Fast Fourier Transform (FFT)Introdu

Fast Fourier Transform (FFT)
Introduction

DFTs with a million points are common in many applications. Modern signal and image processing applications would be impossible without an efficient method for computing the DFT.

Direct application of the definition of the DFT (see Discrete Fourier Transform (DFT)) to a data vector of length n requires n multiplications and n additions—a total of 2n2 floating-point operations. This does not include the generation of the powers of the complex nth root of unity ω. To compute a million-point DFT, a computer capable of doing one multiplication and addition every microsecond requires a million seconds, or about 11.5 days.

Fast Fourier Transform (FFT) algorithms have computational complexity O(n log n) instead of O(n2). If n is a power of 2, a one-dimensional FFT of length n requires less than 3n log2 n floating-point operations (times a proportionality constant). For n = 220, that is a factor of almost 35,000 faster than 2n2.

The MATLAB® functions fft, fft2, and fftn (and their inverses ifft, ifft2, and ifftn, respectively) all use fast Fourier transform algorithms to compute the DFT.

When using FFT algorithms, a distinction is made between the window length and the transform length. The window length is the length of the input data vector. It is determined by, for example, the size of an external buffer. The transform length is the length of the output, the computed DFT. An FFT algorithm pads or chops the input to achieve the desired transform length. The following figure illustrates the two lengths.

The execution time of an FFT algorithm depends on the transform length. It is fastest when the transform length is a power of two, and almost as fast when the transform length has only small prime factors. It is typically slower for transform lengths that are prime or have large prime factors. Time differences, however, are reduced to insignificance by modern FFT algorithms such as those used in MATLAB. Adjusting the transform length for efficiency is usually unnecessary in practice.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็ว Transform (FFT)
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับ DFTs ล้านจุดที่พบบ่อยในการใช้งานมาก สัญญาณที่ทันสมัยและการประยุกต์ใช้การประมวลผลภาพจะเป็นไปไม่ได้โดยไม่ต้องวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณ DFT. การประยุกต์ใช้โดยตรงของความหมายของ DFT (ดูฟูริเยร์ไม่ต่อเนื่อง Transform (DFT)) เพื่อให้ข้อมูลเวกเตอร์ยาว n ต้องคูณ n และ n-เพิ่มเติม รวมของการดำเนินงาน 2n2 จุดลอย นี้ไม่รวมถึงการสร้างอำนาจของรากที่ n ที่ซับซ้อนของความสามัคคีω การคำนวณ DFT ล้านจุดคอมพิวเตอร์ที่มีความสามารถในการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งคูณและนอกจากมิลลิต้องทุกวินาทีล้านบาทหรือประมาณ 11.5 วัน. ฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็ว Transform (FFT) มีขั้นตอนวิธีการซับซ้อนในการคำนวณ O (n log n) แทน O (n2 ) ถ้า n เป็นอำนาจของ 2 มิติเดียว FFT ยาว n ต้องน้อยกว่า 3n log2 n การดำเนินงานจุดลอย (เท่าสัดส่วนคงที่) สำหรับ n = 220 ที่เป็นปัจจัยเกือบ 35,000 เร็วกว่า 2n2. ฟังก์ชั่นMATLAB® FFT, fft2 และ fftn (และแปรผกผันกันของพวกเขา IFFT, ifft2 และ ifftn ตามลำดับ) ทั้งหมดใช้ฟูริเยร์ได้อย่างรวดเร็วเปลี่ยนอัลกอริทึมในการคำนวณ DFT เมื่อมีการใช้อัลกอริทึม FFT ความแตกต่างที่ทำระหว่างความยาวหน้าต่างและระยะเวลาในการแปลง ระยะเวลาในหน้าต่างคือความยาวของการป้อนข้อมูลเวกเตอร์ มันจะถูกกำหนดโดยยกตัวอย่างเช่นขนาดของบัฟเฟอร์ภายนอก ระยะเวลาในการแปลงคือความยาวของการส่งออกที่คำนวณ DFT แผ่นขั้นตอนวิธี FFT หรือสับป้อนข้อมูลเพื่อให้บรรลุความยาวที่ต้องการเปลี่ยน รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงสองความยาว. เวลาดำเนินการขั้นตอนวิธี FFT ขึ้นอยู่กับระยะเวลาในการแปลง มันเป็นเรื่องที่เร็วที่สุดเมื่อระยะเวลาในการแปลงเป็นอำนาจของสองและเกือบจะเป็นไปอย่างรวดเร็วเมื่อระยะเวลาในการแปลงมีเพียงปัจจัยสำคัญที่มีขนาดเล็ก มันเป็นเรื่องปกติสำหรับช้าเปลี่ยนความยาวที่มีความสำคัญหรือมีปัจจัยสำคัญที่มีขนาดใหญ่ ความแตกต่างเวลา แต่จะลดลงไปโดยขั้นตอนวิธีการสำคัญลง FFT ที่ทันสมัยเช่นที่ใช้ใน MATLAB การปรับเปลี่ยนระยะเวลาให้มีประสิทธิภาพมักจะไม่จำเป็นในการปฏิบัติ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว ( FFT )

dfts เบื้องต้นกับล้านจุดที่พบบ่อยในการใช้งานมาก . สัญญาณที่ทันสมัยและการประยุกต์การประมวลผลภาพเป็นไปไม่ได้โดยไม่มีวิธีการที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณ DFT .

การใช้โดยตรงของคำนิยามของ DFT ( Discrete Fourier Transform ( DFT ) เป็นข้อมูลเวกเตอร์ของความยาว n ต้อง N การคูณและการ additions-a รวมจุด - 2n2 . นี้ไม่รวมรุ่นของอำนาจที่ซับซ้อนลาฮอร์เอกภาพω . คำนวณ DFT ล้านจุดคอมพิวเตอร์สามารถทำหนึ่งการคูณและนอกจากนี้ทุกวินาทีต้องล้านวินาที หรือประมาณ 11.5 วัน

อย่างรวดเร็ว ( FFT ) ขั้นตอนวิธีการแปลงฟูรีเยมีความซับซ้อนในการคำนวณ O ( n log n ) แทน O ( n2 ) ถ้า n เป็นอำนาจของ 2 มิติ หน่วยของความยาว , N ต้องน้อยกว่า 3N LN N ปฏิบัติการจุดลอย ( ครั้งสัดส่วนคงที่ ) n = 220 ,นั่นคือปัจจัยเกือบ 35 , 000 เร็วกว่า 2n2 .

®ฟังก์ชั่น FFT fft2 MATLAB , และ fftn ( และแปรผกผัน ifft ifft2 , และ ifftn ตามลำดับ ) ทั้งหมดใช้การแปลงฟูรีเยอย่างเร็วอัลกอริทึมเพื่อคำนวณแรง

เมื่อใช้ขั้นตอนวิธีอกท , ความแตกต่างได้ระหว่างความยาวและหน้าต่าง เปลี่ยนความยาว ความยาวหน้าต่าง คือ ความยาวของข้อมูลเวกเตอร์ มันถูกกำหนดโดยตัวอย่างเช่น ขนาดของบัฟเฟอร์ที่ภายนอก การแปลงความยาวความยาวของเอาต์พุต การคำนวณ DFT . เป็นหน่วยรองหรือขั้นตอนวิธีสับใส่เพื่อให้บรรลุตามที่ต้องการเปลี่ยนความยาว รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงสองขนาด

การเวลาของขั้นตอนวิธีการแปลง FFT ขึ้นอยู่กับความยาว มันเร็วที่สุดเมื่อเปลี่ยนความยาว คือ พลังของทั้งสองและเกือบจะเป็นอย่างรวดเร็วเมื่อเปลี่ยนความยาวได้เพียงเล็ก ๆเฉพาะด้าน มันมักจะช้าสำหรับการแปลงความยาวที่เป็นนายก หรือมีปัจจัยสําคัญใหญ่ เวลาที่ความแตกต่าง อย่างไรก็ตาม จะลดลงเล็กน้อยโดยขั้นตอนวิธีการเกิดทันสมัยเช่นที่ใช้ในโปรแกรม . การปรับแปลงความยาวประสิทธิภาพมักจะจำเป็นในการปฏิบัติงาน