Congratulations; you have correctly

Congratulations; you have correctly identified the fallacious step!

This innocent-looking step is in fact quite wrong. The problem is that there is no rule that guarantees (IMAGE) , except in the case in which a and b are both positive.
If this surprises you, think about the question

Why should (IMAGE) equal (IMAGE) ?
If you were to try to convince someone of this, you'd have to start with the definition of what a "square root" is: it's a number whose square is the number you started with. So, from first principles, all that has to be true is that (IMAGE) squared is a, (IMAGE) squared is b, and (IMAGE) squared is a/b.
So, when you square (IMAGE) , you will get a/b, and when you square (IMAGE) , you will also get a/b. That's all that the definition of square root tells you.

Now, the only way two numbers x and y can have the same square is if x = +/- y. So, what is true is that

(IMAGE) ,
but in general there's no reason it has to be (IMAGE) rather than (IMAGE) , unless a and b are both positive: for then (because by convention we take the positive square root) everything in the above equation is positive, and that's why we obtain (IMAGE) . But remember it's only because everything is positive that we obtain it!
In our case, it is true that (IMAGE) , but (IMAGE) is (IMAGE) not (IMAGE) . The fallacy comes from using the latter instead of the former.

In fact, the whole proof really boils down to the fact that (-1)(-1) = 1, so (IMAGE) , but (IMAGE) (not 1). The proof tried to claim that these two were equal (but in a more disguised way where it was harder to spot the mistake).

This fallacy is a good illustration of the dangers of taking a rule from one context and just assuming it holds in another. When you first learned about square roots you had never encountered complex numbers, so the only objects that had sqare roots were positive numbers. In this case, (IMAGE) is always true, and you were probably taught it as a "rule". But it is only a mathematical truth in that original context, and fails to remain true after you extend the definition of "square root" to allow the square roots of negative and complex numbers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ขอแสดงความยินดี คุณถูกต้องระบุขั้นตอน fallaciousขั้นตอนนี้กำลังอินโนเซนต์เป็นจริงค่อนข้างผิด ปัญหาคือว่า มีกฎไม่รับประกัน (ภาพ), ยกเว้นในกรณีที่ตัว และ b มีค่าบวกถ้าคุณ surprises นี้ คิดเกี่ยวกับคำถามทำไมควร (ภาพ) เท่ากับ (รูปภาพ)ถ้าคุณได้พยายามที่จะโน้มน้าวให้คนนี้ คุณจะต้องเริ่มต้น ด้วยคำนิยามว่าเป็น "ราก" เป็น: เป็นหมายเลขตารางมีหมายเลขคุณเริ่มต้นด้วยการ ดังนั้น จากหลักแรก ที่จริง (ภาพ) ลอการิทึม เป็นได้, (ภาพ) ลอการิทึมเป็น b และลอการิทึม (ภาพ) เป็นการ / bดังนั้น เมื่อคุณสแควร์ (รูป), คุณจะได้รับการ / b และเมื่อคุณสแควร์ (ภาพ), ได้รับการ / b นั่นคือทั้งหมดที่บอกคำจำกัดความของรากตอนนี้ หมายเลขเพียงสองทาง x และ y ได้ว่าสแควร์เป็นถ้า x =+/-y ดังนั้น สิ่งที่เป็นจริงว่า (ภาพ),แต่โดยทั่วไป มีเหตุผลไม่มีให้ (รูป) แทน (ภาพ), ยกเว้นเป็น และบีมีทั้งค่าบวก: สำหรับ แล้ว (เนื่องจาก โดยประชุม เรามีค่าราก) ในสมการข้างต้นเป็นบวก และที่ว่าทำไมเรารับ (ภาพ) แต่จำเป็น เพราะทุกอย่างเป็นบวกที่เราได้รับมันในกรณี มันเป็นจริง (ภาพ), แต่ (รูป) ไม่ได้ (ภาพ) (ภาพ) เข้าใจผิดมาจากการใช้หลังแทนอดีตในความเป็นจริง หลักฐานทั้งหมดจริง ๆ เดือดลงในความเป็นจริงที่ (-1)(-1) = 1 ดังนั้น (ภาพ), (ภาพ) (ไม่ 1) แต่ ข้อพิสูจน์พยายามอ้างว่า สองมีเท่า (แต่ในทาง disguised มากขึ้นซึ่งมันยากที่จะจุดความผิด)เข้าใจผิดนี้คือ ภาพประกอบที่ดีของอันตรายจากการใช้กฎจากบริบทหนึ่ง และเพียงสมมติว่ามันมีอีก เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับรากแรก คุณก็ไม่เคยพบเห็นซ้อน เพื่อวัตถุเท่านั้นที่มีรากยืนยันได้บวก ในกรณีนี้, (ภาพ) เป็นจริงเสมอ และคุณคงถูกสอนเป็น "กฎ" แต่เป็นเพียงความจริงทางคณิตศาสตร์ในบริบทที่เดิม และไม่อยู่จริงหลังจากที่คุณขยายคำนิยามของ "ราก" ให้รากของค่าลบและจำนวนเชิงซ้อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ขอแสดงความยินดี; คุณได้ระบุขั้นตอนอย่างถูกต้องผิดพลาด! ขั้นตอนนี้ผู้บริสุทธิ์ที่มองในความเป็นจริงค่อนข้างผิดปกติ ปัญหาคือว่ามีกฎที่รับประกัน (ภาพ) ยกเว้นในกรณีที่ a และ b มีทั้งบวก. หากที่น่าประหลาดใจนี้คุณคิดเกี่ยวกับคำถามทำไมควร (ภาพ) เท่ากับ (ภาพ) หากคุณกำลังจะ พยายามที่จะโน้มน้าวให้คนนี้คุณจะต้องเริ่มต้นด้วยความหมายของสิ่งที่เป็น "ราก" คือมันเป็นจำนวนที่มีตารางเป็นหมายเลขที่คุณเริ่มต้นด้วย ดังนั้นจากหลักการแรกทั้งหมดที่มีจะเป็นจริงก็คือว่า (ภาพ) ยกกำลังสองเป็น (ภาพ) ยกกำลังสองคือขและ (ภาพ) ยกกำลังสองเป็น / ข. ดังนั้นเมื่อคุณตาราง (ภาพ) คุณจะได้รับ A / B และเมื่อคุณตาราง (ภาพ) คุณยังจะได้รับ / b นั่นคือทั้งหมดที่ว่าคำนิยามของรากที่สองจะบอกคุณ. the ตอนนี้วิธีเดียวที่ตัวเลขสอง x และ y สามารถมีตารางเดียวกันคือถ้า x = +/- Y ดังนั้นสิ่งที่เป็นความจริงก็คือว่า(ภาพ) แต่โดยทั่วไปมีเหตุผลที่มันจะต้องมีไม่ (ภาพ) มากกว่า (ภาพ) เว้นแต่ a และ b เป็นทั้งบวกสำหรับแล้ว (เพราะโดยการประชุมที่เราใช้รากที่สองที่เป็นบวก ) ทุกอย่างในสมการข้างต้นเป็นบวกและที่ว่าทำไมเราได้รับ (ภาพ) แต่จำได้ว่ามันเป็นเพียงเพราะทุกอย่างเป็นบวกที่เราได้รับมันในกรณีของเรามันเป็นความจริงที่ (ภาพ) แต่ (ภาพ) เป็น (ภาพ) ไม่ (ภาพ) การเข้าใจผิดที่มาจากการใช้หลังแทนของอดีต. ในความเป็นจริงทั้งหลักฐานจริงๆเดือดลงไปความจริงที่ว่า (-1) (- 1) = 1 ดังนั้น (ภาพ) แต่ (IMAGE) (ไม่ได้ 1) หลักฐานพยายามที่จะอ้างว่าทั้งสองเท่ากัน (แต่ในทางที่ปลอมตัวอื่น ๆ ที่มันเป็นเรื่องยากที่จะมองเห็นความผิดพลาด). เข้าใจผิดนี้เป็นภาพที่ดีถึงอันตรายของการใช้กฎจากบริบทและเพียงแค่สมมติว่ามันถืออีก . เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับรากที่สองที่คุณไม่เคยพบตัวเลขที่ซับซ้อนดังนั้นวัตถุเดียวที่มีราก sqare เป็นตัวเลขบวก ในกรณีนี้ (ภาพ) เป็นจริงเสมอและคุณอาจจะได้รับการสอนว่ามันเป็น "กฎ" แต่มันก็เป็นเพียงความจริงทางคณิตศาสตร์ในบริบทเดิมที่และล้มเหลวที่จะยังคงเป็นจริงหลังจากที่คุณขยายความหมายของ "ราก" เพื่อให้รากที่สองของตัวเลขที่ติดลบและมีความซับซ้อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ยินดีด้วย คุณได้อย่างถูกต้องระบุขั้นตอนหลอกลวง !

ขั้นตอนนี้ดูไร้เดียงสาในความเป็นจริงค่อนข้างผิดปกติ ปัญหาคือ ไม่มีกฎที่รับประกัน ( ภาพ ) ยกเว้นในกรณีที่ A และ B มีทั้งบวก
ถ้านี่ทำให้คุณแปลกใจ คิดเกี่ยวกับคำถาม

ทำไม ( ภาพ ) เท่ากับ ( ภาพ )
ถ้าคุณพยายามที่จะโน้มน้าวให้คนอื่นแบบนี้คุณจะต้องเริ่มต้นกับความหมายของสิ่งที่ " ราก " ตาราง : มันเป็นหมายเลขที่มีตารางตัวเลขที่คุณเริ่มต้นด้วย ดังนั้น จากหลักการแรก ทั้งหมดที่ได้จะเป็นจริง ( ภาพ ) ยกกำลังสองเป็น ( ภาพ ) ยกกำลังสองคือ B และ ( ภาพ ) ยกกำลังสองเป็น / B .
ดังนั้นเมื่อคุณสี่เหลี่ยม ( ภาพ ) , คุณจะได้รับ A / B , และเมื่อคุณสี่เหลี่ยม ( ภาพ ) , คุณจะ ยังรับ / Bนั่นคือนิยามของกรณฑ์บอก

ตอนนี้วิธีเดียวตัวเลข x และ y สามารถตารางเดียวกันถ้า x = / - Y . ดังนั้น , สิ่งที่เป็นจริงคือว่า

( ภาพ ) ,
แต่โดยทั่วไปไม่มี เหตุผลมันต้องเป็น ( ภาพ ) มากกว่า ( ภาพ ) ถ้า a และ b เป็นบวกแล้ว ( เพราะเราใช้รากสแควร์โดยการประชุมเชิงบวก ) ทุกอย่างในสมการข้างต้น เป็นบวกและนั่นคือเหตุผลที่เราได้รับ ( ภาพ ) แต่จำไว้ว่ามันเป็นเพียงเพราะทุกอย่างเป็นบวกที่เราได้รับมัน !
ในกรณีของเรา มันเป็นความจริงว่า ( ภาพ ) แต่ ( ภาพ ) ( ภาพ ) ไม่ได้ ( ภาพ ) การเข้าใจผิดมาใช้หลังแทนอดีต

ในความเป็นจริง หลักฐานทั้งหมดจริงๆเดือดลงไปที่ความเป็นจริงว่า ( - 1 ) ( - 1 ) = 1 , ( ภาพ ) แต่ ( ภาพ ) ( 1 )หลักฐานที่พยายามเรียกร้องว่า สองคนนี้เท่ากัน ( แต่ในปลอมตัวมากขึ้นวิธีที่มันยากที่จะจุดผิดพลาด ) .

เข้าใจผิดนี้เป็นภาพประกอบที่ดีของอันตรายของการปกครองจากบริบทและแค่คิดว่ามันถือในอีก เมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับจัตุรัสรากคุณไม่เคยพบตัวเลขที่ซับซ้อน ดังนั้นเฉพาะวัตถุที่มีราก sqare ตัวเลขเป็นบวกในกรณีนี้ , ( ภาพ ) เป็นจริงเสมอ และคุณอาจจะคิดว่ามันเป็น " กฎ " แต่มันก็เป็นเพียงความจริงในบริบททางเดิม และล้มเหลวที่จะยังคงเป็นจริงหลังจากที่คุณขยายคำนิยามของ " กรณฑ์ " เพื่อให้ รากที่สองของตัวเลขที่เป็นลบและซับซ้อน .