We derive a wave equation for small

We derive a wave equation for small-amplitude, undamped, extensional oscillation of a spring-mass system consisting of a mass suspended on a spring governed by a quadratic force-extension relationship. We justify this quadratic model using a Taylor series expansion of the general elasticity equations for a helical spring. Transformation of the equation of motion of the spring leads to a separable wave equation with the spacial component being a transformation of Bessel's equation. The model is successful in predicting static extension and period of oscillation of a helical wire spring for which the wave equation based on Hooke's law is inadequate.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราได้รับสมการคลื่นสำหรับ คลื่นเล็ก undamped, extensional สั่นของระบบสปริงมวลมวลชั่วคราวบนสปริงภายใต้ความสัมพันธ์แรงกำลังสองส่วนขยายประกอบด้วย เราจัดรูปแบบกำลังสองนี้ใช้ขยายชุดเทย์เลอร์เป็นสมการทั่วไปความยืดหยุ่นสปริง helical การเปลี่ยนแปลงของสมการของการเคลื่อนไหวของฤดูใบไม้ผลินำสมการคลื่น separable กับคอมโพเนนต์ spacial การเปลี่ยนแปลงของสมการของ Bessel แบบประสบความสำเร็จในการทำนายนามสกุลถาวร และรอบระยะเวลาของการสั่นของสปริงลวด helical ซึ่งสมการของคลื่นขึ้นอยู่กับกฎหมายของ Hooke เป็นไม่เพียงพอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราได้รับมาจากสมการคลื่นขนาดเล็กกว้าง, undamped ผันผวน extensional ของระบบสปริงมวลประกอบด้วยมวลแขวนอยู่บนใบไม้ผลิภายใต้ความสัมพันธ์ที่กำลังขยายกำลังสอง เราแสดงให้เห็นถึงรูปแบบสมการกำลังสองนี้โดยใช้การขยายตัวของเทย์เลอร์ของสมการความยืดหยุ่นทั่วไปสำหรับฤดูใบไม้ผลิขดลวด การเปลี่ยนแปลงของสมการการเคลื่อนที่ของฤดูใบไม้ผลิที่จะนำไปสู่​​สมการคลื่นแยกที่มีส่วนประกอบพิเศษการเปลี่ยนแปลงของสม Bessel ของ รูปแบบคือการประสบความสำเร็จในการคาดการณ์การขยายแบบคงที่และระยะเวลาของการสั่นของฤดูใบไม้ผลิลวดเกลียวที่สมการคลื่นตามกฎหมายของฮุคไม่เพียงพอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราได้รับคลื่นสมการคลื่นเล็ก undamped สั่น , แบบขยายของระบบมวลสปริงประกอบด้วยมวลแขวนลอยในฤดูใบไม้ผลิที่ควบคุมโดยสมแรงส่งเสริมความสัมพันธ์ เราว่ารุ่นนี้ไม่มีการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ของความยืดหยุ่นทั่วไปสมการสปริงลานการเปลี่ยนแปลงของสมการการเคลื่อนที่ของฤดูใบไม้ผลิ นำไปสู่สมการคลื่นแยกกับส่วนประกอบพิเศษการเปลี่ยนแปลงสมการธนะเสวี . แบบจำลองการทำนายและประสบความสำเร็จในการขยายระยะเวลาของการสั่นของฤดูใบไม้ผลิลวดเกลียวซึ่งสมการคลื่นตามกฎของฮุกไม่คงที่