According to Ampère’s law in differ

According to Ampère’s law in differential form,
∇×H = J Eq. 2-15
the curl of the magnetic field is zero in a current-free region ( J =0 ) and non-zero in a
region where current is present. Thus, the curl of the magnetostatic field locates the
source of the field (steady current).
According to Faraday’s law in differential form,
∇×E = 0 Eq. 2-16
the curl of the electrostatic field is always zero.
2.3.2 Static fields and potentials
Fields with zero curl are defined as lamellar or irrotational fields. All
electrostatic fields are lamellar fields. According to the identity,
∇×∇f =0 Eq. 2-17
electrostatic field can be written as the gradient of some scalar (electric scalar
potential V).
E = −∇V Eq. 2-18
In a similar fashion, in a current-free region ( J =0 ), the magnetic field is lamellar
(∇×H =0 ) so that the magnetic field may also be written as the gradient of some
scalar.
H = −∇Vm Eq. 2-19
where Vm is the magnetic scalar potential.
Fields with zero divergence are defined as solenoidal or rotational fields. All
magnetostatic fields are solenoidal based on Gauss’s law for magnetic fields.
∇⋅B = 0 Eq. 2-20
According to the vector identity
∇⋅(∇×F)=0 Eq. 2-21
magnetostatic fields can be written as the curl of some vector (magnetic vector
potential A ).Thus, we may write
∇⋅B = 0 ⇒ B = μH = ∇×A ⇒ H = μ1∇×A Eq. 2-22
Inserting the magnetic field expression into the differential form of Ampère’s law
gives
J A J A J H μ μ = × ∇ × ∇ ⇒ = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
∇× = ⇒ ∇×⎛ 1∇× Eq. 2-23
The curl operator satisfies the following vector identity:
∇ × ∇ × F = ∇ (∇ ⋅ F) − ∇2 F Eq. 2-24
9
where the last term in the previous equation is defined as the vector Laplacian. The
equation defining the magnetic vector potential in terms of the current density
becomes
∇(∇⋅ A) − ∇2A = μ J Eq. 2-25
We are free to choose the characteristics of the vector potential to simplify the
mathematics, so long as the fields defined in term of A still satisfy Maxwell’s
equations. If we choose
∇⋅A= 0 Eq. 2-26
then the equation for the magnetic vector potential in term of the current density
becomes
∇2A = −μ J Eq. 2-27
This equation is the vector analogy to Poisson’s equation
ε
ρ v ∇2V = − Eq. 2-28
In the case of 2D planar problems, we have the following equations:
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
∂
−∂
∂
∂
= ∇× =
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
=
=
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
=
( , ) 0
0
0
( , )
0
0
x
A
y
A
B A
A a x y
A
j x y
J z
z
z
The Partial differential equation (PDE) that the axis component of the magnetic
vector potential verifies, is:
( ) ( ) ( ) 0 , , 1 = + ⎟
⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜⎝
⎛
∇⋅ ∇A x y j x y
B z μ Eq. 2-29
We notice that the magnetic permeability depends on the magnitude of the flux
density B in saturable area (iron) so we obtain a nonlinear PDE to solve.
The advantage of using the vector potential formulation is that all the conditions
to be satisfied have been combined into a single equation. If A is found, B and H can
then be deduced by differentiating A. In addition, the form of the last equation is
elliptic partial differential equation, arises in the study of many different types of
engineering phenomenon. There are a large number of tools that have been developed
over the years to solve this particular problem.
2.3.3 Time-varying Problems (Harmonic problems)
In this paragraph, we deal only with time harmonic problems. Harmonic
problems are characterized by a sinusoidal dependence of all the quantities versus
time. Thus it is interesting to introduce the complex representation of the sinusoidal
variables in the following way :
10
If: g(t ) = 2Gcos(ωt ) , we can write: g(t ) = 2 Re [G exp( jωt )]
and so: t j G
g t ⇒ ω ∂
∂ ( ) Eq. 2-30
This representation is applied to all the electromagnetic quantities varying with time.
For example, we have the following notations in 2D planar problems:
Electric field: e(x, y, t ) = 2 Re[E(x, y )exp( jωt )]
Magnetic field: h(x, y, t ) = 2 Re[H(x, y )exp( jωt )]
Magnetic flux density: b(x, y, t ) = 2 Re[B(x, y )exp( jωt )]
Electric current density: j(x, y, t ) = 2 Re[J(x, y )exp( jωt )]
We will omit the notation (x,y) in the following in order to simplify the text.
If the field is time-varying, eddy currents can be induced in materials with a
non-zero conductivity. Several other Maxwell's equations related to the electric field
distribution must also be accommodated. The electric field E and the current density J
still obey the constitutive relationship:
j(t ) = σ e(t ) ⇒ J = σE Eq. 2-31
The induced electric field then obeys:
∂ ⇒ ∇×Ε = − Β
∇× = −∂ jω t
e(t) b(t) Eq. 2-32
Substituting the vector potential form of B yields:
∂ [∇× ] ⇒ ∇×Ε = − ∇×Α
∇× = − ∂ a t jω e(t) t ( ) Eq. 2-33
In the case of 2-D problems, the integration of this equation gives:
t v t j V
e t a t −∇ ⇒ Ε = − Α−∇ ∂
( ) = −∂ ( ) ( ) ω Eq. 2-34
which yields:
t v t J j V
j t a t − ∇ ⇒ = − Α− ∇ ∂
( ) = −σ ∂ ( ) σ ( ) ωσ σ Eq. 2-35
where V is an electric potential that may be given by an external source.
Finally, we obtain the following partial differential equation:
( ( )) ( ) ( ) ( )
1 v t t
a t j a t b t src ∂ − ∇
= − ∂ ⎟⎠
⎞
⎜⎝∇×⎛ ∇
×
σ
σ
μ
Eq. 2-36
V j Jsrc ∇ − Α − = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ ∇×Α ⇒ ∇× μ (Β) σω σ
1 Eq. 2-37
src J V + ∇ − Α − = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ ∇×Α ∇× μ (Β) σ σ
1 Eq. 2-38
11
where Jsrc represents the applied currents sources. The ∇V term is an additional
voltage gradient that, in 2-D problems, is constant over a conducting body.
2.3.4 Boundary Conditions
Some discussion of boundary conditions is necessary so that we will be sure to
define an adequate number of boundary conditions to guarantee a unique solution of
the PDE. Boundary conditions come in three flavors :
2.3.4.1 Dirichlet. In this type of boundary condition, the value of A is
explicitly defined on the boundary, e.g. A = 0. The most common use of Dirichlettype
boundary conditions is to define A = 0 along a boundary to keep flux from
crossing the boundary.
2.3.4.2 Neumann. This boundary condition specifies the normal derivative
of A along the boundary. Usually, ∂A/∂n = 0 is defined along a boundary to force
flux to pass the boundary at exactly a 90º angle to the boundary. This sort of boundary
condition is consistent with an interface with a very highly permeable metal.
2.3.4.3 Mixed. The mixed boundary condition is a mix between Dirichlet
and Neumann, prescribing a relationship between the value of A and its normal
derivative at the boundary. An example of this boundary condition is : ∂ + Α = 0
∂Α n c .
This boundary condition is most often used in eddy current problems on interfaces
with bodies with small skin-depth eddy currents.
If no boundary conditions are explicitly defined, each boundary defaults to a ∂
A/∂n = 0 Neumann boundary condition. However, a non-derivative boundary
condition must be defined somewhere so that the problem has a unique solution.
For axisymmetric problems, A = 0 is enforced on the line r = 0. In this case, a valid
solution can be obtained without explicitly defining any boundary conditions, as long
as part of the boundary of the problem lies along r = 0.
There are other types of boundary conditions that we can introduce in a
numerical process in order to reduce the size of the problems: periodic and anti
periodic conditions.
2.4 Numerical methods for elliptic PDE’s resolution
2.4.1 Introduction
The analytic solution of electromagnetic PDEs presents some difficulties if the
geometry is complex and the problem is nonlinear. Some numerical methods are
developed to solve some kinds of PDEs. Some of them are listed in the following:
2.4.1.1 Finite difference method: This method uses the discretization of the
partial derivatives onto the second order. The PDE is then solved as a linear equation.
The main advantage of this method is its simplicity.
2.4.1.2 Finite elements method: The principle of this method consists on a
discretization of the domain on polygonal domains (triangles for example)
minimization of a function depending on the values of the unknown function on the
nodes. This method presents the advantage that we can simulate every kind of
geometries.
2.4.1.3 Boundary integral method: This method is based on the use of Green
Formula. The solution of a harmonic function on a domain can be determined using
the values of the function on the boundary of the domain. This method can be used for
12
magnetostatic problems with isotropic properties. It is so limited for some
applications especially linear problems.
2.4.1.4 Hybrid Methods: These methods combine the finite elements
methods in nonlinear eddy current area with boundary integral method in
magnetostatic regions. The two problems are connected on the boundary between the
two domains.
2.4.2 Basics of Finite Elements Method (FEM)
The two most popular methods of deriving the finite elements equations are the
variational approach and the Galerking approach, which is a special case of the
method of weighted residuals (MWR). The variational method was the first applied to
problems in magnetics and occupies a large part of the early literature. Due to the
greater generality of the weighted residual method, this method has increased its
popularity. It is briefly presented here.
The MWR can be presented as follows. We begin with an operator equation
L(X) = 0 Eq. 2-39
on region Ω with boundary conditions on the boundary ∂Ω . We substitute an
approximate solution Xˆ into the previous equation. Since X ≠ Xˆ , we obtain a
residual.
L(Xˆ) = R Eq. 2-40
The MWR now requires that the integral of the projection of the residual on a special
weighting function is zero over the domain of interest. The choice of the weighting
function determines the type of MWR. In our case we will choose weighting function
to have the same form as the finite element shape function. This is known as the
Galerking method a

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตามกฎหมายของ Ampère ในแบบฟอร์มส่วนที่แตกต่าง∇× H = Eq. J 2-15ขดของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ในภูมิภาคปัจจุบันฟรี (J = 0) และไม่ใช่ศูนย์ในการภูมิภาคซึ่งปัจจุบันมีอยู่ ดังนั้น ขดของฟิลด์ magnetostatic ตั้งอยู่แหล่งที่มาของฟิลด์ (ปัจจุบันมั่นคง)ตามกฎหมายของฟาราเดย์ในแบบฟอร์มส่วนที่แตกต่าง∇× E = 0 Eq. 2-16ขดของฟิลด์สถิตเป็นศูนย์เสมอ2.3.2 คงฟิลด์และศักยภาพฟิลด์ศูนย์ขดไว้เป็น lamellar หรือ irrotational ทั้งหมดสถิต lamellar เป็นฟิลด์เป็น ตามรหัสประจำตัว∇× ∇f = 0 Eq. 2-17ฟิลด์งานสามารถเขียนเป็นการไล่ระดับสีของสเกลาร์บาง (ไฟฟ้าสเกลาร์เป็นโวลต์)E = Eq. −∇V 2-18ในแฟชั่นคล้าย ในภูมิภาคปัจจุบันฟรี (J = 0), สนามแม่เหล็กเป็น lamellar(∇× H = 0) เพื่อให้สนามแม่เหล็กอาจยังเขียนเป็นการไล่ระดับสีของสเกลาH = Eq. −∇Vm 2-19ที่ Vm เป็นศักยภาพสเกลาแม่เหล็กกำหนดเขตข้อมูลที่ มีศูนย์ divergence เป็น solenoidal หรือในการหมุน ทั้งหมดฟิลด์ magnetostatic จะ solenoidal ตามกฎหมายของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก∇⋅B = 0 Eq. 2-20ตามเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ∇⋅ (∇× F) = 0 Eq. 2-21ฟิลด์ magnetostatic สามารถเขียนเป็นขดของเวกเตอร์บาง (เวกเตอร์แม่เหล็กเกิด A)ดังนั้น เราจะเขียน∇⋅B = 0 ⇒ B = μH = H ×⇒การ∇ = μ1∇ × A Eq. 2-22แทรกนิพจน์สนามแม่เหล็กลงในแบบฟอร์มที่แตกต่างของกฎหมายของ Ampèreช่วยให้เจเอชเจเจเป็นΜΜ =××∇∇⇒ =⎟⎠⎞⎜⎝∇× =⇒∇×⎛ 1∇ × Eq. 2-23ตัวม้วนตรงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้:∇×∇× F =∇ (∇⋅ F) F − ∇2 Eq. 2-249ในระยะสุดท้ายในสมการก่อนหน้านี้ที่ถูกกำหนดเป็นเวกเตอร์ Laplacian ที่สมการที่กำหนดศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กในปัจจุบันความหนาแน่นกลายเป็น∇(∇⋅ A) − ∇2A = Eq. J μ 2-25เรามีอิสระในการเลือกลักษณะของศักยภาพแบบเวกเตอร์เพื่อทำการคณิตศาสตร์ ตราบฟิลด์ที่กำหนดไว้ในเงื่อนไขการยังคงมีการตอบสนองของแมกซ์เวลล์สมการ ถ้าเราเลือก∇⋅A = 0 Eq. 2-26แล้วสมการเป็นเวกเตอร์แม่เหล็กในเทอมของความหนาแน่นของกระแสกลายเป็น∇2A = Eq. J −μ 2-27สมการนี้มีคำว่าเวกเตอร์กับสมการของปัวซองΕΡ v ∇2V =− Eq. 2-28ในกรณีของปัญหาระนาบ 2D เรามีสมการต่อไปนี้:⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡∂−∂∂∂= ∇× =⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡==⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡=( , ) 000( , )00xAyAB AA x yAj x yJ zzzสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน (ชาย) ที่ส่วนประกอบแกนของแม่เหล็กที่ตรวจสอบศักยภาพเวกเตอร์ คือ:( ) ( ) ( ) 0 , , 1 = + ⎟⎟⎠ ⎞⎜ ⎜⎝⎛∇A ∇⋅ x y j x yB z μ Eq. 2-29เราสังเกตว่า permeability แม่เหล็กขึ้นอยู่กับขนาดของการไหลความหนาแน่น B ในพื้นที่ saturable (เหล็ก) ดังนั้นเราขอชายไม่เชิงเส้นในการแก้ไขประโยชน์ของการใช้เวกเตอร์อาจแบ่งเป็นเงื่อนไขทั้งหมดจุใจได้ถูกรวมเข้าเป็นสมการเดียวกัน ถ้าพบ A, B และ H สามารถแล้ว มี deduced โดยขึ้นต้นอ. นอกจากนี้ รูปแบบของสมการสุดท้ายคือelliptic บางส่วนสมการเชิงอนุพันธ์ เกิดขึ้นในการศึกษามากมายหลายชนิดปรากฏการณ์วิศวกรรม มีเครื่องมือที่ได้รับการพัฒนาเป็นจำนวนมากปีเพื่อแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะ2.3.3 เวลาแตกต่างกันปัญหา (ปัญหา Harmonic)ในย่อหน้านี้ เราจัดการเฉพาะกับปัญหาเวลามีค่า Harmonicปัญหามีลักษณะ โดยอาศัย sinusoidal ของปริมาณทั้งหมดเมื่อเทียบกับเวลา ดังนั้น จึงน่าสนใจแนะนำแสดงความซับซ้อนของแบบ sinusoidalตัวแปรในลักษณะต่อไปนี้:10ถ้า: g (t) = 2Gcos (ωt), ที่เราสามารถเขียน: g (t) = 2 Re [G exp (jωt)]และ: t j G⇒ g t ω∂∂ Eq. () 2-30การแสดงนี้จะใช้กับปริมาณไฟฟ้าทั้งหมดที่แตกต่างกันกับเวลาตัวอย่าง เรามีฯลฯ ต่อไปนี้ในระนาบปัญหา 2D:สนามไฟฟ้า: e (x, y, t) = 2 Re [E (x, y) ประสบการณ์ (jωt)]สนามแม่เหล็ก: h (x, y, t) = 2 Re [H (x, y) ประสบการณ์ (jωt)]ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก: b (x, y, t) = 2 Re [exp B (x, y) (jωt)]ความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า: เจ (x, y, t) = 2 Re [J (x, y) ประสบการณ์ (jωt)]เราจะไม่ใช้สัญกรณ์ (x, y) ในต่อไปนี้เพื่อลดความซับซ้อนของข้อความถ้าฟิลด์เป็นเวลาแตกต่างกัน สามารถเกิดเอ็ดดี้กระแสในวัสดุกับการนำศูนย์ไม่ หลายอื่น ๆ ของแมกซ์เวลล์ที่เกี่ยวข้องกับสนามไฟฟ้ายังต้องอาศัยการกระจาย สนามไฟฟ้า E และความหนาแน่นปัจจุบัน Jยัง ฟังความสัมพันธ์ขึ้น:j (t) =σ e (t) ⇒ J = Eq. σE 2-31สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำให้แล้วปฏิบัติตาม:∂ ⇒ ∇×Ε = − Β∇× =−∂ jω te(t) b(t) Eq. 2-32การแทนที่แบบเป็นเวกเตอร์ของ B ทำให้:∂ [∇× ] ⇒ ∇×Ε = − ∇×Α∇× =−∂ t กับ jω e(t) t () Eq. 2-33ในกรณีของปัญหา 2 มิติ การรวมสมการนี้ให้:t v t j Ve t เป็น t −∇⇒Ε =−Α−∇∂() =−∂()()ω Eq. 2-34ซึ่งก่อให้เกิด:t v t J j Vj t เป็น t −∇⇒ =−Α−∇∂() =−σ∂()σ()ωσσ Eq. 2-35โดยที่ V คือ ศักยภาพการไฟฟ้าซึ่งอาจได้รับจากแหล่งภายนอกสุดท้าย เรารับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนต่อไปนี้:( ( )) ( ) ( ) ( )1 v t tj t เป็น t b t src ∂−∇= − ∂ ⎟⎠⎞⎜⎝∇×⎛ ∇×ΣΣΜEq. 2-36V j Jsrc ∇−Α− =⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇×Α⇒∇×Μ (Β) ΣΩΣ1 eq. 2-37นาย J V + ∇−Α− =⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇×Α∇ฟิลด์ (Β) ΜΣΣ1 eq. 2-3811ที่ Jsrc แสดงถึงแหล่งที่มาของกระแสที่ใช้ คำว่า ∇V คือ เพิ่มเติมไล่ระดับแรงดันที่ 2-D ปัญหา คงที่ผ่านร่างกายทำ2.3.4 พัฒนาขอบเขตเงื่อนไขสนทนาบางขอบเขตเงื่อนไขจำเป็นที่เราจะต้องกำหนดจำนวนเพียงพอของขอบเขตเงื่อนไขการรับประกันแก้ปัญหาเฉพาะของชาย เงื่อนไขขอบเขตมาสามรส:2.3.4.1 Dirichlet ในขอบเขตเงื่อนไขชนิดนี้ ค่าของ A คือกำหนดไว้อย่างชัดเจนบนขอบ เช่น A = 0 ใช้กันทั่วไปของ Dirichlettypeเงื่อนไขขอบเขตจะกำหนด A = 0 ตามขอบให้ไหลจากข้ามขอบเขต2.3.4.2 Neumann อนุพันธ์ปกติระบุเงื่อนไขขอบเขตนี้ของ A ตามขอบเขต โดยปกติ ∂A/∂n = 0 ไว้ตามขอบเขตการบังคับใช้ไหลผ่านขอบเขตที่ตรงมุม 90º การขอบเขต จัดเรียงของขอบเขตเงื่อนไขไม่สอดคล้องกับอินเทอร์เฟซกับโลหะ permeable อย่างมาก2.3.4.3 ผสม เงื่อนไขขอบเขตแบบผสมคือ ผสมระหว่าง Dirichletและ Neumann การกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ A และเป็นปกติอนุพันธ์ในขอบเขต ตัวอย่างของเงื่อนไขขอบเขตนี้คือ: ∂ + Α = 0∂Α n cเงื่อนไขขอบเขตนี้มักใช้ในปัญหาปัจจุบันเอ็ดดี้อินเตอร์เฟสมีร่างกายมีขนาดเล็กผิวลึกเอ็ดดี้กระแสถ้ากำหนดเงื่อนไขขอบเขตไม่ชัดเจน แต่ละขอบเขตเป็นค่าเริ่มต้นการ∂A/∂n = 0 Neumann ขอบเขตเงื่อนไขการ อย่างไรก็ตาม เส้นขอบเขตไม่ใช่อนุพันธ์เงื่อนไขต้องกำหนดไว้เพื่อให้ปัญหามีเฉพาะสำหรับปัญหา axisymmetric, A = 0 ดบนเส้น r = 0 ในกรณีนี้ ความถูกต้องแก้ปัญหาได้ไม่ชัดเจนการกำหนดเงื่อนไขขอบเขตใด ๆ เป็นเวลานานเป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตของปัญหาที่ตั้งอยู่บริเวณ r = 0มีชนิดอื่น ๆ ของเงื่อนไขขอบเขตที่เราสามารถแนะนำในการกระบวนการตัวเลขการลดขนาดของปัญหา: เป็นครั้งคราว และป้องกันสภาพเป็นครั้งคราว2.4 วิธีตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาของชาย elliptic2.4.1 แนะนำโซลูชันคู่ของแม่เหล็กไฟฟ้า PDEs แสดงปัญหาบางอย่างเรขาคณิตมีความซับซ้อน และปัญหาคือไม่เชิงเส้น บางวิธีเป็นตัวเลขพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาบางชนิด PDEs บางส่วนของพวกเขาอยู่ในต่อไปนี้:2.4.1.1 วิธีผลต่างจำกัด: วิธีนี้ใช้ discretization ของอนุพันธ์บางส่วนบนใบสั่งที่สอง ชายมีแก้ไขแล้วเป็นสมการเชิงเส้นข้อดีหลักของวิธีนี้คือ ความเรียบง่าย2.4.1.2 วิธีการองค์ประกอบจำกัด: ประกอบด้วยหลักการของวิธีการนี้ในการdiscretization ของโดเมนในโดเมน polygonal (สามเหลี่ยมตัวอย่าง)ลดภาระของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักในโหน วิธีนี้นำเสนอประโยชน์ที่เราสามารถจำลองทุกชนิดของรูปทรงเรขาคณิต2.4.1.3 ขอบเป็นวิธี: วิธีการนี้จะขึ้นอยู่กับการใช้สีเขียวสูตร สามารถกำหนดโซลูชันของฟังก์ชันมีค่าบนโดเมนโดยใช้ค่าของฟังก์ชันบนขอบเขตของโดเมน วิธีนี้สามารถใช้สำหรับ12เกี่ยวกับคุณสมบัติ isotropic magnetostatic มีจำกัดดังนั้นบางใช้งานโดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาการเชิงเส้น2.4.1.4 ผสมวิธี: วิธีการเหล่านี้รวมการองค์ประกอบจำกัดวิธีในพื้นที่ปัจจุบันเอ็ดดี้ไม่เชิงเส้น ด้วยวิธีเป็นขอบเขตในmagnetostatic ขอบเขตการ เชื่อมต่อกับเขตแดนระหว่างสองปัญหาสองโดเมน2.4.2 พื้นฐานของวิธีการองค์ประกอบจำกัด (FEM)มีสองวิธีที่นิยมมากที่สุดของบริษัทฯ จำกัดองค์ประกอบสมการวิธี variational และวิธี Galerking ซึ่งเป็นพิเศษกรณีของการวิธีการถ่วงน้ำหนักค่าคงเหลือ (MWR) วิธีการ variational เป็นคนแรกที่ใช้ปัญหาใน magnetics และครอบครองส่วนใหญ่ของวรรณคดีก่อน เนื่องgenerality มากกว่าวิธีถ่วงน้ำหนักเหลือ วิธีการนี้ได้เพิ่มขึ้นเป็นความนิยม มันสั้น ๆ มีการนำเสนอที่นี่MWR สามารถแสดงได้ดังนี้ เราเริ่มต้น ด้วยสมการดำเนินL(X) = 0 Eq. 2-39ในภูมิภาคΩมีเงื่อนไขขอบเขตบน∂Ωขอบ เราใช้แทนการประมาณโซลูชั่น Xˆ ในรูปของสมการก่อนหน้านี้ ตั้งแต่ X ≠ Xˆ เราได้รับการส่วนที่เหลือจากการL(Xˆ) = Eq. R 2-40MWR ตอนนี้ต้องที่ทฤษฎีบูรณาการของการคาดการณ์ส่วนที่เหลือจากบนเป็นพิเศษน้ำหนักฟังก์ชันเป็นศูนย์ผ่านโดเมนที่น่าสนใจ ทางเลือกของน้ำหนักฟังก์ชันกำหนดชนิดของ MWR ในกรณีของเรา เราจะเลือกน้ำหนักฟังก์ชันมีแบบเดียวเป็นฟังก์ชันรูปร่างองค์ประกอบจำกัด นี้เรียกว่าการGalerking วิธีการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตามกฎหมายAmpèreในรูปแบบที่แตกต่างกัน
∇× H = สม J 2-15
ขดของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ในภูมิภาคปัจจุบันฟรี (J = 0) และไม่ใช่ศูนย์ใน
ภูมิภาคที่ปัจจุบันมีอยู่ ดังนั้นขดของสนาม magnetostatic หา
แหล่งที่มาของข้อมูล (คงที่ปัจจุบัน).
ตามกฎหมายของคูลอมบ์ในรูปแบบที่แตกต่างกัน
∇× E = 0 สมการ 2-16
ขดของสนามไฟฟ้าสถิตเป็นศูนย์เสมอ.
2.3.2 สาขาคงและศักยภาพ
ฟิลด์กับศูนย์ขดจะถูกกำหนดเป็นเขต lamellar หรือไม่มีการหมุนวน ทุก
สนามไฟฟ้าสถิตเป็นสาขา lamellar ตามที่ตัวตน,
∇×∇f = 0 สมการ 2-17
สนามไฟฟ้าสถิตสามารถเขียนเป็นความลาดชันบางสเกลาร์ (สเกลาร์ไฟฟ้า
ที่มีศักยภาพ V).
E = -∇Vสม 2-18
ในรูปแบบเหมือนกันในภูมิภาคปัจจุบันฟรี (J = 0), สนามแม่เหล็กเป็น lamellar
(∇× H = 0) เพื่อให้สนามแม่เหล็กก็อาจจะเขียนเป็นความลาดชันบาง
เกลา.
H = -∇Vmสม 2-19
ที่ Vm เป็นสเกลาร์ที่มีศักยภาพแม่เหล็ก.
ทุ่งกับศูนย์ความแตกต่างจะถูกกำหนดเป็นเขต solenoidal หรือการหมุน ทุก
สาขา magnetostatic จะขึ้นอยู่ solenoidal ในกฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก.
∇⋅B = 0 สมการ 2-20
ตามเอกลักษณ์เวกเตอร์
∇⋅ (∇× F) = 0 สมการ 2-21
สาขา magnetostatic สามารถเขียนเป็นขดของบางเวกเตอร์ (แม่เหล็กเวกเตอร์
ที่มีศักยภาพ) ดังนั้นเราอาจจะเขียน
∇⋅B = 0 ⇒ B = μH = ∇×⇒ H = μ1∇×สม 2-22
แทรกการแสดงออกของสนามแม่เหล็กในรูปแบบที่แตกต่างกันของกฎหมายแอมแปร์
ให้
J AJAJH μμ = ××∇∇⇒ = ⎟⎠
⎞
⎜⎝
∇× = ⇒∇×⎛1∇×สม 2-23
ประกอบขดตอบสนองความเป็นตัวตนเวกเตอร์ต่อไปนี้:
∇×∇× F = ∇ (∇⋅ F) - ∇2 F สม 2-24
9
ที่ระยะสุดท้ายในสมการที่ก่อนหน้านี้ถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์ Laplacian
สมการกำหนดแม่เหล็กเวกเตอร์ศักยภาพในแง่ของความหนาแน่นกระแส
กลายเป็น
∇ (∇⋅) - ∇2A = μ J สม 2-25
เรามีอิสระที่จะเลือกลักษณะของเวกเตอร์ที่มีศักยภาพที่จะลดความซับซ้อนของ
คณิตศาสตร์ตราบเท่าที่สาขาที่กำหนดไว้ในระยะเวลาของการยังคงตอบสนองของแมกซ์เวล
สม ถ้าเราเลือก
∇⋅A = 0 สมการ 2-26
แล้วสมการของแม่เหล็กเวกเตอร์ศักยภาพในแง่ของความหนาแน่นกระแส
กลายเป็น
∇2A = -μ J สม 2-27
สมการนี้คือการเปรียบเทียบเวกเตอร์สมการปัวซ
ลิ
ρวี∇2V = - สมการ 28/2
ในกรณีที่เกิดปัญหาระนาบ 2D เรามีสมการต่อไปนี้:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
-∂
∂
∂
= ∇× =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
() 0
0
0
()
0
0
x และBA axy เจ XY J Z Z Z สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน (PDE) ว่าองค์ประกอบที่แกนของแม่เหล็กเวกเตอร์จะตรวจสอบที่มีศักยภาพคือ() () () 0, 1 + = ⎟ ⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∇⋅∇A xyjxy ของ B z μสม 2-29 เราสังเกตเห็นว่าการซึมผ่านแม่เหล็กขึ้นอยู่กับขนาดของฟลักซ์B หนาแน่นในพื้นที่ saturable (เหล็ก) ดังนั้นเราจึงได้รับ PDE ไม่เชิงเส้นที่จะแก้ปัญหา. ประโยชน์ของการใช้เวกเตอร์สูตรที่มีศักยภาพเป็นว่าเงื่อนไขทั้งหมดที่จะได้รับความพึงพอใจได้ การรวมกันเป็นสมการเดียว หากพบ B และ H สามารถนั้นจะสามารถสรุปได้ว่าโดยความแตกต่างของ A. นอกจากนี้รูปแบบของสมการที่ผ่านมาเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รูปไข่ที่เกิดขึ้นในการศึกษาของหลายประเภทของปรากฏการณ์ทางวิศวกรรม มีจำนวนมากของเครื่องมือที่ได้รับการพัฒนาเป็นเวลาหลายปีในการแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะ. 2.3.3 เวลาที่แตกต่างกันปัญหา (ปัญหาฮาร์มอนิ) ในย่อหน้านี้เราจัดการเฉพาะกับปัญหาประสานเวลา ฮาร์มอนิปัญหาที่โดดเด่นด้วยการพึ่งพาซายน์ของปริมาณทั้งหมดเมื่อเทียบกับเวลา ดังนั้นจึงเป็นที่น่าสนใจที่จะนำการแสดงที่ซับซ้อนของซายน์ตัวแปรในวิธีต่อไปนี้: 10 ถ้า: กรัม (t) = 2Gcos (ωt) เราสามารถเขียน: กรัม (t) = 2 เรื่อง [G ประสบการณ์ (jωt)] และ ดังนั้น: TJ G GT ⇒โอห์ม∂ ∂ () สมการ 2-30 การแสดงนี้จะนำไปใช้กับทุกปริมาณไฟฟ้าที่แตกต่างกันกับเวลา. ตัวอย่างเช่นเรามีข้อความต่อไปนี้ใน 2D ปัญหาภาพถ่าย: สนามไฟฟ้า: E (x, y, t) = 2 เรื่อง [E (x, y) ประสบการณ์ (jωt)] สนามแม่เหล็ก: h (x, y, t) = 2 เรื่อง [H (x, y) ประสบการณ์ (jωt)] ความหนาแน่นของของเหลวแม่เหล็ก: b (x, y, t) = 2 เรื่อง [B (x , y) ประสบการณ์ (jωt)] ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า: J (x, y, t) = 2 เรื่อง [J (x, y) ประสบการณ์ (jωt)] เราจะละเว้นสัญกรณ์ (x, y) ในต่อไปนี้ในการสั่งซื้อ เพื่อให้ง่ายต่อข้อความ. ถ้าเขตเวลาที่แตกต่างกันกระแสน้ำไหลวนสามารถเหนี่ยวนำให้เกิดในวัสดุที่มีการนำไม่ใช่ศูนย์ หลายสมการแมกซ์เวลอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสนามไฟฟ้ากระจายนอกจากนี้ยังต้องอาศัย E สนามไฟฟ้าและความหนาแน่นกระแส J ยังคงเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนประกอบ: J (t) = อีσ (t) ⇒ J = σEสม 2-31 สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำให้เกิดแล้วเชื่อฟัง: ∂⇒∇×Ε = - เบต้า∇× = -∂jωทีอี (t) ข (t) สมการ 2-32 แทนเวกเตอร์รูปแบบที่อาจเกิดขึ้นของอัตราผลตอบแทน B: ∂ [∇×] ⇒∇×Ε = - ∇×อัลฟา∇× = - ∂ได้ที่ e jω (t) = () สมการ 2-33 ในกรณีที่มีปัญหา 2 มิติบูรณาการของสมการนี้จะช่วยให้: tvtj V อีททท-∇⇒Ε = - Α-∇∂ () = -∂ () () ωสม 2-34 ที่ทำให้: TVT เจเจวีเจททท - ⇒∇ = - Α-∇∂ () = -σ∂ () σ () ωσσสม 2-35 โดยที่ V คือศักย์ไฟฟ้าที่อาจจะได้รับจากแหล่งภายนอก. สุดท้ายเราได้รับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนต่อไปนี้: (()) () () () 1 VTT atjatbt src ∂ - ∇ = - ∂⎟⎠ ⎞ ⎜⎝∇×⎛∇ × ุุไมครอนสม 2-36 V J JSRC ∇ - Α - = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∇×Α⇒∇×μ (Β) σωσ 1 สมการ 2-37 src JV + ∇ - Α - = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛∇×Α∇×μ (Β) σσ 1 สมการ 2-38 11 JSRC ที่แสดงให้เห็นถึงแหล่งที่มาของกระแสใช้ ระยะ∇Vคือเพิ่มการไล่ระดับแรงดันไฟฟ้าที่เกิดปัญหาใน 2 มิติคือคงที่ตลอดการดำเนินการของร่างกาย. 2.3.4 เงื่อนไขขอบเขตการอภิปรายของเงื่อนไขขอบเขตบางเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อที่เราจะต้องแน่ใจว่ากำหนดจำนวนที่เพียงพอของเงื่อนไขขอบเขต เพื่อรับประกันการแก้ปัญหาเฉพาะของPDE เงื่อนไขขอบเขตมาในสามรสชาติ: 2.3.4.1 Dirichlet ในรูปแบบของเงื่อนไขขอบเขตนี้ค่าของการกำหนดไว้อย่างชัดเจนในขอบเขตเช่น = 0 ใช้บ่อยที่สุดของ Dirichlettype เงื่อนไขขอบเขตคือการกำหนด = 0 พร้อมขอบเขตเพื่อให้การไหลจากข้ามพรมแดน. 2.3 4.2 นอยมันน์ เงื่อนไขขอบเขตนี้ระบุอนุพันธ์ปกติของตามแนวพรมแดน โดยปกติ∂A / ∂n = 0 จะถูกกำหนดตามขอบเขตที่จะบังคับให้ไหลผ่านเขตแดนที่ตรงมุม 90 องศากับเขตแดน การเรียงลำดับของเขตแดนนี้สภาพมีความสอดคล้องกับอินเตอร์เฟซที่มีโลหะดูดซึมอย่างมาก. 2.3.4.3 ผสม เงื่อนไขขอบเขตผสมเป็นส่วนผสมระหว่าง Dirichlet และนอยมันน์กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างค่าของและปกติอนุพันธ์ที่ขอบเขต ตัวอย่างของเงื่อนไขขอบเขตนี้: ∂ + Α = 0 . ∂Α NC นี้เงื่อนไขขอบเขตที่ใช้บ่อยที่สุดในปัญหากระแสไหลวนบนอินเตอร์เฟซ. กับหน่วยงานที่มีกระแสน้ำไหลวนผิวเชิงลึกขนาดเล็กถ้าไม่มีเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนในแต่ละเขต เริ่มต้นที่∂ / ∂n = 0 เงื่อนไขขอบเขตนอยมันน์ แต่ขอบเขตที่ไม่ใช่ตราสารอนุพันธ์เงื่อนไขต้องกำหนดที่ไหนสักแห่งเพื่อให้ปัญหามีทางออกที่ไม่ซ้ำกัน. สำหรับปัญหา axisymmetric, = 0 จะบังคับใช้กับสาย R = 0 ในกรณีนี้ต้องแก้ปัญหาที่สามารถรับได้โดยไม่ต้องกำหนดอย่างชัดเจน เงื่อนไขขอบเขตใด ๆ ตราบเท่าเป็นส่วนหนึ่งของขอบเขตของปัญหาที่อยู่ตาม r = 0. มีชนิดอื่น ๆ ของเงื่อนไขขอบเขตที่เราสามารถแนะนำในการมีกระบวนการที่เป็นตัวเลขในการสั่งซื้อเพื่อลดขนาดของปัญหา: ระยะและป้องกันภาวะธาตุ . 2.4 วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ปัญหาไข่ PDE ของ2.4.1 การแนะนำวิธีการแก้ปัญหาการวิเคราะห์ของโคนแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีปัญหาบางอย่างถ้ารูปทรงเรขาคณิตที่มีความซับซ้อนและปัญหาคือไม่เชิงเส้น บางวิธีการเชิงตัวเลขที่มีการพัฒนาขึ้นเพื่อแก้ปัญหาบางชนิดของโคน บางส่วนของพวกเขามีการระบุไว้ในต่อไปนี้2.4.1.1 วิธีการที่แตกต่างกันแน่นอน: วิธีนี้จะใช้ discretization ของอนุพันธ์บนลำดับที่สอง PDE จะแก้ไขแล้วเป็นสมการเชิงเส้น. ประโยชน์หลักของวิธีนี้คือความเรียบง่าย. 2.4.1.2 องค์ประกอบ จำกัด วิธีการ: หลักการของวิธีนี้ประกอบด้วยในเนื่องของโดเมนในโดเมนเหลี่ยม (สามเหลี่ยมตัวอย่าง) ลดความ ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักในโหนด วิธีการนี้จะนำเสนอข้อได้เปรียบที่เราสามารถจำลองชนิดของทุกรูปทรงเรขาคณิต. 2.4.1.3 วิธีหนึ่งขอบเขต: วิธีการนี้จะขึ้นอยู่กับการใช้งานของสีเขียวสูตร วิธีการแก้ปัญหาของการทำงานที่ประสานกันในโดเมนจะถูกกำหนดโดยใช้ค่าของฟังก์ชั่นที่อยู่ในขอบเขตของโดเมน วิธีนี้สามารถใช้สำหรับ12 ปัญหา magnetostatic ที่มีคุณสมบัติ isotropic มันมี จำกัด ดังนั้นสำหรับบางโปรแกรมปัญหาเชิงเส้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง. 2.4.1.4 วิธีไฮบริด: วิธีการเหล่านี้รวมองค์ประกอบ จำกัดวิธีการในพื้นที่ปัจจุบันไม่เชิงเส้นวนด้วยวิธีการหนึ่งเขตแดนในภูมิภาค magnetostatic สองปัญหาที่มีการเชื่อมต่อกับเขตแดนระหว่างสองโดเมน. 2.4.2 พื้นฐานขององค์ประกอบ จำกัด (FEM) สองวิธีที่นิยมมากที่สุดของมาองค์ประกอบ จำกัด สมการเป็นวิธีการแปรผันและวิธีการ Galerking ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวิธีการถ่วงน้ำหนักที่เหลือ (MWR) วิธีการแปรผันเป็นครั้งแรกที่นำไปใช้กับปัญหาในการแม่เหล็กและตรงส่วนใหญ่ของวรรณกรรมต้น เนื่องจากทั่วไปมากขึ้นของวิธีการถ่วงน้ำหนักที่เหลือวิธีนี้ได้เพิ่มขึ้นของความนิยม จะนำเสนอในเวลาสั้น ๆ ที่นี่. MWR สามารถนำเสนอดังต่อไปนี้ เราเริ่มต้นด้วยสมการประกอบL (X) = 0 สมการ 2-39 ในΩภูมิภาคที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่ชายแดน∂Ω เราแทนการแก้ปัญหาโดยประมาณ X เป็นสมการที่ก่อนหน้านี้ ตั้งแต่ X X ≠เราได้รับส่วนที่เหลือ. L (X) = R สม 2-40 MWR ตอนนี้ต้องที่หนึ่งของการประมาณการของที่เหลือที่พิเศษฟังก์ชั่นการชั่งน้ำหนักเป็นศูนย์กว่าโดเมนที่น่าสนใจ ทางเลือกของน้ำหนักฟังก์ชั่นกำหนดประเภทของ MWR ในกรณีที่เราจะเลือกฟังก์ชั่นการชั่งน้ำหนักที่จะมีรูปแบบเดียวกับฟังก์ชั่นรูปทรงองค์ประกอบ จำกัด นี้เรียกว่าวิธี Galerking

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตาม กฎหมาย ในส่วนของบริษัทอีเบย์ แบบ
∇× H = J อีคิว 2-15
ม้วนของสนามแม่เหล็กเป็นศูนย์ในปัจจุบันฟรี ( ภาค J = 0 ) และไม่เป็นศูนย์ในพื้นที่ที่ปัจจุบันคือ
ปัจจุบัน ดังนั้น , ม้วนของฟิลด์ magnetostatic ตั้งอยู่
แหล่งสนาม ( คงที่ในปัจจุบัน ) .
ตามกฎของฟาราเดย์ในแบบฟอร์ม ∇× E =
0
2-16 อีคิวม้วนของสนามสถิตอยู่เสมอ 0
2.3.2 คงที่เขตข้อมูลและศักยภาพ
สาขาศูนย์ม้วนจะถูกกําหนด หรือ irrotational ปรับปรุงเขตข้อมูล สาขาสถิตทั้งหมด
จะปรับปรุงเขตข้อมูล ตามเอกลักษณ์ ∇×∇ F = 0 2-17 อีคิว

ทั่วไปสามารถเขียนเป็นลาดบางด้านไฟฟ้า ( สเกลาร์
ศักยภาพ v )
e = −∇ V อีคิว 2-18
ในแฟชั่นที่คล้ายกันในปัจจุบันฟรี ( ภาค J = 0 ) , แม่เหล็กการท
( ∇× H = 0 ) เพื่อให้สนามแม่เหล็กอาจเขียนเป็นลาดบาง
สเกลาร์ .
H = −∇ VM อีคิว 2-19
ที่ VM เป็นศักย์สเกลาร์แม่เหล็ก .
ข้อมูลศูนย์ divergence จะหมายถึง solenoidal หรือการหมุนเขตข้อมูล ข้อมูลทั้งหมดเป็น magnetostatic
solenoidal ตามกฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก ∇⋅ B = 0 =

2-20 อีคิว