In Section 2 we give a simple proof

In Section 2 we give a simple proof of Theorem 1 using cross-ratios and
establish a link with the buttefly theorem and its projective generalization.
Section 3 interprets Theorem 1 in terms of hyperbolic and M¨obius geometry,
reproves and generalizes it.
Both approaches to Theorem 1 are quite common and belong to the folklore
in the mathematical olympiads community. We believe that they can
be used as nice exercises in projective, respectively hyperbolic geometry.
The author thanks Arseniy Akopyan for useful remarks.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ใน 2 ส่วน เราให้พิสูจน์เรื่องทฤษฎีบท 1 โดยใช้อัตราส่วนระหว่าง และสร้างการเชื่อมโยงกับทฤษฎีบท buttefly generalization เป็น projectiveส่วน 3 แปลทฤษฎีบท 1 ในไฮเพอร์โบลิและ M¨obius เรขาคณิตreproves และ generalizes นั้นทั้งสองวิธี 1 ทฤษฎีบทเป็นปกติ และเป็นของพื้นบ้านในชุมชน olympiads คณิตศาสตร์ เราเชื่อว่า พวกเขาสามารถสามารถใช้เป็นการออกกำลังกายที่ดีในทางเรขาคณิต projective ไฮเพอร์โบลิตามลำดับผู้เขียนขอขอบคุณ Arseniy Akopyan สำหรับหมายเหตุประโยชน์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในส่วนที่ 2 เราจะให้หลักฐานที่เรียบง่ายของทฤษฎีบท 1 โดยใช้อัตราส่วนข้าม
สร้างการเชื่อมโยงกับทฤษฎีและประสบการณ์การของ Buttefly .
ส่วน 3 อธิบายทฤษฎีบท 1 ในแง่ของไฮเพอร์โบลิกและตั้ง obius เรขาคณิต

และต่อว่าเช่นนี้ได้ขยายมัน วิธีทั้งสองทฤษฎีบท 1 จะค่อนข้างทั่วไป และเป็นของชาวบ้าน
ในคณิตศาสตร์แข่งสังคม เราเชื่อว่าพวกเขาสามารถ
ใช้เป็นแบบฝึกหัดที่ดีในการฉายภาพตามลำดับเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก .
เขียนขอบคุณ arseniy akopyan สำหรับข้อคิดเห็นที่เป็นประโยชน์