1. Introduction and Main ResultsIf

1. Introduction and Main Results
If p(x) is a polynomial of degree n ≥ 2 with n distinct real roots r1 < r2 < · · · < rn
and critical points x1 < x2 < · · · < xn−1, let
σk =
xk − rk
rk+1 − rk
, k = 1, 2, . . . , n − 1.
(σ1, . . . , σn−1) is called the ratio vector of p, and σk is called the kth ratio. Ratio
vectors were first discussed in [4] and in [1], where the inequalities
1
n − k + 1
< σk <
k
k + 1
, k = 1, 2, . . . , n − 1
were derived. For n = 3 it was shown in [1] that σ1 and σ2 satisfy the polynomial
equation 3(1 − σ1)σ2 − 1 = 0. In addition, necessary and sufficient conditions
were given in [5] for (σ1, σ2) to be a ratio vector. For n = 4, a polynomial, Q,
in three variables was given in [5] with the property that Q (σ1, σ2, σ3) = 0 for
any ratio vector (σ1, σ2, σ3). It was also shown that the ratios are monotonic–that
is, σ1 < σ2 < σ3 for any ratio vector (σ1, σ2, σ3). For n = 3,
1
3 < σ1 <
1
2
and
1
2 < σ2 <
2
3
, and thus it follows immediately that σ1 < σ2. The monotonicity
of the ratios does not hold in general for n ≥ 5 (see [5]). Further results on ratio
vectors for n = 4 were proved by the author in [6]. In particular, necessary and
sufficient conditions were given for (σ1, σ2, σ3) to be a ratio vector. For a discussion
of complex ratio vectors for the case n = 3, see [7].
We now want to extend the notion of ratio vector to hyperbolic polynomial-like
functions (HPLF) of the form
p(x) = (x − r1)
m1
· · ·(x − rN )
mN ,
where m1, . . . , mN are given positive real numbers with PN
k=1 mk = n and r1, . . . , rN
are real numbers with r1 < r2 < · · · < rN . See [8] and the references therein for
Ratio Vectors of
Polynomial-Like Functions
Alan Horwitz
vol. 9, iss. 3, art. 76, 2008
Title Page
Contents
JJ II
J I
Page 4 of 21
Go Back
Full Screen
Close
much more about HPLFs. We extend some of the results and simplify some of the
proofs in [5] and in [6], and we prove some new results as well. In particular, we
derive more general bounds on the σk (Theorem 1.2). Even for N = 3 or N = 4,
the monotonicity of the ratios does not hold in general for all positive real numbers
m1, . . . , mN . We provide examples below and we also derive necessary and suffi-
cient conditions on m1, m2, m3 for σ1 < σ2 (Theorem 1.4). In order to define the
ratios for HPLFs, we need the following lemma

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.
บทนำและผลหลักถ้าพี(x) เป็นพหุนามการศึกษาระดับปริญญา n ≥ 2 n รากจริงที่แตกต่างกัน r1 <r2 <··· <rn
และจุดสำคัญ x1 <x2 <··· <xn-1
ให้σk =
XK - RK
RK + 1 -
RK, k = 1, 2, . . , n - 1
(... σ1, σn-1) เรียกว่าเวกเตอร์อัตราส่วนของ p และσkเรียกว่าอัตราส่วน KTH อัตราส่วนเวกเตอร์ได้กล่าวถึงครั้งแรกใน [4] และ [1] ที่ไม่เท่าเทียมกัน 1 n - k + 1 <σk <k + 1 k, k = 1, 2, . . , n - 1 ได้มา สำหรับ n = 3 มันแสดงให้เห็นใน [1] ที่σ1σ2และตอบสนองความพหุนามสมการ3 (1 - σ1) σ2 - 1 = 0 นอกจากนี้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอที่จะได้รับใน[5] สำหรับ (σ1, σ2) จะเป็นเวกเตอร์อัตราส่วน สำหรับ n = 4, พหุนาม, คิวในสามตัวแปรที่ได้รับใน[5] กับทรัพย์สินที่ Q (σ1, σ2, σ3) = 0 เวกเตอร์อัตราส่วนใด ๆ (σ1, σ2, σ3) มันก็แสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนที่มีต่อเนื่องที่เป็นσ1 <σ2 <σ3สำหรับเวกเตอร์อัตราส่วนใด ๆ (σ1, σ2, σ3) สำหรับ n = 3 1 3 <σ1 <1 2 และ1 2 <σ2 <2 3 และทำให้มันเป็นไปตามทันทีว่าσ1 <σ2 monotonicity อัตราส่วนไม่ได้ถือโดยทั่วไปสำหรับ n ≥ 5 (ดู [5]) ผลการเพิ่มเติมเกี่ยวกับอัตราส่วนเวกเตอร์สำหรับ n = 4 ได้รับการพิสูจน์โดยผู้เขียนใน [6] โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จำเป็นและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการได้รับ (σ1, σ2, σ3) จะเป็นเวกเตอร์อัตราส่วน สำหรับการอภิปรายของเวกเตอร์อัตราส่วนที่ซับซ้อนสำหรับกรณี n = 3 ให้ดู [7]. ตอนนี้เราต้องการที่จะขยายความคิดของอัตราส่วนเวกเตอร์เพื่อพหุนามเหมือนผ่อนชำระฟังก์ชั่น (HPLF) ในรูปแบบพี(x) = (x - r1 ) m1 ··· (x - RN) mN, ที่ m1, . . , mN จะได้รับจำนวนจริงบวกกับ PN k = 1 mk = n และ r1, . . , RN เป็นตัวเลขจริงกับ r1 <r2 <··· <RN ดู [8] และอ้างอิงในนั้นอัตราส่วนเวกเตอร์ของพหุนามชอบฟังก์ชั่นลันHorwitz ฉบับ 9 สถานีอวกาศนานาชาติ 3 ศิลปะ 76, 2008 ชื่อเรื่องหน้าสารบัญJJ สองJI หน้า 4 จาก 21 กลับไปเต็มหน้าจอปิดมากขึ้นเกี่ยวกับHPLFs เราขยายบางส่วนของผลและลดความซับซ้อนของบางส่วนของบทพิสูจน์ใน [5] และ [6] และเราพิสูจน์ผลลัพธ์ใหม่บางส่วนเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เราได้รับมาขอบเขตที่กว้างขึ้นในσkนี้ (ทฤษฎีบท 1.2) แม้ยังไม่มี = 3 หรือไม่มี = 4, monotonicity อัตราส่วนไม่ได้ถือโดยทั่วไปสำหรับจำนวนจริงบวกทั้งหมดm1, . . , มินนิโซตา เราให้ตัวอย่างด้านล่างและเรายังได้รับมา suffi- จำเป็นและเงื่อนไขเพียงพอในm1, M2, M3 สำหรับσ1 <σ2 (ทฤษฎีบท 1.4) เพื่อที่จะกำหนดอัตราส่วนสำหรับ HPLFs เราต้องการแทรกดังต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . ความรู้เบื้องต้นและ
ผลลัพธ์หลักถ้า P ( x ) เป็นพหุนามระดับ N ≥ 2 กับรากจริงแตกต่างกัน R1 R2 < < < Rn
· · · และที่สำคัญจุด x1 x2 < < · · · < ซิน− 1 ให้
σ K =
XK − RK
RK 1 − RK
, K = 1 , 2 , . . . . . . . . , n − 1
( σ 1 . . . . . . . . σ , n − 1 ) เรียกว่าอัตราส่วนเวกเตอร์ของ P และ K σเรียกว่าอัตราส่วน kth . เวกเตอร์แรกที่กล่าวถึงในอัตราส่วน
[ 4 ] และ [ 1 ] ที่อสมการ

1N K − 1
< <

σ K K K 1
, k = 1 , 2 , . . . . . . . . , n − 1
ได้มา . n = 3 พบใน [ 1 ] ที่σ 1 และσ 2 เป็นไปตามสมการพหุนาม
3 ( 1 σ− 1 ) σ 2 − 1 = 0 นอกจากนี้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ
ได้รับใน [ 5 ] ( σ 1 , σ 2 ) เป็นส่วนเวกเตอร์ n = 4 , พหุนาม , Q ,
3 ตัวแปรที่ได้รับใน [ 5 ] กับทรัพย์สินที่ Q ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = 0
ใด ๆฟรี ( 1 ) σσσ , 2 , 3 ) พบว่าส่วนที่เป็นσอย่างเดียว )
, 1 < σ 2 < σ 3 สำหรับอัตราส่วนเวกเตอร์ ( σσσ 1 , 2 , 3 ) สำหรับ n = 3
1
3 < σ 1 <
1
2

1
2 < σและ 2 <
2
3
, และดังนั้นจึงตามมาทันทีว่า σ 1 < σ 2 การ monotonicity
ของอัตราส่วนที่ไม่ได้ถือโดยทั่วไป≥ 5 n ( [ 5 ] ) ผลในเวกเตอร์อัตราส่วน
n = 4 ถูกพิสูจน์โดยผู้เขียนใน [ 6 ]โดยเฉพาะสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอให้
( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) เป็นค่าเวกเตอร์ เวกเตอร์สำหรับการอภิปราย
อัตราส่วนที่ซับซ้อนสำหรับกรณี n = 3 , ดู [ 7 ] .
ตอนนี้เราต้องการขยายแนวคิดของเวกเตอร์พหุนามฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก อัตราส่วน เช่น
( hplf ) ของฟอร์ม
p ( x ) = ( − R1 X )
M1
· · · ( X − Rn )

ที่ MN , M1 , . . . . . . . . , MN จะมีจำนวนจริงบวกกับ PN
MK = n และ k = 1 R1 , . . . . . . . . , RN
เป็นจำนวนจริงกับ R1 R2 < < · · · < RN . ดู [ 8 ] และอ้างอิงสำหรับ

ชอบฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์ของอลัน Horwitz
.
9 แห่งยมโลก 3 , ศิลปะ 76 , 2008


เจเจหน้าชื่อเรื่องเนื้อหา 2
J ผม

หน้า 4 จาก 21 กลับไป


ใกล้เต็มหน้าจอมากขึ้นเกี่ยวกับ hplfs . เราขยายบางส่วนของผลลัพธ์ และลดความซับซ้อนของ
ปรู๊ฟใน [ 5 ] และ [ 6 ]และเราพิสูจน์ผลลัพธ์ใหม่บางส่วนเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรา
ได้รับขอบเขตทั่วไปมากขึ้นในσ K ( ทฤษฎีบท 1.2 ) สำหรับ n = 3
n = 4 , monotonicity ของอัตราส่วนที่ไม่ได้ถือโดยทั่วไปทั้งหมดบวกตัวเลข
จริง M1 , . . . . . . . . , MN . เรามีตัวอย่างด้านล่าง และเรายังได้รับสิ่งที่จำเป็นและ suffi -
cient เงื่อนไขบน M1 , M2 , M3 สำหรับσ 1 < σ 2 ( ทฤษฎีบท 1.4 ) เพื่อกําหนด
อัตราส่วน hplfs เราต้องการรูปแบบต่อไปนี้