After a brief historical account, a

After a brief historical account, a few simple structural theorems about plane graphs
useful for coloring are stated, and two simple applications of discharging are given.
Afterwards, the following types of proper colorings of plane graphs are discussed, both in
their classical and choosability (list coloring) versions: simultaneous colorings of vertices,
edges, and faces (in all possible combinations, including total coloring), edge-coloring,
cyclic coloring (all vertices in any small face have different colors), 3-coloring, acyclic
coloring (no 2-colored cycles), oriented coloring (homomorphism of directed graphs to
small tournaments), a special case of circular coloring (the colors are points of a small
cycle, and the colors of any two adjacent vertices must be nearly opposite on this cycle),
2-distance coloring (no 2-colored paths on three vertices), and star coloring (no 2-colored
paths on four vertices). The only improper coloring discussed is injective coloring (any two
vertices having a common neighbor should have distinct colors).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลังจากที่บัญชีที่ผ่านมาสั้น ๆ ไม่กี่ทฤษฎีบทโครงสร้างง่ายๆเกี่ยวกับเครื่องบินกราฟ
ที่มีประโยชน์สำหรับการระบายสีแสดงและสองการใช้งานที่เรียบง่ายของการปฏิบัติจะได้รับ.
หลังจากนั้นต่อไปนี้ประเภทของสีที่เหมาะสมของกราฟเครื่องบินที่จะกล่าวถึงทั้งใน
คลาสสิกและ choosability ของพวกเขา ( ระบายสีรายการ) รุ่น: สีพร้อมกันของจุด
ขอบและใบหน้า (ในชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดรวมทั้งสีทั้งหมด) ขอบสี
วงกลมสี (ทุกจุดในหน้าขนาดเล็ก ๆ มีสีที่แตกต่างกัน) 3 สีวัฏจักร
สี ( ไม่มีรอบ 2 สี) ที่มุ่งเน้นการระบายสี (homomorphism กราฟนำไป
ทัวร์นาเมนต์เล็ก ๆ ) เป็นกรณีพิเศษของสีกลม (สีเป็นจุดเล็ก ๆ
รอบและสีของสองจุดที่อยู่ติดกันจะต้องเกือบตรงข้ามในรอบนี้ )
สี 2 ระยะทาง (ไม่มีเส้นทาง 2 สีทั้งสามจุด) และสีดาว (No 2 สี
เส้นทางสี่จุด) เท่านั้นสีที่ไม่เหมาะสมกล่าวถึงเป็นสีนึง (สอง
จุดมีเพื่อนบ้านร่วมกันควรจะมีสีที่แตกต่างกัน)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลังจากที่สั้น ๆ ประวัติศาสตร์ บัญชี ไม่กี่ง่ายโครงสร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับกราฟระนาบที่เป็นประโยชน์สำหรับสีที่ระบุไว้ และสองการใช้งานที่เรียบง่ายของการปฏิบัติจะได้รับหลังจากนั้น ตามประเภทที่เหมาะสมของกราฟสีเครื่องบินจะกล่าวถึงทั้งในของคลาสสิกและ choosability ( ระบายสีรายการ ) รุ่น : พร้อมกันจุดสี ,ขอบและใบหน้า ( ในชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดรวมทั้งรวมสี ) สีขอบวงกลมสี ( จุดทั้งหมดในหน้าเล็กมีสีที่แตกต่างกัน ) , 3-coloring หว่า ,สี ( ไม่ 2-colored รอบ ) , วาง ( homomorphism ของกราฟเพื่อระบายสีทัวร์นาเมนต์ขนาดเล็ก ) เป็นกรณีพิเศษ วงกลมสี ( สีเป็นจุดเล็กๆรอบและสีใด ๆสองจุดที่อยู่ติดกันต้องเกือบตรงข้ามในรอบนี้ )สี 2-distance ( ไม่ 2-colored เส้นทางสามจุด ) และสี ( ไม่ 2-colored ดาวเส้นทางบนสี่จุด ) ที่กล่าวถึงเป็นเพียงสีและระบายสี ( 2 ใด ๆจุดมีเพื่อนบ้านทั่วไปควรมีสีที่แตกต่างกัน )