ON PERFECT AND NEAR-PERFECT NUMBERS

ON PERFECT AND NEAR-PERFECT NUMBERS
VLADIMIR SHEVELEV
Abstract. We call n a near-perfect number, if it is sum of all its proper
divisors, except for one of them (”redundant divisor”). It is a special
kind of Sierpi´nski number [1]. We prove an Euclid-like theorem for nearperfect
numbers and obtain some other results for them.
1. Introduction
A perfect number is a positive integer equals to the sum of its proper
positive divisors. Denote σ(n) the sum of all positive divisors of n. Then n
is a perfect number if and only if σ(n) − n = n, or
(1.1) σ(n) = 2n.
The smallest perfect number is 6, because 1, 2, and 3 are its proper positive
divisors, and 1 + 2 + 3 = 6. By direct experiment one can obtain some
first perfect numbers: 6, 28, 496, 8128,... These experiments, at the first
time, were conducted by Euclid. Moreover, he was successful to obtain the
following important result.
Theorem 1. (Euclid) If p is such prime that also 2
p − 1 is prime, then
n = 2p−1
(2p − 1) is perfect number.
It is interesting that 2000 passed before a new large success in the research
of perfect numbers. L. Euler was successful to convert the Euclid’s theorem
for even perfect numbers.
Theorem 2. (Euler) Even perfect numbers have the form n = 2p−1
(2p −1),
where p and 2
p − 1 are primes.
Recall that primes of the form 2p−1 are called Mersenne primes.Up to now
it is not known whether exist infinitely many Mersenne primes. Therefore,
it is not known whether exist infinitely many even perfect numbers. Not
less difficult problem is: whether exists at least one odd perfect number?
This question is still open as well.
In connection with study of the perfect numbers, it is natural to split
all positive integers into three sets: numbers for which σ(n) < 2n, perfect
numbers and numbers for which σ(n) > 2n. Numbers of the first set are
called deficient, while numbers of the third set are called abundant.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เลขที่สมบูรณ์แบบ และใกล้สมบูรณ์วลาดิเมียร์ SHEVELEVบทคัดย่อ เราเรียกหมายเลข n ใกล้สมบูรณ์ ถ้ามันเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดของหาร ยกเว้นของคุณ ("ข้อมูลหาร") มันเป็นพิเศษชนิดของหมายเลข Sierpi´nski [1] เราพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทเช่นยุคลิดสำหรับ nearperfectตัวเลข และได้รับผลลัพธ์บางอย่างสำหรับพวกเขา1. บทนำจำนวนสมบูรณ์จะเป็นจำนวนเต็มบวกเท่ากับผลรวมของความเหมาะสมหารบวก แสดง σ(n) รวมตัวหารที่เป็นบวกทั้งหมดของ n แล้ว nถ้าหมายเลขที่เหมาะสมและรับ σ(n) − n = n หรือ(1.1) σ(n) = 2nจำนวนสมบูรณ์น้อยที่สุดคือ 6 เนื่องจาก 1, 2 และ 3 เป็นบวกความเหมาะสมหาร และ 1 + 2 + 3 = 6 โดยตรงการทดลอง หนึ่งสามารถรับบางส่วนหมายเลขสมบูรณ์แบบครั้งแรก: 6, 28, 496, 8128, ... ทดลองเหล่านี้ ครั้งแรกเวลา ได้ดำเนินการ โดยยุคลิด นอกจากนี้ เขาประสบความสำเร็จได้รับการผลสำคัญต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ 1 (ยุคลิด) ถ้า p เป็นนายกดังกล่าวที่ยัง 2p − 1 เป็นนายก แล้วn = 2p−1(2p − 1) เป็นจำนวนสมบูรณ์เป็นที่น่าสนใจว่า 2000 ผ่านก่อนที่จะประสบความสำเร็จขนาดใหญ่ใหม่ในการวิจัยหมายเลขสมบูรณ์ ออยเลอร์ L. สำเร็จจะแปลงทฤษฎีบทของยุคลิดแม้ตัวเลขเหมาะสำหรับทฤษฎีบทที่ 2 (ออยเลอร์) หมายเลขเหมาะแม้มีแบบฟอร์ม n = 2p−1(2p −1),ที่ p และ 2p − 1 โรงแรมไพรม์เรียกคืนที่ โรงแรมไพรม์ของ 2p−1 แบบฟอร์มเรียกว่า Mersenne โรงแรมไพรม์ถึงตอนนี้ไม่ทราบว่ามีโรงแรมไพรม์ Mersenne เพียบหลาย ดังนั้นไม่ทราบว่ามีหมายเลขสมบูรณ์แม้มากมายเพียงนั้น ไม่น้อยกว่าปัญหาที่ยากจะ: ว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่น้อยคำถามนี้ยังคงเปิดอยู่ด้วยพร้อมกับศึกษาจำนวนสมบูรณ์ เป็นธรรมชาติแยกจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็นชุดที่ 3: หมายเลข σ(n) ที่ < 2n โกหมายเลขและหมายเลขที่ σ(n) > 2n หมายเลขของชุดแรกเรียกขาดสาร ในขณะที่ตัวเลขชุดที่สามเรียกว่าอุดมสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กับตัวเลขที่สมบูรณ์แบบและใกล้สมบูรณ์
VLADIMIR Shevelev
บทคัดย่อ เราเรียก na จำนวนใกล้ที่สมบูรณ์แบบถ้ามันเป็นผลรวมของการที่เหมาะสมทุก
หารยกเว้นหนึ่งของพวกเขา ("หารซ้ำซ้อน") มันเป็นพิเศษ
ชนิดของจำนวน Sierpi'nski [1] เราพิสูจน์ทฤษฎีบท Euclid เหมือนสำหรับ nearperfect
หมายเลขและได้รับบางส่วนผลอื่น ๆ สำหรับพวกเขา.
1 บทนำ
จำนวนสมบูรณ์เป็นจำนวนเต็มบวกเท่ากับผลรวมของการที่เหมาะสมของมัน
หารบวก แสดงว่าσ (n) ผลรวมของทั้งหมดหารบวกของ n แล้ว n
คือตัวเลขที่สมบูรณ์แบบและถ้าหากσ (n) - ​​n = n หรือ
. (1.1) σ (n) = 2n
จำนวนสมบูรณ์ที่เล็กที่สุดคือ 6 เพราะ 1, 2, และ 3 เป็นบวกที่เหมาะสมของมัน
หาร, และ 1 + 2 + 3 = 6 โดยการทดสอบโดยตรงหนึ่งสามารถได้รับบาง
ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบครั้งแรก: 6, 28, 496, 8128, ... การทดลองเหล่านี้ในครั้งแรก
เวลาที่ได้รับการดำเนินการโดยยุคลิด นอกจากนี้เขาประสบความสำเร็จที่จะได้รับ
ผลสำคัญต่อไปนี้.
ทฤษฎีบท 1. (Euclid) ถ้า P เป็นสำคัญดังกล่าวว่านอกจากนี้ยังมี 2
p - 1 เป็นนายกแล้ว
n = 2p-1
(2p - 1). คือจำนวนที่สมบูรณ์แบบ
เป็นที่น่าสนใจ ที่ 2000 ที่ผ่านมาก่อนความสำเร็จใหม่ขนาดใหญ่ในการวิจัย
ของตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ L. ออยเลอร์ที่ประสบความสำเร็จในการแปลงทฤษฎีบทของยุคลิด
สำหรับตัวเลขที่สมบูรณ์แบบแม้กระทั่ง.
ทฤษฎีบท 2. (ออยเลอร์) แม้ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบมีรูปแบบ n = 2p-1
(2p -1)
โดยที่ p และ 2
p -. 1 เป็นช่วงเวลาที่
จำได้ว่า เฉพาะในรูปแบบ 2p-1 จะเรียกว่าเซนเน primes.Up ถึงตอนนี้
ก็ไม่มีใครรู้ว่ามีอยู่มากมายหลายเซนเนเฉพาะ ดังนั้น
มันไม่มีใครรู้ว่ามีอยู่มากมายหลายตัวเลขที่สมบูรณ์แบบแม้กระทั่ง ไม่
ปัญหาที่ยากน้อย: ไม่ว่าจะมีอยู่อย่างน้อยหนึ่งจำนวนสมบูรณ์คี่
คำถามนี้เป็นคำถามที่ยังคงเปิดได้เป็นอย่างดี.
ในการเชื่อมต่อกับการศึกษาของตัวเลขที่สมบูรณ์แบบมันเป็นธรรมชาติที่จะแยก
จำนวนเต็มบวกทั้งหมดลงไปในเซตที่สาม: ตัวเลขที่σ (n ) <2n สมบูรณ์แบบ
ตัวเลขและตัวเลขที่σ (n)> 2n ตัวเลขของชุดแรกจะถูก
เรียกว่าขาดในขณะที่ตัวเลขของชุดที่สามจะเรียกว่าอุดมสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่สมบูรณ์แบบ และใกล้เคียงกับที่สมบูรณ์แบบตัวเลข วลาดิเมียร์ shevelev

นามธรรม เราเรียกที่อยู่ใกล้ที่สมบูรณ์แบบตัวเลข ถ้าเป็นยอดรวมของตัวหาร เหมาะสม
ทั้งหมดยกเว้นหนึ่งของพวกเขา ( " ( ตัวหาร ) มันเป็นชนิดพิเศษของ sierpi ใหม่
nski เบอร์ [ 1 ] เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของยุคลิดชอบตัวเลข nearperfect
และได้รับผลลัพธ์อื่น ๆบางอย่างสำหรับพวกเขา .
1 บทนำ
ตัวเลขที่เป็นจำนวนเต็มบวกเท่ากับผลรวมของเหมาะสม
บวกตัวหาร . แสดงσ ( N ) ยอดรวมของตัวหารที่เป็นบวก ( แล้ว N
เป็นจำนวนสมบูรณ์ถ้าและเพียงถ้าσ ( N ) − n = n ,
( 1.1 ) σ ( n ) = 2n .
จำนวนที่ดีน้อยที่สุดคือ 6 เพราะ 1 , 2 และ 3 มีความเหมาะสมในเชิงบวก
ตัวหาร และ 1 2 3 = 6 จากการทดลองโดยตรง หนึ่งสามารถได้รับบาง
แรกสมบูรณ์แบบตัวเลข 6 , 28 ,496 , 8128 , . . . การทดลองเหล่านี้ ครั้งแรก
, ทำการทดลองโดยยูคลิด นอกจากนี้ เขายังประสบความสำเร็จเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้สำคัญมาก
.
ทฤษฎีบท 1 ( ซิดนีย์ ) ถ้า P เป็นนายกรัฐมนตรีที่ 2
P − 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว
n = 2p − 1
( 2p − 1 ) เป็นจำนวนสมบูรณ์ .
มันน่าสนใจที่ 2000 ก่อนที่จะผ่านความสำเร็จขนาดใหญ่ใหม่ในการวิจัย
สมบูรณ์แบบตัวเลข Lออยเลอร์ประสบความสำเร็จแปลงยุคลิดทฤษฎีบทของ
สำหรับแม้ว่าจำนวนสมบูรณ์ .
ทฤษฎีบท 2 ( ออยเลอร์ ) แม้ว่าจำนวนสมบูรณ์มีรูปแบบ n = 2p − 1
( 2p − 1 ) 2

ที่ P และ P − 1 เป็นจำนวนเฉพาะ .
จำได้ว่าจำนวนเฉพาะของรูปแบบ 2p − 1 จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะแมร์แซน ถึงตอนนี้
มันไม่เป็นที่รู้จักว่ามีจำนวนเฉพาะแมร์แซน อนันต์หลาย ดังนั้น
มันไม่เป็นที่รู้จักไม่ว่าจะอยู่ แม้ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ เพียบมาก ปัญหาคือ : ไม่
น้อยยากว่ามีอยู่อย่างน้อยหนึ่งหมายเลขคี่ที่สมบูรณ์แบบ ?
คำถามนี้ยังคงเปิดเช่นกัน .
ในการเชื่อมต่อกับการศึกษาของตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ มันเป็นธรรมชาติที่จะแยก
จำนวนเต็มบวกทั้งหมดออกเป็นสามชุด : ตัวเลขที่σ ( N ) < 2n สมบูรณ์แบบ
ตัวเลขและตัวเลขที่σ ( N ) > 2 .ตัวเลขชุดแรกเป็น
เรียกว่าขาด ในขณะที่ตัวเลขของเซตที่สามเรียกว่า อุดมสมบูรณ์