To apply theorem 1.1 in our theorem

To apply theorem 1.1 in our theorem, we must seek the degree of each vertex
of the glued graph. There are relationships between the degree of the vertex of
the glued graph, the two original graphs and the clone that can be stated in the
following lemma.
Lemma 2.1. Let G1 and G2 be any nontrivial graphs, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2. Let H0
be the labeled clone of the labeled glued graph G1✁✄¯
H0
G2 and i be a natural number.
Then the degree of each vertex in the labeled glued graph is as follows:
1.) degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, v0) = degG1
ui for the vertex obtained from only ui of
G1H1,
2.) degG1✁✄¯
H0
G2
(u0, vi) = degG2
vi for the vertex obtained from only vi of
G2H2,
3.) degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, vi) = degG1
ui + degG2
vi − degH0 wi for the vertex obtained
from both ui of H1 and vi of H2.
Proof. Let G1 and G2 be any nontrivial graphs, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2. Let
H0 be the labeled clone of the labeled glued graph G1✁✄¯
H0
G2 and i be a natural
number. The vertices (ui
, v0),(u0, vi) and (ui
, vi) are the vertices which are obtained
from only ui of G1H1, only vi of G2H2 and both ui of H1 and vi of
H2, respectively. Since ui
in G1H1 becomes (ui
, v0) and vi
in G2H2 becomes
(u0, vi) without combining of the two labeled original graphs, the degree is still
the same. So degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, v0) = degG1
ui and degG1✁✄¯
H0
G2
(u0, vi) = degG2
vi
. Finally,
we see that each edge of H0
contributes twice in the degree of (ui
, vi). Thus,
degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, vi) = degG1
ui + degG2
vi − degH0 wi
. ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การใช้ทฤษฎีบทที่ 1.1 ในทฤษฎีบทของเรา เราต้องหาองศาของแต่ละจุดของกราฟกาว มีความสัมพันธ์ระหว่างระดับของจุดยอดของกาวกราฟ กราฟเดิมสอง และโคลนที่สามารถระบุตัวจับมือต่อไปนี้จับมือ 2.1 ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟใด ๆ nontrivial, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2 ให้ H0สามารถโคลนป้ายของกราฟกาวป้าย G1✁✄¯H0G2 และเป็นตัวเลขธรรมชาติแล้วระดับของแต่ละจุดในกราฟกาวป้ายจะเป็นดังนี้:degG1✁✄¯ 1)H0G2(ui, v0) = degG1ui สำหรับจุดที่ได้รับจาก ui เฉพาะของG1H1degG1✁✄¯ 2)H0G2(u0, vi) = degG2สำหรับจุดที่ได้รับจาก vi ของ viG2H2degG1✁✄¯ 3)H0G2(ui, vi) = degG1ui + degG2degH0 −วีอินเตอร์สำหรับจุดรับจากทั้ง ui ของ H1 และ vi ของ H2หลักฐานการ ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟใด ๆ nontrivial, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2 ปล่อยให้H0 จะโคลนป้ายของกราฟกาวป้าย G1✁✄¯H0G2 และเป็นธรรมชาติหมายเลข จุดยอด (ui, v0),(u0, vi) และ (ui, vi) มีจุดยอดที่จะได้รับจาก ui ของ G1H1 วี G2H2 และทั้ง ui ของ H1 และ vi ของเท่านั้นH2 ตามลำดับ ตั้งแต่ uiใน G1H1 (ui ที่กลายเป็น, v0) และ viใน G2H2 กลายเป็น(u0, vi) โดยรวมของกราฟเดิมป้ายสอง ระดับยังคงเป็นเหมือนเดิม DegG1✁✄¯ ดังนั้นH0G2(ui, v0) = degG1ui และ degG1✁✄¯H0G2(u0, vi) = degG2vi. สุดท้ายเราเห็นว่าแต่ละขอบของ H0รวมสองครั้งในระดับ (uiวี) ดังนั้นdegG1✁✄¯H0G2(ui, vi) = degG1ui + degG2degH0 −วีอินเตอร์. ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เมื่อต้องการใช้ทฤษฎีบท 1.1 ในทฤษฎีบทของเราเราจะต้องแสวงหาการศึกษาระดับปริญญาของแต่ละจุดสุดยอด
ของกราฟกาว มีความสัมพันธ์ระหว่างระดับของจุดสุดยอดของการเป็น
รูปแบบของกราฟกาวทั้งสองกราฟเดิมและโคลนที่สามารถระบุใน
บทแทรกต่อไปนี้.
บทแทรก 2.1 ให้ G1 และ G2 ใด ๆ กราฟขี้ปะติ๋ว, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2 ให้ H0
เป็นโคลนติดป้ายที่มีข้อความของกาวกราฟG1✁✄¯
H0
. G2 และฉันเป็นจำนวนธรรมชาติ
แล้วระดับของแต่ละจุดสุดยอดในกราฟกาวติดป้ายชื่อมีดังนี้
1. ) degG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, v0) = degG1
UI สำหรับจุดสุดยอดที่ได้จากเพียง UI ของ
G1 H1,
2. ) degG1✁✄¯
H0
G2
(u0, vi) = degG2
vi สำหรับจุดสุดยอดที่ได้จากเพียง vi ของ
G2 H2,
3. ) degG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, vi) = degG1
UI + degG2
vi - degH0 Wi สำหรับจุดสุดยอดที่ได้รับ
. จากทั้ง UI ของ H1 และ H2 vi ของ
หลักฐาน ให้ G1 และ G2 ใด ๆ กราฟขี้ปะติ๋ว, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2 ให้
H0 เป็นโคลนติดป้ายที่มีข้อความของกาวกราฟG1✁✄¯
H0
G2 และฉันจะเป็นธรรมชาติ
จำนวน จุด (UI
, v0) (u0, vi) และ (UI
, vi) เป็นจุดที่จะได้รับ
จากเพียง UI ของ G1 H1 เพียง vi ของ G2 H2 และทั้งสอง UI ของ H1 และ vi ของ
H2 ตามลำดับ . ตั้งแต่ UI
ใน G1 H1 กลายเป็น (UI
, v0) และ vi
ใน G2 H2 กลายเป็น
(u0, vi) โดยรวมของทั้งสองกราฟเดิมที่มีข้อความระดับยังคงเป็น
เหมือนกัน ดังนั้นdegG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, v0) = degG1
UI และdegG1✁✄¯
H0
G2
(u0, vi) = degG2
vi
ในที่สุด
เราจะเห็นว่าขอบของ H0 แต่ละ
ส่วนช่วยในครั้งที่สองในระดับของ (UI
, vi) ดังนั้น
degG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, vi) = degG1
UI + degG2
vi - degH0
Wi ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การใช้ทฤษฎีบท 1.1 ในทฤษฎีบทของเรา เราต้องแสวงหาองศาของแต่ละจุดยอดของกราฟปะติ
. มีความสัมพันธ์ระหว่างระดับยอดของ
ติดกาวกราฟสองกราฟต้นฉบับและโคลนที่สามารถระบุไว้ในต่อไปนี้ฟาง
.
พ 2.1 . G1 และ G2 มีให้นอนทริเวียลกราฟ H1 ⊆ G1 H2 ⊆ G2 . ให้ H0
เป็นป้ายที่มีข้อความจมปลักโคลนของกราฟ✁✄¯ G1
H0
G2 ผมเป็นจำนวนธรรมชาติ .
แล้วระดับของแต่ละแผนกในป้ายติดกราฟจะเป็นดังนี้ :
1 ) degg1 ✁✄¯
H0
G2
( อุ้ย

การผลิ ) = degg1 UI สำหรับ ยอดที่ได้จาก UI เฉพาะของ
G1 n H1
2 ) degg1 ✁✄¯
H0

( U0 G2 6 ) = degg2
6 สำหรับ ยอดที่ได้จาก 6 เท่านั้น
G2 n H2
3 ) degg1 ✁✄¯
H0
G2
( อุ้ย
6 ) = degg1

6 UI degg2 − degh0 วีสำหรับยอดได้
จากทั้ง UI ของ H1 และ 6 ของ H2 .
พิสูจน์ G1 และ G2 มีให้นอนทริเวียลกราฟ H1 ⊆ G1 H2 ⊆ G2 . ปล่อยให้
H0 เป็นป้ายที่มีข้อความจมปลักโคลนของกราฟ✁✄¯ H0

G1 G2 และฉันเป็นหมายเลขธรรมชาติ

จุด ( UI การผลิ ( U0
) 6 ) และ ( UI
6 ) เป็นจุดยอดซึ่งเป็นข้อมูล
จาก UI เท่านั้น ของ G1 n H1 , H2 และ 6 ของ G2 N ทั้ง UI ของ H1 และ 6 ของ
H2 , ตามลำดับ ตั้งแต่ UI ใน G1 n H1

( UI , กลายเป็นการผลิ ) และ 6
ใน G2 n H2 กลายเป็น ( U0
6 ) โดยไม่รวมสองป้ายกราฟเดิม ขึ้นไปยัง
เหมือนกัน ดังนั้น degg1 ✁✄¯
H0
G2
( UI การผลิ degg1

) = UI และ degg1 ✁✄¯
H0

( U0 G2 6 ) = degg2
6
ในที่สุด
เราเห็นแต่ละขอบของ H0
จัดสรรสองครั้งในระดับ ( UI
6 ) ดังนั้น ✁✄¯ H0


degg1 G2
( อุ้ย
6 ) = degg1

6 UI degg2 − degh0 วี

¥