Monte Carlo methods (or Monte Carlo

Monte Carlo methods (or Monte Carlo experiments) are a broad class of computational algorithms that rely on repeated random sampling to obtain numerical results. They are often used in physical and mathematical problems and are most useful when it is difficult or impossible to use other mathematical methods. Monte Carlo methods are mainly used in three distinct problem classes:[1] optimization, numerical integration, and generating draws from a probability distribution.
In physics-related problems, Monte Carlo methods are quite useful for simulating systems with many coupled degrees of freedom, such as fluids, disordered materials, strongly coupled solids, and cellular structures (see cellular Potts model, interacting particle systems, McKean-Vlasov processes, kinetic models of gases). Other examples include modeling phenomena with significant uncertainty in inputs such as the calculation of risk in business and, in math, evaluation of multidimensional definite integrals with complicated boundary conditions. In application to space and oil exploration problems, Monte Carlo–based predictions of failure, cost overruns and schedule overruns are routinely better than human intuition or alternative "soft" methods.[2]
In principle, Monte Carlo methods can be used to solve any problem having a probabilistic interpretation. By the law of large numbers, integrals described by the expected value of some random variable can be approximated by taking the empirical mean (a.k.a. the sample mean) of independent samples of the variable. When the probability distribution of the variable is too complex, we often use a Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampler. The central idea is to design a judicious Markov chain model with a prescribed stationary probability distribution. By the ergodic theorem, the stationary probability distribution is approximated by the empirical measures of the random states of the MCMC sampler.
In other important problems we are interested in generating draws from a sequence of probability distributions satisfying a nonlinear evolution equation. These flows of probability distributions can always be interpreted as the distributions of the random states of a Markov process whose transition probabilities depends on the distributions of the current random states (see McKean-Vlasov processes, nonlinear filtering equation).[3][4] In other instances we are given a flow of probability distributions with an increasing level of sampling complexity (path spaces models with an increasing time horizon, Boltzmann-Bibbs measures associated with decreasing temperature parameters, and many others). These models can also be seen as the evolution of the law of the random states of a nonlinear Markov chain.[4][5] A natural way to simulate these sophisticated nonlinear Markov processes is to sample a large number of copies of the process, replacing in the evolution equation the unknown distributions of the random states by the sampled empirical measures. In contrast with traditional Monte Carlo and Markov chain Monte Carlo methodologies these mean field particle techniques rely on sequential interacting samples. The terminology mean field reflects the fact that each of the samples (a.k.a. particles, individuals, walkers, agents, creatures, or phenotypes) interacts with the empirical measures of the process. When the size of the system tends to infinity, these random empirical measures converge to the deterministic distribution of the random states of the nonlinear Markov chain, so that the statistical interaction between particles vanishes.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

วิธีการมอน Carlo (หรือทดลอง Carlo มอน) ระดับกว้างของอัลกอริทึมคำนวณที่ใช้สุ่มตัวอย่างแบบสุ่มซ้ำเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข พวกเขามักใช้ในทางกายภาพ และคณิตศาสตร์ และมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อจะยาก หรือไม่สามารถใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ วิธี Carlo มอนเป็นส่วนใหญ่ใช้ในสามหมดปัญหาชั้นเรียน: เพิ่มประสิทธิภาพ [1] รวมเลข และสร้างวาดจากการกระจายความน่าเป็นในปัญหาเกี่ยวกับฟิสิกส์ Carlo มอนวิธีจะมีประโยชน์มากสำหรับการจำลองระบบ ด้วยหลาย coupled องศาความเป็นอิสระ เช่นของเหลว วัสดุ disordered ขอควบคู่ของแข็ง และโครงสร้างเซลล์ (ดูเซลพอตส์รุ่น โต้ตอบระบบอนุภาค กระบวน McKean Vlasov รุ่นเดิม ๆ ของก๊าซ) ตัวอย่างอื่น ๆ ได้แก่แบบจำลองปรากฏการณ์กับความไม่แน่นอนที่สำคัญในปัจจัยการผลิตเช่นการคำนวณความเสี่ยง ในธุรกิจ และ คณิตศาสตร์ การประเมินหลายมิติปริพันธ์จำกัดด้วยขอบเขตเงื่อนไขที่ซับซ้อน ในแอพลิเคชันปัญหาการสำรวจพื้นที่และน้ำมัน Monte Carlo ตามคาดคะเนของความล้มเหลว ต้นทุนเกิน และเกินกำหนดการเป็นประจำดีกว่าสัญชาตญาณมนุษย์หรือวิธีอื่น "อ่อน" [2]หลัก สามารถใช้วิธีการมอน Carlo แก้ปัญหามีความ probabilistic โดยกฎหมายของใหญ่เลข ปริพันธ์โดยค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มบางสามารถเลียนแบบ โดยมีค่าเฉลี่ยรวม (หรือเวสท์วูดตัวอย่างค่าเฉลี่ย) อย่างอิสระของตัวแปร เมื่อการแจกแจงความน่าเป็นของตัวแปรมีความซับซ้อนเกินไป เรามักจะใช้ sampler Markov โซ่มอน Carlo (MCMC) แนวความคิดสำคัญคือการ ออกแบบแบบจำลองโซ่ Markov judicious กับการกระจายความน่าเป็นเครื่องเขียนกำหนดไว้ โดยทฤษฎีบท ergodic การแจกแจงความน่าเป็นเครื่องเขียนเป็นการเลียนแบบ โดยประเมินผลสถานะสุ่มของ MCMC samplerในปัญหาสำคัญอื่นๆ เรามีความสนใจในการสร้างการดึงดูดจากลำดับของการกระจายความน่าเป็นที่พอใจสมการไม่เชิงเส้นวิวัฒนาการ เหล่านี้ขั้นตอนของการกระจายความน่าเป็นสามารถจะตีความเป็นการกระจายการสุ่มสถานะของ Markov กระบวนการกิจกรรมที่เปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับการกระจายของอเมริกาสุ่มปัจจุบัน (ดูกระบวน McKean Vlasov กรองสมการไม่เชิงเส้น) [3] [4] ในกรณีอื่นๆ เราจะได้รับกระแสของการกระจายความน่าเป็นระดับการเพิ่มขึ้นของความซับซ้อน (เส้นทางพื้นที่แบบจำลอง ด้วยการเพิ่มเวลาฟ้า วัดตัวโบลทซ์มานน์ Bibbs ที่เกี่ยวข้องกับการลดอุณหภูมิพารามิเตอร์ และอื่น ๆ อีกมากมาย) ยังสามารถเห็นรูปแบบเหล่านี้เป็นวิวัฒนาการของกฎหมายของอเมริกาสุ่มของกลุ่ม Markov ไม่เชิงเส้น [4] [5] วิธีธรรมชาติในการจำลองความซับซ้อนไม่เชิงเส้น Markov กระบวนการเหล่านี้คือ ตัวอย่างของกระบวนการ แทนในสมการของวิวัฒนาการที่ไม่ทราบการกระจายของอเมริกาแบบสุ่ม โดยมาตรการรวมตัวอย่างเป็นจำนวนมาก In contrast with ดั้งเดิม Monte Carlo และ Markov โซ่มอน Carlo วิธี เทคนิคอนุภาคหมายถึงฟิลด์เหล่านี้พึ่งพาตัวอย่างโต้ตอบตามลำดับ ฟิลด์หมายถึงคำศัพท์ที่สะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่า แต่ละอย่าง (หรือเวสท์วูดอนุภาค บุคคล กลาง ตัวแทน สัตว์ หรือฟี) โต้ตอบกับหน่วยวัดผลการ เมื่อขนาดของระบบมีแนวโน้มที่อินฟินิตี้ มาตรการเหล่านี้ประจักษ์สุ่มจึงทำให้การกระจาย deterministic สถานะสุ่มของ Markov ไม่เชิงเส้นลูกโซ่ ที่หายไปของปฏิสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างอนุภาค

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วิธี Monte Carlo (หรือทดลอง Monte Carlo) เป็นระดับกว้างของขั้นตอนวิธีการคำนวณที่ต้องพึ่งพาการสุ่มแบบซ้ำแล้วซ้ำอีกเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลข พวกเขามักจะใช้ในปัญหาทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์และมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อมันเป็นเรื่องยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ วิธี Monte Carlo ใช้เป็นหลักในสามชั้นเรียนปัญหาที่แตกต่างกัน. [1]
การเพิ่มประสิทธิภาพการรวมตัวเลขและก่อให้ดึงออกมาจากการกระจายความน่าจะเป็นในปัญหาฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับวิธีการที่มอนติคาร์ที่มีประโยชน์มากสำหรับการจำลองระบบที่มีองศาคู่หลายเสรีภาพเช่นของเหลววัสดุระเบียบของแข็งควบคู่ไปอย่างมากและโครงสร้างของโทรศัพท์มือถือ (ดูรูปแบบ Potts มือถือ, การโต้ตอบระบบอนุภาคกระบวนการ McKean-Vlasov รูปแบบการเคลื่อนไหวของก๊าซ) ตัวอย่างอื่น ๆ ได้แก่ การสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์กับความไม่แน่นอนที่สำคัญในปัจจัยการผลิตเช่นการคำนวณความเสี่ยงของการในธุรกิจและในทางคณิตศาสตร์, การประเมินผลการ integrals ชัดเจนหลายมิติที่มีขอบเขตเงื่อนไขที่ซับซ้อน ในการประยุกต์ใช้กับพื้นที่และปัญหาการสำรวจน้ำมันมอนคาดการณ์คาร์โล-based ของความล้มเหลวงบค่าใช้จ่ายและงบกำหนดการจะเป็นประจำดีกว่าสัญชาตญาณของมนุษย์หรือทางเลือกที่ "อ่อน" วิธี. [2]
ในหลักการวิธี Monte Carlo สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาใด ๆ ปัญหาที่เกิดขึ้นมีความหมายน่าจะเป็น ตามกฎหมายของตัวเลขที่มีขนาดใหญ่, อินทิกรัอธิบายโดยคาดว่าค่าตัวของตัวแปรสุ่มสามารถประมาณโดยการใช้ความหมายเชิงประจักษ์ (aka ตัวอย่างค่าเฉลี่ย) ของกลุ่มตัวอย่างที่เป็นอิสระของตัวแปร เมื่อการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรที่มีความซับซ้อนเกินกว่าที่เรามักจะใช้โซ่มาร์คอฟ Monte Carlo (MCMC) ตัวอย่าง ความคิดที่กลางคือการออกแบบรูปแบบห่วงโซ่มาร์คอฟฉลาดมีกำหนดกระจายความน่าจะนิ่ง โดยทฤษฎีบทอัตลักษณ์การกระจายความน่าจะนิ่งเป็นห้วงมาตรการเชิงประจักษ์ของรัฐแบบสุ่มของตัวอย่าง MCMC.
ในปัญหาที่สำคัญอื่น ๆ ที่เรามีความสนใจในการสร้างดึงออกมาจากลำดับของความพึงพอใจของการแจกแจงความน่าสมการเชิงเส้นวิวัฒนาการ กระแสนี้แจกแจงความน่าจะสามารถตีความได้ว่าการกระจายของรัฐแบบสุ่มของกระบวนการมาร์คอฟที่มีความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับการกระจายของรัฐสุ่มปัจจุบัน (ดูกระบวนการ McKean-Vlasov สมกรองเชิงเส้น). [3] [4] ในกรณีอื่น ๆ ที่เราจะได้รับการไหลของแจกแจงความน่าจะมีระดับที่เพิ่มขึ้นของความซับซ้อนของการสุ่มตัวอย่าง (รุ่นที่พื้นที่เส้นทางที่มีระยะเวลาการเพิ่มมาตรการ Boltzmann-Bibbs ที่เกี่ยวข้องกับการลดลงของค่าพารามิเตอร์อุณหภูมิและอื่น ๆ อีกมากมาย) รูปแบบเหล่านี้ยังสามารถมองเห็นเป็นวิวัฒนาการของกฎหมายในประเทศที่สุ่มของห่วงโซ่มาร์คอฟไม่เชิงเส้นที่. [4] [5] เป็นวิธีธรรมชาติในการจำลองกระบวนการมาร์คอฟไม่เชิงเส้นที่มีความซับซ้อนเหล่านี้เป็นสิ่งที่จะลิ้มลองเป็นจำนวนมากสำเนาของกระบวนการ แทนในสมการวิวัฒนาการที่ไม่รู้จักการกระจายของรัฐโดยการสุ่มด้วยมาตรการเชิงประจักษ์ตัวอย่าง ในทางตรงกันข้ามกับมอนติคาร์แบบดั้งเดิมและห่วงโซ่มาร์คอฟ Monte Carlo วิธีการเหล่านี้หมายถึงเทคนิคอนุภาคสนามพึ่งพาการโต้ตอบตัวอย่างต่อเนื่อง คำศัพท์ที่หมายถึงเขตสะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่าแต่ละคนของกลุ่มตัวอย่าง (aka อนุภาคบุคคลเดินตัวแทนสิ่งมีชีวิตหรือ phenotypes) มีปฏิสัมพันธ์กับมาตรการเชิงประจักษ์ของกระบวนการ เมื่อขนาดของระบบมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดมาตรการเชิงประจักษ์เหล่านี้สุ่มบรรจบกันเพื่อการกระจายกำหนดของรัฐแบบสุ่มของห่วงโซ่มาร์คอฟไม่เชิงเส้นเพื่อให้การทำงานร่วมกันทางสถิติระหว่างอนุภาคหายตัวไป

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มอนติคาร์โล ( Monte Carlo การทดลองวิธีการหรือ ) เป็นห้องกว้างของคอมพิวเตอร์ขั้นตอนวิธีที่อาศัยซ้ำสุ่มเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เชิงตัวเลข พวกเขามักจะใช้ในปัญหาทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ และมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อมันเป็นเรื่องยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ พระมหากษัตริย์ที่ใช้เป็นหลักในชั้นสามปัญหาที่แตกต่างกัน : [ 1 ] ให้เหมาะสมบูรณาการเชิงตัวเลขและการวาดจากการแจกแจงความน่าจะเป็น .
ในฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหา พระมหากษัตริย์จะค่อนข้างมีประโยชน์สำหรับจำลองระบบหลายคู่องศาของเสรีภาพเช่นของเหลว , ผู้ควบคุมวัสดุ ขอคู่ของแข็งและโครงสร้างเซลล์ ( ดูแบบโต้ตอบระบบอนุภาคพอตเซลเมิ่กคิ้น vlasov , กระบวนการ , จลนศาสตร์แบบจำลองก๊าซ )ตัวอย่างอื่น ๆรวมถึงการจำลองปรากฏการณ์ที่มีความไม่แน่นอนในปัจจัยการผลิตสำคัญ เช่น การคำนวณความเสี่ยงในธุรกิจ และ คณิตศาสตร์ การประเมินหลายมิติซับซ้อน integrals แน่นอนมีขอบเขตเงื่อนไข ในการประยุกต์กับปัญหาพื้นที่และสำรวจน้ำมัน , มอนติคาร์โลและตามการคาดการณ์ของความล้มเหลวต้นทุน overruns และตารางเวลาดำเนินงานตรวจดีกว่า สัญชาตญาณของมนุษย์หรือ " ทางเลือก " วิธีนุ่ม " . [ 2 ]
ในหลักการ พระมหากษัตริย์สามารถใช้แก้ปัญหาใด ๆ มีการตีความความน่าจะเป็น . โดยกฎหมายของตัวเลขขนาดใหญ่ ผสมผสานการอธิบายโดยคาดว่ามูลค่าของการสุ่มตัวแปรสามารถประมาณค่าโดยการใช้ความหมายเชิงประจักษ์ ( a.k.a .ตัวอย่างหมายถึง ) ของตัวอย่างอิสระของตัวแปร เมื่อการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรที่ซับซ้อนมากเกินไป เรามักจะใช้ Markov Monte Carlo ( MCMC ) ตัวอย่าง . ความคิดกลางเพื่อออกแบบโมเดลห่วงโซ่มาร์คอฟที่รอบคอบกับเครื่องเขียนความน่าจะเป็น . โดยทฤษฎีบทอัตลักษณ์ ,การกระจายความน่าจะเป็นคงที่คือประมาณด้วยมาตรการเชิงประจักษ์ของรัฐสุ่มของ MCMC ตัวอย่าง .
ในปัญหาที่สำคัญอื่น ๆที่เราสนใจ ในการวาดจากลำดับของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่พอใจของสมการวิวัฒนาการไม่เชิงเส้นเหล่านี้ไหลของการแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถมักจะถูกตีความเป็นกระจายของรัฐสุ่มของกระบวนการมาร์คอฟที่มีการเปลี่ยนสถานะขึ้นอยู่กับการสุ่มในปัจจุบันสหรัฐอเมริกา ( ดูเมิ่กคิ้น vlasov กระบวนการกรองสมการไม่เชิงเส้น )[ 3 ] [ 4 ] ในกรณีอื่น ๆเราได้รับการไหลของการแจกแจงความน่าจะเป็น ด้วยการเพิ่มระดับความซับซ้อนของตัวอย่าง ( เส้นทางเป็นรุ่นที่มีการเพิ่มเวลา ฟ้า รวม bibbs มาตรการที่เกี่ยวข้องกับการลดลงของอุณหภูมิและอีกมากมาย ) โมเดลเหล่านี้ยังสามารถเห็นเป็นวิวัฒนาการของกฎหมายของรัฐแบบไม่เชิงเส้นแบบลูกโซ่