MORE ON THE DIOPHANTINE EQUATION 2x

MORE ON THE DIOPHANTINE EQUATION 2x + 37y = z2 277
Subcase u = 1. Then 2x−2 − 1 = 37k. It follows that 2x−2 = 37k + 1 ≥
37 + 1 = 38. Thus, x ≥ 3. Moreover, 2x−2 − 37k = 1. By Proposition 2.1, we
have k = 1. Then 2x−2 = 38. This is impossible.
Therefore, (3, 0, 3) is a unique solution (x, y, z) for the equation 2x + 37y =
z2.
Corollary 3.2. The Diophantine equation 2x + 37y = w4 has no nonnegative
integer solution where x, y and w are non-negative integers.
Proof. Suppose that there are non-negative integers x, y and w such that
2x + 37y = w4. Let z = w2. Then 2x + 37y = z2. By Theorem 3.1, we have
(x, y, z) = (3, 0, 3). Then w2 = z = 3. This is a contradiction.
Corollary 3.3. (1, 0, 3) is a unique solution (u, y, z) for the Diophantine
equation 8u + 37y = z2 where u, y and z are non-negative integers.
Proof. Let x, y and z be non-negative integers such that 8u +37y = z2. Let
x = 3u. Then 2x + 37y = z2. By Theorem 3.1, we have (x, y, z) = (3, 0, 3).
Then 3u = x = 3. Thus, u = 1. Therefore, (1, 0, 3) is a unique solution (u, y, z)
for the equation 8u + 37y = z2.
Corollary 3.4. The Diophantine equation 32u + 37y = z2 has no nonnegative
integer solution where u, y and z are non-negative integers.
Proof. Suppose that there are non-negative integers u, y and z such that
32u + 37y = z2. Let x = 5u. Then 2x + 37y = z2. By Theorem 3.1, we have
(x, y, z) = (3, 0, 3). Then 5u = x = 3. This is a contradiction.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เพิ่มเติม ON THE DIOPHANTINE สมการ 2 x + 37y = z2 277Subcase u = 1 แล้ว 2x−2 − 1 = 37 k มันตามที่ 2x−2 = 37 k + 1 ≥37 + 1 = 38 ดังนั้น x ≥ 3 นอกจากนี้ 2x−2 − 37 k = 1 โดยข้อเสนอ 2.1 เรามี k = 1 แล้ว 2x−2 = 38 นี้เป็นไปไม่ได้ดังนั้น, (3, 0, 3) เป็นวิธีไม่ซ้ำ (x, y, z) สำหรับสมการ 2 x + 37y =z2Corollary 3.2 สมการ Diophantine 2 x + 37y = w4 มี nonnegative ไม่มีแก้ปัญหาจำนวนเต็มซึ่ง x, y และ w เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบหลักฐาน สมมติว่า มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ x, y และ w ซึ่งx 2 + 37y = w4 ให้ z = w2 แล้ว 2 x + 37y = z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี(x, y, z) = (3, 0, 3) แล้ว w2 = z = 3 นี่คือความขัดแย้งCorollary 3.3 (1, 0, 3) เป็นวิธีไม่ซ้ำ (u, y, z) สำหรับการ Diophantineสมการ 8u + 37y = z2 ที่ u, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบหลักฐาน ให้ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบดังกล่าวนั้น 8u + 37y = z2 ปล่อยให้x = 3u แล้ว 2 x + 37y = z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี (x, y, z) = (3, 0, 3)แล้ว 3u = x = 3 ดังนั้น u = 1 ดังนั้น, (1, 0, 3) เป็นวิธีไม่ซ้ำ (u, y, z)สำหรับสมการ 8u + 37y = z2Corollary 3.4 สมการ Diophantine 32u + 37y = z2 ได้ไม่ nonnegativeการแก้ปัญหาจำนวนเต็มที่ u, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบหลักฐาน สมมติว่า มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ u, y และ z ซึ่ง32u + 37y = z2 ให้ x = 5u แล้ว 2 x + 37y = z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี(x, y, z) = (3, 0, 3) แล้ว 5u = x = 3 นี่คือความขัดแย้ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพิ่มเติมเกี่ยวกับ Diophantine สมการ 2x + 37y = Z2 277
Subcase U = 1 แล้ว 2x-2 - 1 = 37K มันตามที่ 2x-2 = 37K + 1 ≥
37 + 1 = 38 ดังนั้น x ≥ 3. นอกจากนี้ 2x-2 - 37K = 1 โดยโจทย์ 2.1 เรา
มี K = 1 แล้ว 2x-2 = 38 มันเป็นไปไม่ได้.
ดังนั้น (3, 0, 3) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (x, y, z) สำหรับสมการ 2x + 37y =
Z2
ควันหลง 3.2 2 เท่าของสม Diophantine + 37y = W4 ไม่มีค่าลบ
วิธีการแก้ปัญหาที่จำนวนเต็ม x, y และ W เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ
พิสูจน์ สมมติว่ามี integers เชิงลบ x, y และ W ดังกล่าวว่า
2x + 37y = W4 ให้ Z = W2 แล้ว 2x + 37y = Z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี
(x, y, z) = (3, 0, 3) แล้ว W2 = Z = 3 นี้เป็นความขัดแย้ง
ควันหลง 3.3 (1, 0, 3) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (U, Y, Z) สำหรับ Diophantine
สม 8U + 37y = Z2 ที่ U, Y และ Z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ
พิสูจน์ ให้ x, y z และจะ integers ไม่ใช่เชิงลบดังกล่าวที่ 8U + 37y = Z2 ให้
x = 3U แล้ว 2x + 37y = Z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี (x, y, z) = (3, 0, 3)
แล้ว 3U = x = 3 ดังนั้น U = 1 ดังนั้น (1, 0, 3) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน (U, Y, Z)
สำหรับ 8U สมการ + 37y = Z2
ควันหลง 3.4 สม Diophantine 32u + 37y = Z2 ไม่มีค่าลบ
วิธีการแก้ปัญหาที่จำนวนเต็ม U, Y และ Z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ
พิสูจน์ สมมติว่ามี integers เชิงลบ U, Y และ Z ดังกล่าวว่า
32u + 37y = Z2 ให้ x = 5U แล้ว 2x + 37y = Z2 โดยทฤษฎีบท 3.1 เรามี
(x, y, z) = (3, 0, 3) แล้ว 5U = x = 3 นี้เป็นความขัดแย้ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เพิ่มเติมเกี่ยวกับไดโอแฟนไทน์สมการ 2x + 37y = กขึ้น 277subcase u = 1 แล้ว + − 2 − 1 = 37k มันเป็นไปตามที่ 2x + 1 − 2 = 37k ≥37 + 1 = 38 ดังนั้น x ≥ 3 นอกจากนี้ 37k 2x − 2 = − 1 โดยข้อเสนอ 2.1 เรามี K = 1 แล้ว + − 2 = 38 นี่มันเป็นไปไม่ได้เพราะฉะนั้น ( 3 , 0 , 1 ) เป็นโซลูชั่น ( X , Y , Z ) สำหรับสมการ 2x + 37y =เซสท์แอร์เวย์ .ควันหลง 3.2 . ส่วนสมการไดโอแฟนไทน์ + + 37y = W4 ไม่มี nonnegativeเป็นโซลูชั่นที่ X , Y และ W เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบพิสูจน์ สมมติว่ามีไม่ลบจำนวนเต็ม x , y และ W เช่น+ + 37y = W4 . ให้ Z = W2 . แล้ว + + 37y = กขึ้น . โดยทฤษฎีบท 3.1 , เรามี( x , y , z ) = ( 1 , 0 , 1 ) แล้ว W2 = Z = 3 นี่คือความขัดแย้งควันหลง 3.3 . ( 1 , 0 , 1 ) เป็นโซลูชั่น ( u , Y , Z ) สำหรับไดโอแฟนไทน์สมการ 8U + 37y = กขึ้นที่ u , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบพิสูจน์ ให้ x , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ 8U + 37y = กขึ้น . ให้X = 3U แล้ว + + 37y = กขึ้น . โดยทฤษฎีบท 3.1 , เราได้ ( x , y , z ) = ( 1 , 0 , 1 )จากนั้น 3U = x = 3 ดังนั้น u = 1 ดังนั้น , ( 1 , 0 , 1 ) เป็นโซลูชั่น ( u , Y , Z )สำหรับสมการ 8U + 37y = กขึ้น .ควันหลง 3.4 . ส่วนสมการไดโอแฟนไทน์ 32u + 37y = กขึ้นไม่มี nonnegativeเป็นโซลูชั่นที่ u , y และ z เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบพิสูจน์ สมมติว่ามีไม่ลบจำนวนเต็ม u , Y และ Z เช่น32u + 37y = กขึ้น . ให้ x = 5U แล้ว + + 37y = กขึ้น . โดยทฤษฎีบท 3.1 , เรามี( x , y , z ) = ( 1 , 0 , 1 ) จากนั้น 5U = x = 3 นี่คือความขัดแย้ง