The observation of a coincidence a

The observation of a coincidence a bit of mathematical serendipity can often be helpful in stretching the imagination of our students. When this happens, the fun of discovery often spurs the searcher on to new questions and new finds. Here we take one such coincidence and follow it a bit later suggesting further directions of inquiry.
Some time ago, Lewis Simon, a senior citizen volunteering in the public schools of Long Beach, California, confronted me with the interesting product 48 × 42, interesting because reversing the digits does not change the answer:
48 × 42 = 84 × 24 = 2016
Are there other two-digit numbers (each with the same first digit) that enjoy the same property? This question leads us to seek integer solutions to the equation
(1)
= , which reduces to
(2)
If we ignore the trivial case where , we find, by assigning values to and that make integral, the following four instances of mirror multiplication:
24 × 21 = 42 × 12
39 × 31 = 93 × 13
48 × 42 = 84 × 24
64 × 69 = 46 × 96
There are numerous opportunities for an extension of these results. What, for example, happens if we drop the condition that each of the numbers must have the same first or last digit? We will do this by considering the equation
(3)
= , We might, for example, have explored instead

= , where and are limited to values that yield two digits. The interested student might carry this through and compare the results with those obtained using (3).
DEFINITION. When relationship (3) holds. We call a mirror multiplication and abbreviate it M M. We refer to each of the two terms in an M M as mirror multipliers.
Equation (3). when reduced, leads immediately the relation
(4) ,
and if we reverse the steps, leads to (3). Hence, (4) is a necessary and sufficient condition for a pair of two-digit numbers to be mirror multipliers. For example, if =8 and
=3, then =24. Then we can have =6 and =4, and it follows that
86 × 34 = 68 × 43.
We need some systematic way of finding all pairs of two-digit mirror multipliers, for trial and error is too tedious with four letters. In order to simplify the search, as well as to gain some insight into the process, we make some observations and list them as theorems for ease of reference.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สังเกตของความบังเอิญของเซเรนดิพิตี้ทางคณิตศาสตร์มักจะได้ดียืดจินตนาการของนักเรียนของเรา เมื่อเกิดเหตุการณ์ สนุกค้นพบมัก spurs ผู้ค้นหาเข้าสู่คำถามใหม่ และค้นหาใหม่ ที่นี่เรามีหนึ่งบังเอิญตอนบิตหลังแนะนำเพิ่มเติมเส้นทางสอบถามเวลาผ่านมา ลูอิส Simon อาสาสมัครในโรงเรียนของลองบีช แคลิฟอร์เนีย พี่เผชิญฉันกับผลิตภัณฑ์น่าสนใจ 48 × 42 น่าสนใจเนื่องจากการกลับตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลงคำตอบ: 48 × 42 = 84 × 24 = 2016มีเลขสองหลักหมายเลขอื่น ๆ (แต่ละตัวเลขแรกเดียวกัน) ที่เพียงแห่งเดียว คำถามนี้นำเราแสวงหาโซลูชั่นเต็มกับสมการ(1) =ที่ ซึ่งช่วยลดการ(2) ถ้าเราไม่สนใจคดีเล็กน้อยที่ เราค้นหา โดยการกำหนดค่าและทำให้ทฤษฎีบูรณาการ สี่ต่อไปนี้อินสแตนซ์ของคูณกระจก: 24 × 21 = 42 × 12 39 × 31 = 93 × 13 48 × 42 = 84 × 24 64 × 69 = 46 × 96 มีโอกาสมากมายสำหรับการขยายผลลัพธ์เหล่านี้ อะไร ตัวอย่าง เกิดขึ้นถ้าเราวางเงื่อนไข นั้นแต่ละหมายเลขต้องมีเลข หมายเดียวกันหรือไม่ เราจะทำได้ โดยพิจารณาจากสมการ(3) =, เราอาจ ตัวอย่าง ได้ไปแทน =, ที่จะจำกัดค่าที่เลขสองหลักที่ผลตอบแทน นักเรียนสนใจอาจดำเนินการนี้ผ่าน และเปรียบเทียบกับผู้รับใช้ (3)คำจำกัดความ เมื่อความสัมพันธ์ (3) จัดเก็บ เราเรียกคูณกระจก และย่อมันเมตร เราอ้างอิงแต่ละเงื่อนไขสองในการเมตรเป็นกระจก multipliers สมการ (3) เมื่อลดลง ทันทีเป้าหมายความสัมพันธ์(4) ,และถ้าเราย้อนกลับขั้นตอน นำไปสู่ (3) ดังนั้น, (4) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็น และเพียงพอสำหรับคู่ของตัวเลขสองหลักให้ multipliers กระจก ตัวอย่าง ถ้า = 8 และ = 3 แล้ว = 24 แล้วเราได้ = 6 และ = 4 และเป็นไปตามที่ 86 × 34 = 68 × 43 เราต้องการบางวิธีที่ระบบการหาคู่ของกระจกสอง multipliers สำหรับลองผิดนิด ด้วยตัวอักษร 4 เพื่อทำการค้นหา เช่นเป็นบางเข้าใจในกระบวนการ เราให้ข้อสังเกตุบาง และรายการเหล่านั้นเป็นทฤษฎีสำหรับความสะดวกในการอ้างอิง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การสังเกตของเรื่องบังเอิญบังเอิญบิตของคณิตศาสตร์มักจะเป็นประโยชน์ในการยืดจินตนาการของนักเรียนของเรา เมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ความสนุกของการค้นพบสเปอร์สมักจะค้นหาในคำถามใหม่และพบใหม่ ที่นี่เราใช้เวลาหนึ่งบังเอิญดังกล่าวและปฏิบัติตามมันบิตต่อมาบอกทิศทางต่อไปของสอบถามรายละเอียดเพิ่มเติม.
บางเวลาที่ผ่านลูอิสไซมอนเป็นอาสาสมัครพลเมืองอาวุโสในโรงเรียนของรัฐของลองบีชแคลิฟอร์เนียเผชิญหน้ากับผมด้วยผลิตภัณฑ์ที่น่าสนใจ 48 × 42, ที่น่าสนใจ เพราะย้อนกลับตัวเลขไม่ได้เปลี่ยนคำตอบที่:
48 × 42 = 84 × 24 = 2016
มีตัวเลขอีกสองหลัก (แต่ละคนมีเหมือนกันหลักแรก) ที่เพลิดเพลินไปกับสถานที่เดียวกันได้หรือไม่ คำถามนี้ทำให้เราหาทางแก้ปัญหาจำนวนเต็มสมการ
(1)
= ซึ่งจะช่วยลดการ
(2)
ถ้าเราไม่สนใจคดีเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เราพบโดยการกำหนดค่าและที่ทำให้หนึ่งดังต่อไปนี้สี่กรณีของการคูณกระจก:
24 × 21 = 42 × 12
39 × 31 = 93 × 13
48 × 42 = 84 × 24
64 × 69 × 46 = 96
มีโอกาสมากมายสำหรับการขยายผลการเหล่านี้มี สิ่งที่ยกตัวอย่างเช่นที่เกิดขึ้นถ้าเราวางเงื่อนไขที่ว่าแต่ละหมายเลขจะต้องมีเหมือนกันหลักแรกหรือครั้งสุดท้าย? เราจะทำเช่นนี้โดยพิจารณาสมการที่
(3)
= เราอาจจะยกตัวอย่างเช่นมีการสำรวจแทน= ที่ไหนและจะถูก จำกัด ให้ค่าที่ให้ผลผลิตตัวเลขสองหลัก นักเรียนที่สนใจจะดำเนินการผ่านทางนี้และเปรียบเทียบผลกับผู้ที่ได้รับใช้ (3). ความหมาย เมื่อความสัมพันธ์ (3) ถือหุ้น เราเรียกคูณกระจกและมันย่อเอ็มเอ็มเราหมายถึงแต่ละคำสองคำในเอ็มเอ็มเป็นตัวคูณกระจก. สมการ (3) เมื่อลดลงทันทีที่นำไปสู่ความสัมพันธ์(4) และถ้าเราย้อนกลับขั้นตอนที่จะนำไปสู่ ​​(3) ดังนั้น (4) เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับคู่ของตัวเลขสองหลักที่จะเป็นตัวคูณกระจก ตัวอย่างเช่นถ้า = 8 และ= 3 แล้ว = 24 จากนั้นเราจะได้มี = 6 = 4 และมันตามที่86 × 34 × 68 = 43 เราต้องมีวิธีการที่เป็นระบบในการหาคู่ของตัวคูณกระจกสองหลักสำหรับการทดลองและความผิดพลาดจะน่าเบื่อเกินไปกับสี่ตัวอักษร เพื่อให้ง่ายในการค้นหาเช่นเดียวกับการได้รับทราบข้อมูลบางอย่างในการที่เราให้ข้อสังเกตบางอย่างและรายการพวกเขาเป็นทฤษฎีเพื่อความสะดวกในการอ้างอิง