่ให้บริการ ป.ร. ให้ไว้จำนวนจริงใด ๆ ξมีอยู่เป็นจำนวนจริงบวก x ดังกล่าวว่า logx <ξ 4516 AH ศาลาแท้จริงเลือกเมตรจำนวนเต็มบวกที่ξ> เมตร จากนั้น 1 + ξ / m> 0 เรากำหนด x = 1 2 (1 + ξ / เมตร) ม. โดยคำนึงถึง (2.5) เราได้รับศุกร์ (x) ≤เมตร (ม. √ x- 1) สำหรับ n ≥เมตร ให้ n →∞ในความไม่เท่าเทียมกันนี้จะช่วยให้การบันทึก x ≤เมตร (ม. √ x-1) จากนั้นเข้าสู่ระบบ x ≤เมตร (ม. √ x - 1) <เมตร (เมตร? (1 + ξ / เมตร) เมตร - 1) = ξ . (3.11) ทรัพย์สิน 8 ช่วงของฟังก์ชั่นลอการิทึมคือชุดของจำนวนจริงอันที่จริงเรา y เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยสถานที่ 7 เราอาจพบจำนวน> 0 และจำนวนข? เช่นว่า loga <y และเข้าสู่ระบบข? <-y แล้วloga <y <-log b? = b เข้าสู่ระบบที่ b = 1 ข? . เป็นที่ชัดเจนว่า <b Let h = {t> 0 เช่นที่ Logt <y} ชุดนี้เป็นไม่ว่างเปล่าตั้งแต่∈ H หากเสื้อ∈ H แล้ว Logt <y <b และเข้าสู่ระบบนี้จะช่วยให้ที <b ดังนั้น H กระโดดจากข้างบนโดยข ให้ x = ทะเลแดง เราอ้างว่าบันทึก x = y แท้จริงสมมติว่า logx <y ให้ε = y-x เข้าสู่ระบบ มีδ> 0 อยู่เช่นว่า| log x - เข้าสู่ระบบที | <εถ้า | x - เสื้อ | <δ ให้ t = x + δ / 2> x แล้ว Logt <log x + y = ε และเสื้อ∈ H เพื่อให้เสื้อ≤ x แต่เสื้อ> x ความขัดแย้งในทางกลับกันสมมติว่า logx> y ให้ε = บันทึก x-y มีอยู่δ> 0 เช่นที่ | log x - เข้าสู่ระบบ s | <εถ้า | x - s | <δ เลือกของบางอย่างเช่นที่0 <s <x และ | x - s | <δ แล้วบันทึก> บันทึก x - ε = y> บันทึกเสื้อเพื่อให้เสื้อ <สำหรับเอชทีใด∈เราสรุปได้ว่า s เป็นขีด จำกัด ของ H แล้ว x ≤ s แต่x> s ความขัดแย้งที่เราได้พิสูจน์ให้เห็นว่าบันทึก x = y ตั้งแต่ปีได้รับการแต่งตั้งพลเราสรุปว่าช่วงของการเข้าสู่ระบบเป็นชุดของตัวเลขจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เงื่อนไข ( 3.7 ) และ ( 3.8 ) ให้ | เข้าสู่ระบบ T
T > < ε | ใด 0 ภิรมย์ | T − 1 | <

εε 1

( 3.9 )
ตอนนี้ให้ ET > 0 เป็นจำนวนคงที่และε > 0 นิยามδ = ε
ε 1 พิจารณาใด ๆเช่นที่ |
x x −เป็น | < δ . ให้ t = x
.
 แล้ว   x
A

 − 1  
= | T − 1 | =
| x −เป็น |

<

เป็นคนδ
=

εε 1
( 3.10 )
แล้วจาก ( 3.9 ) และ 3.10 ) มันเป็นไปตามที่ | เข้าสู่ระบบ x −เข้าสู่ระบบ | =
 
x

 เข้าสู่ระบบเป็น 
=
| เข้าสู่ระบบ T | < εถ้า | x −เป็น | < ε
ε 1 . นี้พิสูจน์ว่า limx → keyboard - key - name ) x = log A .
คุณสมบัติ 7 ให้มีจํานวนจริง ξมีอยู่จำนวนจริงบวก x
เช่นที่ logx < ξ .
. .
4516 ซาลาสจริงๆเลือก M จำนวนเต็มบวกที่ξ > −ม. 1 ξ / m > 0 าเรา
x = 1
2 ( 1 ξ / m ) m ถ่ายลงในบัญชี ( 2.5 ) เราได้รับ FN ( X ) ≤ M ( M
√
x
n − 1 ) ใด ๆ≥ม.ให้ n →∞ในความไม่เท่าเทียมกันนี้จะช่วยให้เข้าสู่ระบบ x ≤ M ( M
√
x − 1 ) .

แล้วเข้าสู่ระบบ x ≤ M ( M
√
x − 1 ) = m ( M

( 1 ξ / m ) m − 1 ) = ξ . คุณสมบัติ ( 3.11 )
8 ช่วงของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริง
แน่นอนให้ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ . ด้วยทรัพย์สิน 7 , เราอาจจะพบจำนวน > 0
และจำนวน  เช่นที่ loga < Y และ B  < − log Y
Y แล้ว loga < < − log B = B  เข้าสู่ระบบที่ B =
1
B
 .มันเป็นที่ชัดเจนว่า < b ให้ h = { t > 0 เช่นที่ logt < Y } ชุดนี้มี
ไม่ได้ว่างเปล่าตั้งแต่∈ H . ถ้าไม่∈ H แล้ว logt < Y < log B และนี้ช่วยให้ t < b
ดังนั้น H ถูกล้อมรอบจากข้างต้นโดย ให้ x = suph . เราอ้างว่าเข้าสู่ระบบ X = Y
แน่นอน สมมติว่า logx < Y ให้ε = y − log X มีอยู่δ > 0 เช่น
| เข้าสู่ระบบ x − log ไม่ | < εถ้า | x − T | < δ . ให้ t = x δ / 2 > X แล้ว logt < = y
x εเข้าสู่ระบบและ T ∈ H แล้ว T T > ≤ X แต่ X
ความขัดแย้ง บนมืออื่น ๆที่คิดว่า logx > วาย ให้ε = − log X Y มีอยู่
δ > 0 เช่นที่ | เข้าสู่ระบบ x − log ของ | < εถ้า | x − s | < δ . เลือกบางอย่างเช่นที่
0 < s < X และ | x − s | < δ . แล้วบันทึก > บันทึก x = y −ε T T < > เข้าสู่ระบบเพื่อสำหรับใด ๆ T
∈ . เราสรุปว่าเป็นขอบเขตบนของ H และ X ≤เอส แต่เอส
x
> ความแตกต่างเราได้พิสูจน์แล้วว่า เข้าสู่ระบบ X = Y Y กำลังพลตั้งแต่เลือกได้
ว่าช่วงของบันทึกคือเซตของจำนวนจริง