Tree Covering of Cartesian Product

Tree Covering of Cartesian Product of Graphs
Formally, we give the following definition to better understand the succeeding discussions.
Definition 3.1 The cartesian product of two graphs G1 × G2 is the graph with vertex set V (G1) × V (G2), and two vertices (u1, u2) and (v1, v2) are adja- cent in G1 × G2 if and only if either
u1 =v1 andu2 adjv2 oru2 =v2 andu1 adjv1
The book Bn is the graph Sn × K2. The ladder Ln is the graph Pn × K2.
Here, and in the succeeding discussions, Tn denotes the tree of order n. Theorem 3.2 For n ≥ 2, tc(Tn × K2) = 2.
Proof : Clearly, Tn × K2 is not a tree. Hence, tc(Tn × K2) ≥ 2. Thus, it suffices to to show that tc(Tn ×K2) ≤ 2. Let u,v ∈ V(K2) and xi ∈ V(Tn), where i = {1,2,3,...,n} then (xi,u),(xi,v) ∈ V(Tn ×K2), now we form the graph G1 with vertices (xi,u) using the the following procedure: Let eij = [(xi,u),(xj,u)] ∈ E(Tn × K2) and eij ∈ E(G1) if and only if [xi,xj] ∈ E(G1) for each i ∈ {1,2,3,...,n} and i ̸= j, clearly G1 ∼= G, moreover G1 is a subgraphofTn×K2,becauseeij ∈E(Tn×K2)foralli,j∈{1,2,...,n}.
Now,letcij =[(xi,u),(xj,u),(xj,v),(xi,v),(xi,u)]withd((xi,u),(xj,u))= 1 be the cycles in Tn × K2, it can be verified that when d((xi,u),(xj,u)) = 1 implies that cij is a minimal cycle in Tn × K2, so if we delete the edge eij = [(xi,u),(xj,u)]resultstoasubgraph⟨Tn ×K2 eij⟩,wherei={1,2,3,...,n}, i ̸= j, which is a tree.
Thus the family FG = ⟨Tn ×K2 eij⟩∪G1 is a tree cover of G. Hence tc(Tn × K2) ≤ |FG| = 2, and since Tn × K2 is not a tree, by Theorem 3.1.3, tc(Tn × K2) ≥ 2. And we are done.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ครอบคลุมแผนภูมิของผลคูณคาร์ทีเซียนของกราฟอย่างเป็นกิจจะลักษณะ เราสามารถให้คำจำกัดความต่อไปนี้ให้เข้าใจการสนทนาถัดไปข้อกำหนด 3.1 คูณคาร์ทีเซียนของฟิลด์สองกราฟ G1 G2 เป็นกราฟที่ มีจุดตั้ง V (G1) ซื้อ V (G2), และสองจุดยอด (u1, u2) และ (v1, v2) เป็นร้อยละ adja ในฟิลด์ G1 G2 ถ้า และ เมื่อใดu1 = v1 andu2 adjv2 oru2 = v2 andu1 adjv1จองพันเป็นกราฟฟิลด์ Sn K2 บันได Ln เป็นกราฟซื้อพีเอ็นเค 2ที่นี่ และ ในการ สนทนาถัดไป Tn หมายถึงการสั่งตอนเหนือทฤษฎีบท 3.2 สำหรับ n ≥ 2, tc (Tn × K2) = 2หลักฐาน: ชัดเจน Tn × K2 เป็นไม่ ดังนั้น tc (Tn × K2) ≥ 2 ดังนั้น มัน suffices ไปแสดงที่ tc (Tn × K2) ≤ 2 ให้ u, v ∈ V(K2) และสิ∈ V(Tn) ที่ฉัน = {1,2,3,..., n } แล้ว (xi,u),(xi,v) ∈ V (Tn × K2), ตอนนี้เรามีรูปแบบกราฟ G1 กับจุดยอด (xi, u) ใช้ในขั้นตอนต่อไปนี้: ให้ eij = [(xi,u),(xj,u)] ∈ E (Tn × K2) และ eij ∈ E(G1) ถ้าและเฉพาะถ้า [xi, xj] ∈ E(G1) สำหรับแต่ละ i ∈ { 1,2,3 ,..., n } และ̸ = j, G1 ชัดเจน∼ = G นอกจากนี้ G1 เป็น subgraphofTn × K2, becauseeij ∈E (Tn × K2) foralli, j∈ {1, 2,..., n }ตอนนี้ letcij = [(xi,u),(xj,u),(xj,v),(xi,v),(xi,u)]withd((xi,u),(xj,u)) = 1 เป็นวงจรการซื้อ Tn K2 มันสามารถตรวจสอบว่า เมื่อ d((xi,u),(xj,u)) = 1 หมายความว่า cij เป็นวงจรน้อยที่สุดในฟิลด์ Tn K2 ดังนั้น ถ้าเราลบ eij ขอบ = [(xi,u),(xj,u)] resultstoasubgraph⟨Tn × K2 eij⟩,wherei={1,2,3 ,..., n }, ฉัน̸ = j ซึ่งเป็นการดังนั้นครอบครัว FG = ⟨Tn × K2 eij⟩∪G1 เป็นต้นไม้ใบปะของ tc Hence กรัม (Tn × K2) ≤ | FG| = 2 และ ตั้งแต่ซื้อ Tn K2 เป็นไม่ โดยทฤษฎีบทเป็น 3.1.3, tc (Tn × K2) ≥ 2 และเราจะทำ