Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vo

Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol. 7, 2012, no. 42, 2053 - 2059
Fibonacci Identities as Binomial Sums II
Mohammad K. Azarian
Department of Mathematics
University of Evansville
1800 Lincoln Avenue, Evansville, IN 47722, USA
[e-mail]
Abstract
As in [2], our goal in this article is to write some more prominent and
fundamental identities regarding Fibonacci numbers as binomial sums.
Mathematics Subject Classification: 05A10, 11B39
Keywords: Fibonacci numbers, Fibonacci sequence, Fibonacci identities
1. Introduction
The most well-known linear homogeneous recurrence relation of order two
with constant coefficients is
Fn+2 = Fn+1 + Fn, where F0 = 0, F1 = 1, and n ≥ 0.
This recurrence relation produces the most popular and widely-used integer
sequence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., namely, the famous Fibonacci sequence. As
in [2], to facilitate rapid numerical calculations of identities pertaining to Fibonacci
numbers we write some of these fundamental identities as binomial
sums.
Hundreds of Fibonacci identities have been developed over the centuries
by numerous mathematicians and number enthusiasts. They have been published
in various journals and books for at least the past two centuries. The
Fibonacci Quarterly is a good source for those Fibonacci identities that have
been published since 1962. An impressive collection of over 200 known Fibonacci
identities, and in most cases along with the name of the original author,
can be found in [15], by Thomas Koshy. Another source for some well-known
Fibonacci identities is [4], by Marjorie Bicknel and Verner E. Hoggatt. Like
many ideas in mathematics it may not be possible to find the true and genuine
2054 M. K. Azarian
author of some of the Fibonacci identities. However, the following individuals
authored at least one of the identities that we have presented in this paper: R.
H. Anglin [1], G. Candido [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7], H. W. Gould [8],
R. L. Graham [9], J. H. Halton [10], V. E. Hoggatt Jr. [11, 12], V. E. Hoggatt
Jr. and G. E. Bergum [13], J. A. H. Hunter [14], T. Koshy [15-17], D. Lind
[18], P. Mana [19], G. C. Padilla [20, 21], C. B. A. Peck [22], C. W. Raine [23],
K. S. Rao [24], R. S. Seamons [25], M. N. S. Swamy [27, 28], G. Wulczyn [29],
C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin and F. D. Parker [31].
2. Identities
It is known that the left-hand side of Fibonacci identities in Theorems 2.2-
2.7 can be written as a (power of a ) single Fibonacci number. We acknowledge
that we have not independently verified the validity of some of these identities.
To proceed, first we recall the following theorem from [1].
Theorem 2.1 [1]. If Fn is any Fibonacci number, then
Fn+1 =
n
0

+
n − 1
1

+
n − 2
2

+ ... +
n − n
2  + 1
n
2  − 1

+
n − n
2 
n
2 

=
n
2 

i=0

n − i
i

, n ≥ 0.
To prove Theorems 2.2-2.7 we can simply use Theorem 2.1, and the fact
that each Fibonacci identity on the left-hand side can be written as a (power
of a ) single Fibonacci number. Or, we could use the principle of mathematical
induction, combinatorial arguments, or just simple algebra to prove these
theorems. However, we caution the reader that some of these identities have
been somewhat modified to fit a desired format and they may not look exactly
as they appear in the literature.
Theorem 2.2.
(i) Fn+1(FnFn+2 − F2
n+1)=(−1)n+1
n
2 

i=0
n−i
i

(ii) F2
n + F2
n+4 − 
4F2
n+2 + F2
n+3
= 1
2 [1 + (−1)n] +n
i=0
FiFi+1
= Fn+1Fn+2 −n
i=0
F2
i = 1
2 [1 + (−1)n]+(n + 1)Fn+1Fn+2 −n+1
i=0
iF2
i
Fibonacci Identities as binomial sums II 2055
=
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
2
(iii) F3
n+3 + 2F3
n+2 − 1
3
(F3
n + F3
n+4) =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n − i
i
⎤
⎦
3
(iv) F2
n+2(F2
n+2 − 4FnFn+1) + F2
n(2F2
n+1 − F2
n)
= 1
2
(F2
n +F2
n+1 +F2
n+2)
2 −(F4
n +F4
n+2)=2 
2F2
n+1 − (−1)n2
−(F4
n +F4
n+2)
=
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
4
(v) F5
n+2 + 5FnFn+1Fn+2(FnFn+1 − F2
n+2) − F5
n =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
5
(vi) 2[2F2
n+1 − (−1)n]
3 + 3F2
nF2
n+1F2
n+2 − (F6
n + F6
n+2) =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
6
(vii) 8F2
nF2
n+1(F4
n + F4
n+1 + 4F2
nF2
n+1 + 3FnFn+1F2n+1) − (F8
n + F8
n+2)
+2[2F2
n+1 − (−1)n]
4 =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
8
Theorem 2.3.
(i) F2
n+1 + FnFn+3 =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
2
(ii) F3
n + F3
n+1 + 3FnFn+1Fn+2 =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
3
(iii) F5
n + F5
n+1 + 5FnFn+1Fn+2[2F2
n+1 − (−1)n] =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
5
(iv) F7
n + F7
n+1 + 7FnFn+1Fn+2[2F2
n+1 − (−1)n]
2 =
⎡
⎣
n+1
2 

i=0
n+1−i
i

⎤
⎦
7
2056 M. K. Azarian
Theorem 2.4.
(i) 2(F2
n+1 + F2
n+2) − F2
n =
⎡
⎣
n+2
2 

i=0
n+2−i
i

⎤
⎦
2
(ii) F3
n + F3n+3 + 3Fn+1Fn+2Fn+3 =
⎡
⎣
n+2
2 

i=0
n+2−i
i

⎤
⎦
3
(iii) 55(F4
n+8 − F4
n+2) − 385(F4
n+6 − F4
n+4) + F4
n =
⎡
⎣
n+9
2 

i=0
n + 9 − i
i
⎤
⎦
4
Theorem 2.5.
(i) F2
n + F2
n+1 = n
i=0
2n−i
i

(ii) F2
n+2 − F2
n = Fn+1(Fn + Fn+2) =
2n+1
2 

i=0
2n+1−i
i

(iii) F2
2n+2(F2n+1F2n+3 − F2
2n+2) = n
i=0
F4i+2 =
⎡
⎣
2n+1
2 

i=0
2n+1−i
i

⎤
⎦
2
(iv) Fn+2Fn+3 − FnFn+1 = n+1
i=0
2n + 2 − i
i

(v) (FnFn+3)2 + (2Fn+1Fn+2)2 =


n+1
i=0
2n+2−i
i

2
Theorem 2.6.
(i) Fn+1 
5F2
n+1 − 3(−1)n
= F3
n+3 − F3
n − 3Fn+1Fn+2Fn+3
= F3
n+1 + F3
n+2 − F3
n =
3n+2
2 

i=0
3n+2−i
i

(ii) 10n+1
i=0
F3
i − [5 + 6(−1)nFn] =
3n+4
2 

i=0
3n + 4 − i
i

(iii) F3n + 4F3n+3 = 1
3

F3
n+4 + F3
n − 3F3
n+2
=
3n+5
2 

i=0

3n + 5 − i
i

Fibonacci Identities as binomial sums II 2057
Theorem 2.7.
(i) 3 + 25n
i=1

i
j=1
F2
2j−1 − 5n(n + 1) − F4n+3 = 
2n
i=0
4n − i
i

(ii) 1+2n + 5n
i=0
F2
2i =
4n+1
2 

i=0
4n+1−i
i

(iii) 5n
i=0
F2
2i+1 − 2(n + 1) =
4n+3
2 

i=0
4n+3−i
i

3. Conclusion
Out of hundreds of Fibonacci identities that have been developed over the
centuries, we have presented just a sample of known Fibonacci identities as
binomial sums here and in [2]. Also, we are hoping that these two articles may
serve as a catalyst for the reader to write her/his favorite Fibonacci identities
as binomial sums. Additionally, in a forthcoming article we will present some
other prominent identities involving Lucas or Lucas and Fibonacci numbers as
binomial sums.
References
[1] R. H. Anglin, Problem B-160, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No. 1,
Feb. 1970, p. 107.
[2] M. K. Azarian, Fibonacci Identities as Binomial Sums, International
Journal of Contemporary Mathematical Sciences, Vol. 7, No. 38, 2012, pp.
1871 - 1876.
[3] M. K. Azarian, The Generating Function for the Fibonacci Sequence,
Missouri Journal of Mathematical Sciences, Vol. 2, No. 2, Spring 1990, pp.
78-79.
[4] M. Bicknel and V. E. Hoggatt, Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci
Association, 1974.
[5] G. Candido, A Relationship Between the Fourth Powers of the Terms
of the Fibonacci Series, Scripta Mathematica, Vol. 17, No. 3-4, Sept. – Dec.
1951, p. 230.
[6] L. Carlitz, Problem B-110, The Fibonacci Quarterly, Vol. 5, No. 5,
Dec. 1967, pp. 469-470.
[7] J. Ginsburg, A Relationship Between Cubes of Fibonacci Numbers,
Scripta Mathematica, Vol. 19, Dec. 1953, p. 242.
[8] H. W. Gould, Problem B-7, The Fibonacci Quarterly, Vol. 1, No. 3,
Oct. 1963, p. 80.
2058 M. K. Azarian
[9] R. L. Graham, Problem H-45, The Fibonacci Quarterly, Vol. 3, No. 2,
April 1965, pp. 127-128.
[10] J. H. Halton, On a General Fibonacci Identity, The Fibonacci Quarterly,
Vol. 3, No. 1, Feb. 1965, pp. 31-43.
[11] V. E. Hoggatt Jr., Problem H-39, The Fibonacci Quarterly, Vol. 2,
No. 2, April 1964, p. 124.
[12] V. E. Hoggatt Jr., Problem H-77, The Fibonacci Quarterly, Vol. 5,
No. 3, Oct. 1967, pp. 256-258.
[13] V. E. Hoggatt Jr., and G. E. Bergum, A Problem of Fermat and the
Fibonacci Sequence, The Fibonacci Quarterly, Vol. 15, No. 4, Oct. 1977, pp.
323-330.
[14] J. A. H. Hunter, Fibonacci Yet Again, The Fibonacci Quarterly, Vol.
4, No. 3, Oct. 1966, p. 273.
[15] T. Koshy, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley
& Sons, Inc., 2001.
[16] T. Koshy, The Convergence of a Lucas Series, The Mathematical
Gazette, Vol. 83, July 1999, p. 272-274.
[17] T. Koshy, New Fibonacci and Lucas Identities, The Mathematical
Gazette, Vol. 82, Nov. 1988, pp.481-484.
[18] D. Lind, Problem B-85, The Fibonacci Quarterly, Vol. 4, No. 4, Dec.
1966, pp. 376-377.
[19] P. Mana, Problem B-152, The Fibonacci Quarterly, Vol. 7, No. 3,
Oct. 1963, p. 336.
[20] G. C. Padilla, Problem B-173, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
4, Oct. 1970, p. 445.
[21] G. C. Padilla, Problem B-172, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
4, Oct. 1970, pp. 444-445.
[22] C. B. A. Peck, Editorial Note, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
4, Oct. 1970, p. 392.
[23] C. W. Raine, Pythagorean Triangles from the Fibonacci Series 1,1,2,3,5,8,
Scripta Mathematica, Vol. 14, 1948, p. 164.
[24] K. S. Rao, Some Properties of Fibonacci Numbers, The American
Mathematical Monthly, Vol. 60, No. 10, Dec. 1953, pp. 680-684.
[25] R. S. Seamons, Problem B-107, The Fibonacci Quarterly, Vol. 5, No.
1, Feb. 1967, p. 107.
[26] N. J. Sloan, http://oeis.org/A000045&A007318.
[27] M. N. S. Swamy, Problem H-150, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8,
No. 4, Oct. 1970, pp. 391-392.
[28] M. N. S. Swamy, Problem B-84, The Fibonacci Quarterly, Vol. 4, No.
1, Feb. 1966, p. 90.
Fibonacci Identities as binomial sums II 2059
[29] G. Wulczyn, Problem B-384, The Fibonacci Quarterly, Vol. 17, No.
3, Oct. 1979, p. 283.
[30] C. C. Yalavigi, Problem B-169, The Fibonacci Quarterly, Vol. 8, No.
2, April 1970, pp. 329-330.
[31] D. Zeitlin and F. D. Parker, Problem H-14, The Fibonacci Quarterly,
Vol. 1, No. 2, April 1963, p. 54.
Received: June, 2012

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของดอกเบี้ย J. Contemp. คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ปี 7, 2012 หมายเลข 42, 2053-2059รหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามผล IIAzarian คุณอาหรับภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัย Evansville1800 ลินคอล์น Avenue, Evansville, IN 47722 สหรัฐอเมริกา[e-mail]บทคัดย่อใน [2], เป้าหมายของเราในบทความนี้จะเขียนโดดเด่นบางมาก และข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับ Fibonacci หมายเลขเป็นทวินามผลคณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 05A10, 11B39คำสำคัญ: หมายเลขฟีโบนัชชี ลำดับ Fibonacci, Fibonacci ประจำ1. บทนำความสัมพันธ์เชิงเส้นเหมือนเกิดรู้จักมากที่สุดลำดับ 2กับสัมประสิทธิ์คงFn + 2 = Fn, Fn + 1 ที่ F0 = 0, F1 = 1 และ n ≥ 0ความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้นให้เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดนิยม และ ใช้กันอย่างแพร่หลายลำดับ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., ได้แก่ ลำดับที่ Fibonacci มีชื่อเสียง เป็นใน [2], เพื่อช่วยในการคำนวณตัวเลขอย่างรวดเร็วของข้อมูลเฉพาะตัวเกี่ยวกับ Fibonacciตัวเลขที่เราเขียนข้อมูลพื้นฐานเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นแบบทวินามผลรวมได้รับการพัฒนาของ Fibonacci ประจำมากกว่าอื่น ๆโดย mathematicians และหมายเลขผู้ที่ชื่นชอบมากมาย มีการเผยแพร่ในสมุดรายวันต่าง ๆ และหนังสือสำหรับที่ผ่านมาสองศตวรรษ ที่รายไตรมาสของฟีโบนัชชีเป็นแหล่งดีสำหรับ identities Fibonacci ที่มีการเผยแพร่มาตั้งแต่ปี 2505 เก็บความประทับใจของฟีโบนัชชีรู้จักกว่า 200รหัสประจำตัว และ ในกรณีส่วนใหญ่ด้วยชื่อของผู้เขียนต้นฉบับสามารถพบใน [15], โดย Thomas Koshy แหล่งอื่นบางรู้จักฟีโบนัชชีประจำอยู่ [4] , โดย Marjorie Bicknel และ Verner E. Hoggatt เช่นหลายความคิดในวิชาคณิตศาสตร์ก็อาจไม่สามารถค้นหาความจริง และเป็นของแท้Azarian คุณ 2054 เมตรผู้เขียนของประจำฟีโบนัชชี อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้เขียนอย่างน้อยหนึ่งข้อมูลเฉพาะตัวที่เราได้นำเสนอในเอกสารนี้: อาร์H. Anglin [1], Candido กรัม [5], L. Carlitz [6], J. Ginsburg [7] H. W. Gould [8],R. แกรแฮม L. [9], Halton H. J. [10], V. E. Hoggatt จูเนียร์ [11, 12] V. E. HoggattLind D. จูเนียร์และ G. E. Bergum [13], J. A. H. ฮันเตอร์ [14], ต. Koshy [15-17],[18], P. Mana [19], Padilla C. กรัม [20, 21], เป็ก A. B. C. [22] C. W. Raine [23],คุณเรา S. [24], Seamons S. R. [25], ม. N. S. Swamy [27, 28] Wulczyn กรัม [29],C. C. Yalavigi [30], D. Zeitlin และ F. D. คเกอร์ [31]2. รหัสประจำตัวเป็นที่รู้จักกันที่ด้านซ้ายของ Fibonacci ประจำในทฤษฎี 2.2 -2.7 สามารถเขียนเป็นแบบ (พลังงานของการ) เลขฟีโบนัชชีเดียวได้ เรายอมรับเรามีอิสระไม่ถูกต้องของข้อมูลเหล่านี้ตรวจสอบการดำเนินการ เรายกทฤษฎีบทต่อไปนี้ [1]ทฤษฎีบท 2.1 [1] ถ้า Fn หมายเลขฟีโบนัชชี แล้วFn + 1 =n0+n − 11+n − 22+ ... +n − n2 + 1n2 − 1+n − n2n2= n2ฉัน = 0n −ฉันฉัน, n ≥ 0การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2.2-2.7 เราก็สามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความจริงว่า แต่ละ identity Fibonacci ด้านซ้ายเขียนได้เป็น (พลังงานของตัว) เลขฟีโบนัชชีเดียวกัน หรือ เราสามารถใช้หลักการทางคณิตศาสตร์เหนี่ยวนำ อาร์กิวเมนต์ปัญหา หรือพีชคณิตอย่างง่ายเพียงการพิสูจน์เหล่านี้ทฤษฎีบทความไม่ อย่างไรก็ตาม เราระวังอ่านว่า บางส่วนของตัวตนเหล่านี้ได้แล้วค่อนข้างแก้ไขให้พอดีกับที่ระบุรูปแบบและพวกเขาอาจไม่มองว่าตามที่ปรากฏในวรรณคดีทฤษฎีบทที่ 2.2(i) Fn + 1 (FnFn + 2 − F2n + 1) = (−1) n + 1 n2ฉัน = 0n−iฉัน(ii) F2n + F2n + − 44F2n + 2 + F2n + 3= 12 [1 + (−1) n] + nฉัน = 0FiFi + 1= Fn + 1Fn + 2 − nฉัน = 0F2ฉัน = 12 [1 + n (−1)] + (n + 1) Fn + 1Fn + 2 − n + 1ฉัน = 0iF2ฉันรหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามรวม II 2055=⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦2(iii) F3n + 3 + 2F3n + 2 − 13(F3n + F3n + 4) =⎡⎣ n2ฉัน = 0n −ฉันฉัน⎤⎦3(iv) F2n + 2 (F2n + 2 − 4FnFn + 1) + F2n (2F2n + 1 − F2n)= 12(F2n + F2n + 1 + F2n + 2)− 2 (F4n + F4n + 2) = 2 2F2n + 1 − (−1) n 2− (F4n + F4n + 2)=⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦4(v) F5n + 2 + 5FnFn + 1Fn + 2(FnFn+1 − F2n + 2) − F5n =⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦5(vi) 2 [2F2n + 1 − (−1) n]3 + 3F2nF2n + 1F2n + 2 − (F6n + F6n + 2) =⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦6(vii) 8F2nF2n + 1 (F4n + F4n + 1 + 4F2nF2n + 1 + 3FnFn + 1F2n + 1) − (F8n + F8n + 2)+ 2 [2F2n + 1 − (−1) n]4 =⎡⎣ n2ฉัน = 0n−iฉัน⎤⎦8ทฤษฎีบทที่ 2.3(i) F2n + 1 + FnFn + 3 =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦2(ii) F3n + F3n + 1 + 3FnFn + 1Fn + 2 =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦3(iii) F5n + F5n + 1 + 5FnFn + 1Fn + 2 [2F2n + 1 − (−1) n] =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦5(iv) F7n + F7n + 1 + 7FnFn + 1Fn + 2 [2F2n + 1 − (−1) n]2 =⎡⎣ n + 12ฉัน = 0n + 1−iฉัน⎤⎦7Azarian คุณ 2056 ม.ทฤษฎีบทที่ 2.4(i) 2 (F2n + 1 + F2n + 2) − F2n =⎡⎣ n + 22ฉัน = 0n + 2−iฉัน⎤⎦2(ii) F3F3n n + 3 + 3Fn + 1Fn + 2Fn + 3 =⎡⎣ n + 22ฉัน = 0n + 2−iฉัน⎤⎦3(iii) 55 (F4n + − 8 F4n + 2) − 385 (F4n + 6 − F4n + 4) + F4n =⎡⎣ n + 92ฉัน = 0n + 9 −ฉันฉัน⎤⎦4ทฤษฎีบทที่ 2.5(i) F2n + F2n + 1 = nฉัน = 02n−iฉัน(ii) F2n + 2 − F2n = Fn + 1 (Fn + Fn + 2) = 2n + 12ฉัน = 02n + 1−iฉัน(iii) F22n + 2 (F2n + 1F2n + 3 − F22n + 2) = nฉัน = 0F4i + 2 =⎡⎣ 2n + 12ฉัน = 02n + 1−iฉัน⎤⎦2(iv) Fn + 2Fn + FnFn 3 − + 1 = n + 1ฉัน = 02n + 2 −ฉันฉัน(v) (FnFn + 3) 2 + (2Fn + 1Fn + 2) 2 =n + 1ฉัน = 02n + 2−iฉัน2ทฤษฎีบท 2.6(i) Fn + 1 5F2n + 1 − 3 (−1) n = F3n + 3 − F3n − 3Fn + 1Fn + 2Fn + 3= F3n + 1 + F3n + 2 − F3n = วัน 3 คืน + 22ฉัน = 0วัน 3 คืน + 2−iฉัน(ii) 10 n + 1ฉัน = 0F3ฉัน− [5 + 6 (−1) nFn] = วัน 3 คืน + 42ฉัน = 0วัน 3 คืน + 4 −ฉันฉัน(iii) F3n + 4F3n + 3 = 13F3n + 4 + F33F3 n −n + 2= วัน 3 คืน + 52ฉัน = 0วัน 3 คืน + 5 −ฉันฉันรหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามรวม II 2057ทฤษฎีบท 2.7n (i) 3 + 25ฉัน = 1ฉันj = 1F22j−1 − 5n F4n − (n + 1) + 3 =2nฉัน = 04n −ฉันฉัน(ii) 1 + 2n + 5 nฉัน = 0F22i = 4n + 12ฉัน = 04n + 1−iฉันn (iii) 5ฉัน = 0F22i + 1 − 2 (n + 1) = 4n + 32ฉัน = 04n + 3−iฉัน3. สรุปจาก Fibonacci ประจำที่ได้รับการพัฒนามากกว่าหลายร้อยแบบมานานหลายศตวรรษ เราได้นำเสนอเพียงตัวอย่างของ Fibonacci ตัวตนที่รู้จักกันเป็นผลทวินามที่นี่ และ ใน [2] ยัง เราหวังว่า บทความทั้งสองเหล่านี้อาจเป็น catalyst สำหรับอ่านเขียนประจำฟีโบนัชชี her/his ชื่นชอบเป็นผลทวินาม นอกจากนี้ ในบทความหน้า เราจะนำเสนอบางส่วนเอกลักษณ์โดดเด่นอื่น ๆ เกี่ยวข้องกับ Lucas หรือ Lucas และ Fibonacci หมายเลขเป็นผลทวินามการอ้างอิง[1] Anglin ปัญหา B-160, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข 1, H. R.1970 ก.พ. p. 107[2] เมตรคุณ Azarian, Fibonacci ประจำเป็นทวินามผล นานาชาติสมุดรายวันของสมัยคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ ปี 7 หมายเลข 38, 2012, pp1871 - 1876[3] Azarian คุณเมตร ฟังก์ชันสร้างสำหรับลำดับ Fibonacciมิสซูรีสมุดของคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ ปี 2 หมายเลข 2 ฤดูใบไม้ผลิปี 1990, pp78-79[4] Bicknel เมตรและ V. E. Hoggatt สมุดปัญหาของ Fibonacci, Fibonacciสมาคม 1974[5] Candido กรัม ความสัมพันธ์ระหว่างอำนาจสี่เงื่อนไขของลำดับ Fibonacci, Scripta Mathematica, 17 หมายเลข 3-4 กันยายนธันวาคม1951, p. 230[6] L. Carlitz ปัญหา B-110, Fibonacci รายไตรมาส ปี 5 หมายเลข 5ธันวาคมค.ศ. 1967 นำ 469 470[7] เจ Ginsburg ความสัมพันธ์ระหว่างลูกบาศก์ของเลขฟีโบนัชชีScripta Mathematica ปี 19, 1953 ธันวาคม p. 242[8] H. ปริมาณ Gould ปัญหา B-7, Fibonacci รายไตรมาส ปี 1 เลข 31963 ตุลาคม p. 80Azarian คุณ 2058 เมตร[9] R. L. เกรแฮม ปัญหา H-45, Fibonacci รายไตรมาส ปี 3 หมายเลข 22508 เมษายน นำ 127-128[10] J. H. Halton บนทั่วไป Fibonacci ตัว รายไตรมาส ฟีโบนัชชี3 หมายเลข 1 1965 ก.พ. นำ 31-43[11] V. E. Hoggatt จูเนียร์ ปัญหา H-39, Fibonacci รายไตรมาส ปี 2หมายเลข 2 เดือน 1964 เมษายน p. 124[12] V. E. Hoggatt จูเนียร์ ปัญหา H-77, Fibonacci รายไตรมาส ปี 5เลขที่ 3, 1967 ตุลาคม นำ 256-258[13] V. E. Hoggatt จูเนียร์ และ G. E. Bergum ปัญหาของแฟร์มาและลำดับ Fibonacci, Fibonacci รายไตรมาส ปี 15 หมายเลข 4, 1977 ตุลาคม pp323-330[14] ฮันเตอร์ J. A. H., Fibonacci ยังอีกครั้ง การฟีโบนัชชีรายไตร มาส ปี4 หมายเลข 3, 1966 ตุลาคม p. 273[15] ต. Koshy ฟีโบนัชชี และ เลข Lucas กับ จอห์น Wileyและบุตร Inc., 2001[16] ต. Koshy การบรรจบกันของชุด Lucas ทางคณิตศาสตร์ประกาศ ปี 83, 1999 กรกฎาคม p. 272-274[17] Koshy ต. Fibonacci ใหม่ และ Lucas ประจำ ทางคณิตศาสตร์ประกาศ ปี 82, 1988 พฤศจิกายน pp.481-484[18] D. Lind ปัญหา B-85, Fibonacci รายไตรมาส ปี 4 เลขที่ 4 ธันวาคม1966 นำ 376-377[19] P. Mana ปัญหา B-152, Fibonacci รายไตรมาส ปี 7 หมายเลข 31963 ตุลาคม p. 336[20] กรัม C. Padilla ปัญหา B-173, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข4, 1970 ตุลาคม p. 445[21] กรัม C. Padilla ปัญหา B-172, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข4, 1970 ตุลาคม นำ 444 445[22] C. เกิดอ.เป็ก หมายเหตุบรรณาธิการ Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข4, 1970 ตุลาคม p. 392[23] C. ปริมาณ Raine สามเหลี่ยมพีทาโกรัสจากลำดับ Fibonacci 1,1,2,3,5,8Scripta Mathematica ปี 14, 1948, p. 164[24] คุณ S. ราว คุณสมบัติบางอย่างของตัวเลข Fibonacci อเมริกันที่คณิตศาสตร์เดือน ปี 60 หมายเลข 10, 1953 ธันวาคม นำ 680-684[25] อาร์เอส Seamons ปัญหา B-107, Fibonacci รายไตรมาส ปี 5 หมายเลข1 กุมภาพันธ์ 1967. p. 107[26] N. J. สโลน http://oeis.org/A000045&A007318[27] เมตรตอนเหนือ S. Swamy ปัญหา H-150, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8เลขที่ 4, 1970 ตุลาคม นำ 391-392[28] เมตรตอนเหนือ S. Swamy ปัญหา B-84, Fibonacci รายไตรมาส ปี 4 หมายเลข1 กุมภาพันธ์ 1966. p. 90รหัสประจำตัวฟีโบนัชชีเป็นทวินามผล II 2059[29] กรัม Wulczyn ปัญหา B-384, Fibonacci รายไตรมาส ปี 17 หมายเลข3, 1979 ตุลาคม p. 283[30] C. C. Yalavigi ปัญหา B-169, Fibonacci รายไตรมาส ปี 8 หมายเลข2 เดือน 1970 เมษายน นำ 329-330[31] D. Zeitlin และ F. D. ปาร์คเกอร์ ปัญหา H-14 รายไตรมาส ฟีโบนัชชีปี 1 ที่ 2 หมายเลข 1963 เมษายน p. 54รับ: เดือนมิถุนายน 2012

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Int เจ Contemp คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ฉบับ 7, 2012 ไม่มี 42, 2053-2059
Fibonacci
อัตลักษณ์เป็นครั้งที่สองผลรวมทวินามโมฮัมหมัดเคAzarian
ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยเอวานส์1800 ลิงคอล์นอเวนิว Evansville, 47722, USA [e-mail] บทคัดย่อในขณะที่ [2] เป้าหมายของเราในบทความนี้คือการ เขียนบางอย่างที่โดดเด่นมากขึ้นและ. ตัวตนพื้นฐานเกี่ยวกับตัวเลข Fibonacci เป็นผลรวมทวินามคณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมวดหมู่: 05A10, 11B39 คำสำคัญ: ตัวเลข Fibonacci ลำดับฟีโบนักชีตัวตน Fibonacci 1 บทนำส่วนใหญ่ที่รู้จักกันดีความสัมพันธ์เวียนเกิดเป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นของการสั่งซื้อสองที่มีสัมประสิทธิ์คงเป็นFn + 2 = Fn + 1 + Fn ที่ F0 = 0 F1 = 1 และ n ≥ 0. สัมพันธ์เวียนเกิดนี้จะนิยมมากที่สุดและใช้กันอย่างแพร่หลาย จำนวนเต็มใช้แล้วลำดับที่0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... คือลำดับฟีโบนักชีที่มีชื่อเสียง ในฐานะที่เป็นใน [2] เพื่ออำนวยความสะดวกการคำนวณตัวเลขอย่างรวดเร็วของตัวตนที่เกี่ยวข้องกับ Fibonacci ตัวเลขที่เราเขียนบางส่วนของตัวตนพื้นฐานเหล่านี้เป็นทวินามเงินก้อน. หลายร้อยตัวตน Fibonacci ได้รับการพัฒนามาหลายศตวรรษโดยนักคณิตศาสตร์จำนวนมากและผู้ที่ชื่นชอบจำนวน พวกเขาได้รับการตีพิมพ์ในวารสารต่าง ๆ และหนังสืออย่างน้อยที่ผ่านมาสองศตวรรษ Fibonacci รายไตรมาสเป็นแหล่งที่ดีสำหรับผู้ที่ Fibonacci ตัวตนที่ได้รับการตีพิมพ์ตั้งแต่ปี1962 คอลเลกชันที่น่าประทับใจกว่า 200 ฟีโบนักชีที่รู้จักกันในตัวตนและในกรณีส่วนใหญ่พร้อมกับชื่อของผู้เขียนต้นฉบับที่สามารถพบได้ใน[15] โดย โทมัส Koshy แหล่งอื่นสำหรับบางคนที่รู้จักกันดีตัวตน Fibonacci คือ [4] โดยมาร์จอรี่ Bicknel และแวร์เนอี Hoggatt เช่นเดียวกับความคิดมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ก็ไม่อาจเป็นไปได้ที่จะหาจริงและเป็นของแท้2054 MK Azarian ผู้เขียนบางส่วนของตัวตนฟีโบนักชี แต่บุคคลดังต่อไปเขียนอย่างน้อยหนึ่งของตัวตนที่เราได้นำเสนอในบทความนี้: อาร์เอชAnglin [1], จีดิ [5] ลิตร Carlitz [6] เจกินส์เบิร์ก [7] HW โกลด์ [8], RL เกรแฮม [9], JH Halton [10], VE Hoggatt จูเนียร์ [11, 12], VE Hoggatt จูเนียร์ และจีอี Bergum [13], JAH ฮันเตอร์ [14] ต Koshy [15-17], D. ลินด์[18], พีมานะ [19], GC โชคร้าย [20 21], CBA กัด [22], CW เรน [23], KS ราว [24] อาร์เอส Seamons [25], MNS สวามี่ [27 28] กรัม Wulczyn [29], CC Yalavigi [30], D. Zeitlin FD และปาร์กเกอร์ [31]. 2 . อัตลักษณ์เป็นที่รู้จักกันว่าด้านซ้ายมือตัวตนฟีโบนักชีในทฤษฎีบท 2.2- 2.7 สามารถเขียนได้เป็น (พลังของ) จำนวนฟีโบนักชีเดียว เรารับทราบว่าเราไม่ได้รับการตรวจสอบความถูกต้องเป็นอิสระจากบางส่วนของตัวตนเหล่านี้. เพื่อดำเนินการครั้งแรกที่เราจำทฤษฎีบทต่อไปนี้จาก [1]. ทฤษฎีบท 2.1 [1] หาก Fn เป็นจำนวนฟีโบนักชีใด ๆ แล้วFn + 1 = n 0 + n - 1 1 + n - 2 2 + ... + n - n 2? 1 + n 2? - 1 + n - n 2? n 2 = n 2? i = 0 n - ฉันฉัน, n ≥ 0. เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2-2.7 เราก็สามารถใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความจริงที่ว่าแต่ละตัวตนFibonacci ด้านซ้าย -hand ด้านสามารถเขียนได้เป็น (อำนาจของ) จำนวนฟีโบนักชีเดียว หรือเราสามารถใช้หลักการทางคณิตศาสตร์การเหนี่ยวนำการขัดแย้ง combinatorial หรือพีชคณิตง่ายเพียงเพื่อพิสูจน์เหล่านี้ทฤษฎีบท แต่เราเตือนผู้อ่านว่าบางส่วนของตัวตนเหล่านี้ได้รับการแก้ไขบ้างเพื่อให้เหมาะสมกับรูปแบบที่ต้องการและพวกเขาไม่อาจมีลักษณะตรงตามที่ปรากฏในวรรณคดี. ทฤษฎีบท 2.2. (i) Fn + 1 (FnFn + 2 - F2 + n 1) = (- 1) 1 + n n 2? i = 0 n-ฉัน? ฉัน? (ii) F2 n + F2 + n 4? - 4F2 n + 2 + F2? n + 3 = 1 2 [1 + (-1) n] n + i = 0 FiFi + 1 = Fn + 1Fn + 2 -? n i = 0 F2 i = 1 2 [1 + (-1) n] + (n + 1) Fn + 1Fn 2 - 1 + n i = 0 IF2 ฉันFibonacci อัตลักษณ์เป็นผลรวมสองจำนวนครั้งที่สอง 2055 = ⎡⎣ n 2? i = 0 n-ฉัน? ฉัน? ⎤⎦ 2 (iii) F3 n + 3 + 2F3 n + 2 - 1 3 (F3 + n F3 n + 4) = ⎡⎣ n 2? i = 0 n - ฉันฉัน⎤⎦ 3 (iv) F2 + 2 n (F2 + n 2 - 4FnFn + 1) + F2 n (2F2 n 1 - F2 n) = 1 2 (F2 n + F2 1 + n + F2 n + 2) 2 - (F4 n + F4 n + 2) = 2?  2F2 1 + n - (-1) n 2 - ( F4 n + F4 n + 2) = ⎡⎣ n 2? i = 0 n-ฉัน? ฉัน? ⎤⎦ 4 (V) F5 n + 2 + 5FnFn + 1Fn + 2 (FnFn + 1 - F2 n + 2) - F5 n = ⎡⎣ n 2? i = 0 n-ฉัน? ฉัน? ⎤⎦ 5 (vi) 2 [2F2 1 + n - (-1) n] 3 + 3F2 NF2 + n 1F2 n + 2 - (F6 n + F6 + 2 n) = ⎡⎣ n 2? i = 0? n ฉันฉัน? ⎤⎦ 6 (vii) 8F2 NF2 1 + n (F4 n + F4 1 + n + 4F2 NF2 1 + n + 3FnFn + 1F2n 1) - (F8 + n F8 n + 2) 2 [2F2 1 + n - (-1) n] 4 = ⎡⎣ n 2 i = 0? n ฉันฉัน? ⎤⎦ 8. ทฤษฎีบท 2.3 ( i) F2 1 + n + FnFn + 3 = ⎡⎣ 1 + n 2? i = 0? n + 1-i ฉัน? ⎤⎦ 2 (ii) F3 + n F3 1 + n + 3FnFn + 1Fn + 2 = ⎡ ⎣ 1 + n 2? i = 0 + n 1-i? ฉัน? ⎤⎦ 3 (iii) F5 n + F5 n + 1 + + 5FnFn 1Fn + 2 [2F2 1 + n - (-1) n] = ⎡ ⎣ 1 + n 2? i = 0 + n 1-i? ฉัน? ⎤⎦ 5 (iv) F7 + n F7 1 + n + + 7FnFn 1Fn + 2 [2F2 1 + n - (-1) n] 2 = ⎡⎣ 1 + n 2? i = 0 + n 1-i? ฉัน? ⎤⎦ 7 2056 MK Azarian ทฤษฎีบท 2.4. (i) 2 (F2 1 + n + F2 n + 2) - F2 n = ⎡⎣ + n 2 2? i = 0? n + 2 ฉันฉัน? ⎤⎦ 2 (ii) F3 + n F3n + 3 + 3Fn 1Fn + + 2Fn + 3 = ⎡⎣ n + 2 2? i = 0? n + 2 ฉันฉัน? ⎤⎦ 3 (iii) 55 (F4 + n 8 - F4 n + 2) - 385 (F4 + n 6 - F4 n +4) + F4 n = ⎡⎣ + n 9 2 i = 0 + n 9 - ฉันฉัน⎤⎦ 4. ทฤษฎีบท 2.5 (i) F2 n + F2? n + 1 = n i = 0 2n ฉัน? ฉัน? (ii) F2 + n 2 - F2 n = Fn + 1 (Fn + Fn 2) = 2n + 1 2? i = 0 2n + 1-i? ฉัน? (iii) F2 2n + 2 (F2n 1F2n + + 3 - F2? 2n + 2) = n i = 0 F4i + 2 = ⎡ ⎣ 2n + 1 2? i = 0 2n + 1-i? ฉัน? ⎤⎦ 2 (iv) Fn + 2Fn + 3 - FnFn + 1 = 1 + n? i = 0 2n + 2 - ฉันฉัน(V) ( FnFn + 3) 2 + (2Fn + 1Fn + 2) 2 = 1 + n? i = 0 2n + 2 ฉัน? ฉัน? 2? ทฤษฎีบท 2.6. (i) Fn + 1  5F2 + n 1-3 (- 1) n = F3 n + 3 - F3 n - 3Fn + 1Fn + 2Fn + 3 = F3 1 + n + F3 + n 2 - F3 n = 3n + 2 2 i = 0? 3n + 2 ฉันฉัน? ( ii) 10 1 + n? i = 0 F3 ฉัน - [5 + 6 (-1) nFn] = 3n + 4 2? i = 0 3n + 4 - ฉันฉัน(iii) F3n 4F3n + 3 + 1 = 3? F3 n + 4 + F3 n - 3F3 + n 2 = 3n + 5 2? i = 0 3n + 5 - ฉันฉันอัตลักษณ์Fibonacci เป็นผลรวมสองจำนวนครั้งที่สอง 2057. ทฤษฎีบท 2.7 (i) 3 + 25 n i = 1? ฉันเจ = 1 F2 2J-1 - 5n (n + 1) - F4n + 3 = 2n i = 0 4n - ฉันฉัน(ii) 1 + 2n + 5 n? i = 0 F2 2i = 4n + 1 2? i = 0 4n + 1-i? ฉัน? (iii) 5 n? i = 0 F2 2i + 1 - 2 (n + 1) = 4n + 3 2 i = 0? 4n + 3 ฉันฉัน? 3 สรุปจากหลายร้อยตัวตน Fibonacci ที่ได้รับการพัฒนาขึ้นในช่วงศตวรรษที่เราได้นำเสนอเพียงตัวอย่างของอัตลักษณ์ของFibonacci ที่รู้จักกันเป็นเงินก้อนทวินามนี่และใน[2] นอกจากนี้เรายังมีความหวังว่าทั้งสองบทความอาจจะทำหน้าที่เป็นตัวเร่งปฏิกิริยาสำหรับผู้อ่านที่จะเขียนของเธอ / ตัวตน Fibonacci ที่เขาชื่นชอบเป็นผลรวมทวินาม นอกจากนี้ในบทความที่กำลังจะมาเราจะนำเสนอบางส่วนอัตลักษณ์ที่โดดเด่นอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับลูคัสหรือลูคัสและตัวเลข Fibonacci เป็นเงินก้อนทวินาม. อ้างอิง[1] RH Anglin ปัญหา B-160, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8 เลขที่ 1 กุมภาพันธ์ 1970 พี 107 [2] MK Azarian, อัตลักษณ์ Fibonacci เป็นผลรวมทวินามนานาชาติวารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ร่วมสมัยฉบับ 7, ฉบับที่ 38, 2012, pp ได้. 1871 - 1876 [3] MK Azarian, ฟังก์ชั่นสำหรับการผลิตลำดับ Fibonacci, มิสซูรีวารสารวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ฉบับ 2 ฉบับที่ 2 ฤดูใบไม้ผลิปี 1990 ได้ pp. 78-79. [4] และเอ็ม Bicknel VE Hoggatt, Fibonacci ปัญหาของหนังสือที่ Fibonacci สมาคมปี 1974 [5] จีดิ, ความสัมพันธ์ระหว่างอำนาจที่สี่ของ A ข้อตกลงและเงื่อนไขของFibonacci ชุด Scripta Mathematica ฉบับ 17 ฉบับที่ 3-4 กันยายน-ธันวาคม1951 พี 230 [6] ลิตร Carlitz ปัญหา B-110, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 5, ฉบับที่ 5 ธันวาคม ปี 1967 ได้ pp. 469-470. [7] เจกินส์เบิร์กความสัมพันธ์ระหว่างก้อนของตัวเลข Fibonacci, Scripta Mathematica ฉบับ 19 ธันวาคม 1953, หน้า 242 [8] HW โกลด์ปัญหา B-7 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 1, ฉบับที่ 3 ตุลาคม 1963 พี 80 2058 MK Azarian [9] RL เกรแฮมปัญหา H-45 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 3, ฉบับที่ 2 เมษายน 1965, PP. 127-128. [10] JH Halton, ใน Fibonacci ทั่วไปเอกลักษณ์ที่ Fibonacci ไตรมาสฉบับ 3, ฉบับที่ 1 กุมภาพันธ์ 1965 ได้ pp. 31-43. [11] VE Hoggatt จูเนียร์ปัญหา H-39 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 2 ฉบับ 2 เมษายน 1964, หน้า 124 [12] VE Hoggatt จูเนียร์ปัญหา H-77 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 5 ฉบับที่ 3 ตุลาคม 1967 ได้ pp. 256-258. [13] VE Hoggatt จูเนียร์และจีอี Bergum, ปัญหาของแฟร์มาต์และลำดับFibonacci ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 15 ฉบับที่ 4 ตุลาคม 1977 ได้ pp. 323-330. [14] JAH ฮันเตอร์อีกครั้ง Fibonacci, Fibonacci ไตรมาสที่ Vol. 4, ฉบับที่ 3 ตุลาคม 1966 พี 273 [15] T. Koshy, Fibonacci และหมายเลขลูคัสกับการประยุกต์ใช้งานจอห์นไวลีย์แอนด์ซัน, Inc 2001 [16] T. Koshy, Convergence ของซีรีส์ลูคัส, คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษาฉบับ 83 กรกฏาคมปี 1999 พี 272-274. [17] T. Koshy, Fibonacci และลูคัสเฉพาะตัวคณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษาฉบับ 82 พฤศจิกายน 1988, pp.481-484. [18] D. ลินด์ปัญหา B-85 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 4 ฉบับที่ 4 ธันวาคม1966 ได้ pp. 376-377. [19] พีมานะปัญหา B-152, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 7, ฉบับที่ 3 ตุลาคม 1963 พี 336 [20] GC อาภัพปัญหา B-173, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8, ฉบับที่4 ตุลาคม 1970 พี 445 [21] GC อาภัพปัญหา B-172, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8, ฉบับที่4 ตุลาคม 1970 ได้ pp. 444-445. [22] CBA กัดหมายเหตุบรรณาธิการที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8, ฉบับที่4 ตุลาคม 1970 พี 392 [23] CW เรนพีทาโกรัสสามเหลี่ยมจาก Fibonacci ชุด 1,1,2,3,5,8, Scripta Mathematica ฉบับ 14, 1948, หน้า 164 [24] KS ราวคุณสมบัติบางส่วนของตัวเลข Fibonacci อเมริกันคณิตศาสตร์รายเดือนฉบับ 60, ฉบับที่ 10 ธันวาคม 1953 ได้ pp. 680-684. [25] อาร์เอส Seamons ปัญหา B-107, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 5, ฉบับที่1 กุมภาพันธ์ 1967, หน้า 107 [26] นิวเจอร์ซีย์สโลน http://oeis.org/A000045&A007318. [27] MNS สวามี่ปัญหา H-150 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8 ครั้ง 4 ตุลาคม 1970 ได้ pp. 391-392. [28] MNS สวามี่ปัญหา B-84 ที่ Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 4, ฉบับที่1 กุมภาพันธ์ 1966, หน้า 90. Fibonacci อัตลักษณ์เป็นผลรวมสองจำนวนครั้งที่สอง 2059 [29] G. Wulczyn ปัญหา B-384, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 17, ฉบับที่3 ตุลาคม 1979 พี 283 [30] CC Yalavigi ปัญหา B-169, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8, ฉบับที่2 เมษายน 1970 ได้ pp. 329-330. [31] D. Zeitlin FD และปาร์กเกอร์, ปัญหา H-14 ที่ Fibonacci ไตรมาสฉบับ 1, ฉบับที่ 2, เมษายน 1963, หน้า 54. ได้รับ: มิถุนายน 2012 Fibonacci อัตลักษณ์เป็นผลรวมสองจำนวนครั้งที่สอง 2059 [29] G. Wulczyn ปัญหา B-384, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 17, ฉบับที่3 ตุลาคม 1979 พี 283 [30] CC Yalavigi ปัญหา B-169, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8, ฉบับที่2 เมษายน 1970 ได้ pp. 329-330. [31] D. Zeitlin FD และปาร์กเกอร์, ปัญหา H-14 ที่ Fibonacci ไตรมาสฉบับ 1, ฉบับที่ 2, เมษายน 1963, หน้า 54. ได้รับ: มิถุนายน 2012 Fibonacci อัตลักษณ์เป็นผลรวมสองจำนวนครั้งที่สอง 2059 [29] G. Wulczyn ปัญหา B-384, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 17, ฉบับที่3 ตุลาคม 1979 พี 283 [30] CC Yalavigi ปัญหา B-169, The Fibonacci รายไตรมาสฉบับ 8, ฉบับที่2 เมษายน 1970 ได้ pp. 329-330. [31] D. Zeitlin FD และปาร์กเกอร์, ปัญหา H-14 ที่ Fibonacci ไตรมาสฉบับ 1, ฉบับที่ 2, เมษายน 1963, หน้า 54. ได้รับ: มิถุนายน 2012

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Int . J . contemp . คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ , ฉบับที่ 7 , 2012 , ฉบับที่ 42 , 2 , 053 - 2059
Fibonacci เอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม 2
Mohammad K . azarian
ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยวิลล์

1800 Lincoln Avenue , วิลล์ ใน 47722 USA
azarian @ Evansville . edu

เป็นนามธรรมใน [ 2 ] เป้าหมายของเราในบทความนี้คือ เขียนบางโดดเด่นมากขึ้นและข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับตัวเลข Fibonacci

เป็นแบบผลรวมคณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 05a10 11b39
, คำหลัก : ตัวเลข Fibonacci ลำดับฟีโบนัชชี เอกลักษณ์ฟิโบนักชี
1 บทนำ
ส่วนใหญ่ที่รู้จักกันดีเป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นลำดับสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่า

FN 2 = Fn 1 FN ที่ละ = 0 F1 = 1 และ n ≥ 0
นี้ความสัมพันธ์เวียนเกิดผลิตที่เป็นที่นิยมมากที่สุดและใช้กันอย่างแพร่หลายลำดับจำนวนเต็ม
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , .. . . . . . . คือ ลำดับ Fibonacci ที่มีชื่อเสียง โดย
ใน [ 2 ] เพื่อความสะดวกรวดเร็วตัวเลขการคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนัชชี่
เราเขียนบางส่วนของข้อมูลพื้นฐานเหล่านี้เป็นแบบ

ร้อยผลรวม อัตลักษณ์ Fibonacci ถูกพัฒนาในศตวรรษ
โดยนักคณิตศาสตร์มากมายและผู้สนใจจำนวน พวกเขาได้รับการตีพิมพ์
ในวารสารต่าง ๆและหนังสือเป็นเวลาอย่างน้อยที่ผ่านมาสองศตวรรษ
Fibonacci รายไตรมาสเป็นแหล่งที่ดีสำหรับผู้ที่ได้รับการตีพิมพ์ Fibonacci อัตลักษณ์
ตั้งแต่ 1962 . คอลเลกชันที่น่าประทับใจของกว่า 200 รู้จักเอกลักษณ์ฟิโบนักชี
, และในกรณีส่วนใหญ่ ตามด้วยชื่อของผู้เขียนต้นฉบับ
สามารถพบได้ใน [ 15 ] โดยโทมัส koshy . แหล่งข้อมูลอื่นสำหรับบางคนที่รู้จักกันดี
เอกลักษณ์ฟิโบนักชีคือ [ 4 ] โดยมาร์จอรี่ และ bicknel เวอร์เนอร์ . hoggatt . เหมือน
ความคิดมากมายในคณิตศาสตร์อาจเป็นไปไม่ได้ที่จะหาจริงแท้
2597 ม. เค. azarian
เขียนบางส่วนของ Fibonacci เอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม บุคคลต่อไปนี้
เขียนอย่างน้อยหนึ่งในเอกลักษณ์ที่เราได้นำเสนอในบทความนี้ : R .
h anglin [ 1 ] , G . L . carlitz คานดิโด [ 5 ] [ 6 ] , J . กินสเบิร์ก [ 7 ]H . W . กูล [ 8 ] ,
R . L . Graham [ 9 ] , J . H . Halton [ 10 ] , V . E . hoggatt จูเนียร์ [ 11 , 12 ] , V . E . hoggatt
จูเนียร์และ G . E . bergum [ 13 ] , J . A . H . ฮันเตอร์ [ 14 ] , ต. koshy [ 17 ] , D . ลินด์
[ 18 ] , หน้ามานะ [ 19 ] , G . ดิลลา [ 20 , 21 ] , C . B . A . เพ็ค [ 22 ] , C . W . เรน [ 23 ] ,
K . S . Rao [ 24 ] , R . S . seamons [ 25 ] , M . S . Swamy [ 27 , 28 ] , G . wulczyn [ 29 ] ,
ซี. ซี. yalavigi [ 30 ] , D . F . D . Parker และไซต์ลิน [ 31 ] .
2เอกลักษณ์
มันเป็นที่รู้จักกันว่าด้านซ้ายมือของ Fibonacci อัตลักษณ์ในทฤษฎีบท 2.2 -
2.7 สามารถเขียนเป็น ( อำนาจ ) จำนวนฟีโบนัชชีเดียว เรายอมรับว่าเรายังไม่ได้เป็นอิสระ
ยืนยันความถูกต้องของบางส่วนของลักษณะเหล่านี้ .
ดำเนินการแรกเรานึกถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้จาก [ 1 ] .
ทฤษฎีบท 2.1 [ 1 ] ถ้าฟังก์ชันใด ๆลำดับหมายเลขแล้ว
FN 1 =
n
0


n − 1
1


n − 2
2

. . . . . . .
n − n
2  1
n
2  − 1


n − n
2 
n
2 

=
n
2 

ฉัน = 0 =

n −ผม
ผม

, N ≥ 0
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 2.2-2.7 เราสามารถเพียง ใช้ทฤษฎีบท 2.1 และความเป็นจริง
แต่ละ Fibonacci เอกลักษณ์ด้านซ้ายมือ สามารถเขียนเป็น ( พลังของเลขฟีโบนัชชี
) เดี่ยว หรือเราสามารถใช้หลักการทางคณิตศาสตร์
เหนี่ยวการโต้แย้ง หรือพิสูจน์เหล่านี้
พีชคณิตอย่างง่ายทฤษฎีบท . อย่างไรก็ตาม เราขอเตือนผู้อ่านว่าบางส่วนของเหล่านี้มีเอกลักษณ์
เป็นอะไรที่แก้ไขให้เหมาะสมกับเป็นรูปแบบที่ต้องการและพวกเขาไม่อาจมีลักษณะตรงตามที่ปรากฏในวรรณกรรม
.
ทฤษฎีบท 2.2 .
( i ) หนา 1 ( fnfn 2 F2
n − 1 ) = ( − 1 ) 1
n
n 2 

ฉัน = 0 =
 n −ผม


ผม  ( 2 ) F2
N F2
n − 4 
4f2
n 2 F2
n = 3 
1
2 [ 1 ( − 1 ) n ]  n
ฉัน = 0 =

= FN Fifi 1 1fn 2 −  n
0
=
=
1 F22 [1 (−1)n] (n 1)Fn 1Fn 2 −n 1
i=0
iF2
i
Fibonacci Identities as binomial sums II 2055
=
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
2
(iii) F3
n 3 2F3
n 2 − 1
3
(F3
n F3
n 4) =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n − i
i
⎤
⎦
3
(iv) F2
n 2(F2
n 2 − 4FnFn 1) F2
n(2F2
n 1 − F2
n)
= 1
2
(F2
n F2
n 1 F2
n 2)
2 −(F4
n F4
n 2)=2 
2F2
n 1 − (−1)n2
−(F4
n F4
n 2)
=
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
4
(v) F5
n 2 5FnFn 1Fn 2(FnFn 1 − F2
n 2) − F5
n =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
5
(vi) 2[2F2
n 1 − (−1)n]
3 3F2
nF2
n 1F2
n 2 − (F6
n F6
n 2) =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
6
(vii) 8F2
nF2
n 1(F4
n F4
n 1 4F2
nF2
n 1 3FnFn 1F2n 1) − (F8
n F8
n 2)
2[2F2
n 1 − (−1)n]
4 =
⎡
⎣
n
2 

i=0
n−i
i

⎤
⎦
8
Theorem 2.3.
(i) F2
n 1 FnFn 3 =
⎡
⎣
n 1
2 

i=0
n 1−i
i

⎤
⎦
2
(ii) F3
n F3
n 1 3FnFn 1Fn 2 =
⎡
⎣
n 1
2 

i=0
n 1−i
i

⎤
⎦
3
(iii) F5
n F5
n 1 5FnFn 1Fn 2[2F2
n 1 − (−1)n] =
⎡
⎣
n 1
2 

i=0
n 1−i
i

⎤
⎦
5
(iv) F7
n F7
n 1 7FnFn 1Fn 2[2F2
n 1 − (−1)n]
2 =
⎡
⎣
n 1
2 

i=0
n 1−i
i

⎤
⎦
7
2056 M. K. Azarian
Theorem 2.4.
(i) 2(F2
n 1 F2
n 2) − F2
n =
⎡
⎣
n 2
2 

i=0
n 2−i
i

⎤
⎦
2
(ii) F3
n F3n 3 3Fn 1Fn 2Fn 3 =
⎡
⎣
n 2
2 

i=0
n 2−i
i

⎤
⎦
3
(iii) 55(F4
n 8 − F4
n 2) − 385(F4
n 6 − F4
n 4) F4
n =
⎡
⎣
n 9
2 

i=0
n 9 − i
i
⎤
⎦
4
Theorem 2.5.
(i) F2
n F2
n 1 = n
i=0
2n−i
i

(ii) F2
n 2 − F2
n = Fn 1(Fn Fn 2) =
2n 1
2 

i=0
2n 1−i
i

(iii) F2
2n 2(F2n 1F2n 3 − F2
2n 2) = n
i=0
F4i 2 =
⎡
⎣
2n 1
2 

i=0
2n 1−i
i

⎤
⎦
2
(iv) Fn 2Fn 3 − FnFn 1 = n 1
i=0
2n 2 − i
i

(v) (FnFn 3)2 (2Fn 1Fn 2)2 =


n 1
i=0
2n 2−i
i

2
Theorem 2.6.
(i) Fn 1 
5F2
n 1 − 3(−1)n
= F3
n 3 − F3
n − 3Fn 1Fn 2Fn 3
= F3
n 1 F3
n 2 − F3
n =
3n 2
2 

i=0
3n 2−i
i

(ii) 10n 1
i=0
F3
i − [5 6(−1)nFn] =
3n 4
2 

i=0
3n 4 − i
i

(iii) F3n 4F3n 3 = 1
3

F3
n 4 F3
n − 3F3
n 2
=
3n 5
2 

i=0

3n 5 − i
i

Fibonacci เอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม 2 2057
ทฤษฎีบท 2.7 .
( i ) 3 25  n
= 1

ผม
J = 1
F2
2j − 1 − 5N ( 1 ) f4n − 3 =  2n

= 0
5 −ผม


( ฉัน 2 ) 1 2 5  n
0
F2 = 2i =
5
1
2 

ฉัน = 0 =
 4N 1 −ผม

ผม
 ( 3 ) 5  n
0
F2
= 2i 1 − 2 ( 1 ) =
3
5 2 

ฉัน = 0 =
 4N 3 −ผม

ผม 
3 สรุป
จากหลายร้อย Fibonacci อัตลักษณ์ที่ได้รับการพัฒนามากกว่า
ศตวรรษเราได้นำเสนอเพียงตัวอย่างที่รู้จักกันเป็นแบบ Fibonacci อัตลักษณ์
ผลรวมที่นี่และใน [ 2 ] นอกจากนี้ เราหวังว่าทั้งสองบทความอาจ
ใช้เป็นตัวเร่งปฏิกิริยาสำหรับผู้อ่านที่จะเขียนของเขา / เธอชื่นชอบเอกลักษณ์ฟิโบนักชี
เป็นแบบผลรวม นอกจากนี้ ในบทความหน้าเราจะนำเสนอบาง
เด่นอื่นๆอัตลักษณ์เกี่ยวข้องกับลูคัส หรือ ลูคัส กับ เลขฟีโบนัชชีเป็น

แบบผลบวกอ้างอิง
[ 1 ] R . H . anglin b-160 , ปัญหา , Fibonacci ไตรมาส , ปีที่ 8 , ฉบับที่ 1 ,
กุมภาพันธ์ 2513 , หน้า 107 .
[ 2 ] . K . azarian Fibonacci เอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม , นานาชาติ
วารสารวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ร่วมสมัย Vol . 7 , ฉบับที่ 38 , 2012 , pp .
2414 - 1876 .
[ 3 ] . K . azarian , สร้างฟังก์ชันสำหรับลำดับฟีโบนัชชี
มิสซูรีวารสารวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ 2 อัตรา ไม่ 2ฤดูใบไม้ผลิ ปี 1990 , pp . 78-79
.
[ 4 ] ม. bicknel และ V . E . hoggatt , หนังสือปัญหาลำดับของ Fibonacci
สมาคม , 2517 .
[ 5 ] กรัม คานดิโด ความสัมพันธ์ระหว่างอำนาจที่สี่ของเงื่อนไข
ของชุด Fibonacci scripta Mathematica , ปีที่ 17 , ฉบับที่ 3-4 กันยายน–ธันวาคม .
1951 , หน้า 230 .
[ 6 ] . carlitz ปัญหา b-110 Fibonacci , ไตรมาส , ฉบับที่ 5 , ฉบับที่ 5 ,
ธันวาคม 1967 , pp . 469-470 .
[ 7 ] เจ กินสเบิร์ก ,ความสัมพันธ์ระหว่างก้อนของตัวเลข Fibonacci
scripta Mathematica , 19 , ฉบับที่ธันวาคม 1953 , หน้า 242 .
[ 8 ] H . W . Gould , ปัญหา b-7 Fibonacci , ไตรมาส , Vol . 1 , อันดับที่ 3
ตุลาคม 2506 , หน้า 80 .
2058 ม. เค. azarian
[ 9 ] R . L . เกรแฮม h-45 ปัญหา , Fibonacci ไตรมาส , ฉบับที่ 3 , ฉบับที่ 2 , เมษายน 2508 . 127-128
, .
[ 10 ] เจ. เอช. Halton บนเอกลักษณ์ฟิโบนักชีทั่วไป , Fibonacci ไตรมาส
ฉบับที่ 3 , ฉบับที่ 1 ,กุมภาพันธ์ 1965 , pp . 31-43 .
[ 11 ] V . E . hoggatt จูเนียร์ h-39 ปัญหา Fibonacci ไตรมาส , ฉบับที่ 2 ,
2 เมษายน 2507 , หน้า 124 .
[ 12 ] V . E . hoggatt จูเนียร์ h-77 ปัญหา Fibonacci ไตรมาส , ฉบับที่ 5 ,
ฉบับที่ 3 ตุลาคม 1967 , pp . 256-258 .
[ 13 ] V . E . hoggatt จูเนียร์ , และ G . E . bergum ปัญหาของแฟร์มาต์และลำดับเลขฟีโบนัชชี
, ไตรมาส , ฉบับที่ 15 , ฉบับที่ 4 , ตุลาคม 2520 323-330 .
.
[ 14 ] J . A . H . ฮันเตอร์ลำดับ Fibonacci ไตรมาส อีกเล่มที่
4 ฉบับที่ 3 ตุลาคม 2509 , หน้า 273 .
[ 15 ] . koshy Fibonacci และหมายเลขลูคัสกับการใช้งานจอนิ่ง
& Sons , Inc . , 2544 .
[ 16 ] . koshy , บรรจบของลูคัส ชุด คณิตศาสตร์
ประกาศ , ฉบับที่ 83 กรกฎาคม 1999 , หน้า 272-274 .
[ 17 ] ต. koshy ใหม่ Fibonacci และลูคัสอัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
ราชกิจจานุเบกษา ฉบับที่ 82 พ.ย. 1988 pp.481-484 .
[ 18 ] Dโพสต์ b-85 Fibonacci , ปัญหา , ไตรมาส , ฉบับที่ 4 , หมายเลข 4 ธันวาคม 1966 . 376-377
, .
[ 19 ] หน้ามานะ b-152 ปัญหา Fibonacci ไตรมาส , ฉบับที่ 7 , ฉบับที่ 3 ,
ตุลาคม 1963 , หน้า 336 .
[ 20 ] G . ดิลลา b-173 , ปัญหา , Fibonacci ไตรมาส เล่มที่ 8 .
4 ตุลาคม 1970 , p . 445 .
[ 21 ] G . ดิลลา b-172 Fibonacci , ปัญหา , ไตรมาส , Vol . 8 .
4 ตุลาคม 1970 , pp . 444-445 .
[ 22 ] C . B . A . เพ็คบรรณาธิการหมายเหตุ Fibonacci ไตรมาส เล่มที่ 8 .
4 ตุลาคม 2513 , หน้า 392 .
[ 23 ] C . W . เรนท์ พีทาโกรัสสามเหลี่ยมจาก Fibonacci ชุด 1,1,2,3,5,8
scripta , Mathematica , ฉบับที่ 14 , 1948 , หน้า 164 .
[ 24 ] K . S . Rao , คุณสมบัติบางส่วนของตัวเลข Fibonacci , อเมริกัน
คณิตศาสตร์รายเดือน ฉบับที่ 60 , หมายเลข 10 ธันวาคม 1953 , pp . 680-684 .
[ 25 ] R . S . seamons ปัญหา b-107 Fibonacci , ไตรมาส , ฉบับที่ 5.
1 กุมภาพันธ์ 2510 , หน้า 107 .
[ 26 ] N . J . สโลน , http : / / oeis . org / a000045 & a007318 .
[ 27 ] ม. . . Swamy ปัญหา h-150 Fibonacci , ไตรมาส , ฉบับที่ 8 ,
ฉบับที่ 4 , ตุลาคม 1970 , pp . 391-392 .
[ 28 ] ม. เอ็นเอส Swamy ปัญหา b-84 , Fibonacci จำนวน 4 ฉบับ ไม่
ที่ 1 กุมภาพันธ์ 2509 , หน้า 90 .
Fibonacci เอกลักษณ์เป็นแบบผลรวม 2 2059
[ 29 ] . wulczyn b-384 , ปัญหา , Fibonacci ไตรมาส 17 . . .
3 , ตุลาคม .2522 , หน้า 283 .
[ 30 ] C . C . yalavigi ปัญหา b-169 , Fibonacci ไตรมาส เล่มที่ 8 .
2 เมษายน 1970 , pp . 329-330 .
[ 31 ] D . F . D และไซต์ลินเกอร์ h-14 ปัญหา Fibonacci ไตรมาส
ฉบับที่ 1 , ฉบับที่ 2 , เมษายน 2506 , หน้า 54
รับ : มิถุนายน , 2012